Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[tatunya]

а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке, ведь если например рассмотреть конечное количество исходов, то матожидание выигрыша при замене конверта получается 0 (возможно в общем случае для бесконечного числа - тоже 0), т.е до открытия конверта задача симметрична, после открытия уже нет, но решение должно зависить от знания закона распределения конвертов и от конкретного числа денег в открытом конверте

[snav]

а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке

Это наиболее распространенное объяснение парадокса. До недавнего времени я сам придерживался такой же точки зрения. Действительно, пусть X и Y — количество денег в первом и втором конверте соответственно. Тогда M(Y|X=x) = P1*2x + P2*x/2, где P1=P(Y>X|X=x), P2=P(Y<X|X=x). Мы предположили, что P1=P2 для любого значения x. Но такое допущение некорректно, так как не существует такого закона распределения случайных величин X и Y, при котором равенство P1=P2 выполнялось бы для любого значения x.

Однако все оказалось не так просто. Можно переформулировать парадокс таким образом, чтобы исключить указанный недостаток. В новом варианте "классическое" объяснение уже не работает, а парадокс все равно остается. Вот формулировка, взятая из интернета:

Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,
- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,
...
- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.
Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.

Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять.

--------------------------------------------
Подкорректировал сообщение (устранил неточность): Было написано, что равенство P1=P2 соответствует допущению о равномерном законе распределения на бесконечной полуоси, которого, как известно, не существует. На самом деле, при равномерном распределении вероятности P1 и P2 были бы равны не 1/2, а 2/3 и 1/3 соответственно.

Сообщение было отредактировано snav: 8.3.2014, 15:12

[snav]

Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,
- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,
...
- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.
Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.

Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять.

Пришла в голову мысль, как разрешить парадокс.

Посмотрим еще раз на ход наших рассуждений: мы берем сумму денег в первом конверте A, вычисляем условное матожидание суммы денег во втором конверте M(B/A) и приходим к заключению, что M(B/A) > A для любого A. Эти рассуждения абсолютно корректны, но с одной существенной оговоркой: если A — конечное число. Между тем, условие задачи не гарантирует, что в конверты положат именно конечное количество денег. Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность, и в этом случае наши расчеты неприменимы.

Таким образом, целесообразность смены конверта зависит от того, сколько денег в первом конверте: если конечная сумма — конверт выгодно поменять, если бесконечная — выгодность замены не определена.

Устраивает ли такое объяснение?

-------------------

Подумал. Ерунду написал.

Сообщение было отредактировано snav: 22.12.2011, 18:54

[idler_]

Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность

Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму.
А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать...