Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

На плоскости нарисовано несколько отрезков, самый большой из которых имеет длину 1. Всегда ли, перемещая отрезки параллельным переносом, можно собрать их в одну ломаную, расстояние между концами которой меньше, чем 1,5?

Можно ли на четвёртом ходу шахматной партии поставить ладью на поле e1?

Подлые оккупанты снова поймали двух мегамозгов и дали им такую задачу. В комнате на столе стоят 100 бутылок в ряд, в каждой бутылке - одно число от 1 до 100, все числа разные.
В комнату заходит первый мегамозг. Он имеет право посмотреть содержимое всех бутылок и, если посчитает нужным, поменять местами любые две бутылки. После этого он уходит. Затем в комнату приглашается второй мегамозг. Ему называют произвольное число от 1 до 100, и он должен найти это число, открыв не более 50 бутылок. В лучших традициях жанра, мегамозги придумали стратегию и не были пущены на колбасу. О чём же они договорились?

Шли два мегамозга, работающие малярами, навстречу — еще двое. У каждого руки испачканы своей краской, и никому не хочется пачкаться чужой. Мегамозги хотят поздороваться друг с другом (каждый из первой пары с каждым из второй и наоборот) рукопожатием, но на всех есть только две перчатки. Как им можно решить эту проблему? Перчатки не выворачиваются.

Однажды Мегамозга в гости пригласил царь, который во время беседы решил проверить его сообразительность. Мегамозга отвели в абсолютно темную комнату и дали ему следующее задание. В этой комнате на столе лежит 50 монет. 10 из них лежат орлом вверх. Монеты абсолютно одинаковые. На ощупь орел и решка неотличимы. Необходимо разделить монеты на две группы так, чтобы в каждой группе было одинаковое количество монет, лежащих орлом вверх.

Мегамозг может выйти на свободу, если он справится с заданием: перед ним две двери, одна из них ведет на волю, другая — дорога к смерти. Здесь же сидят два стражника, причем один из них либо лжец, либо правдивец, а второй — хитрец, то есть человек, который говорит правду и ложь строго поочередно (либо на нечетные вопросы отвечает ложью, а на четные — правдой, либо наоборот). Оба стражника знают, какая из дорог ведет на волю, но Мегамозгу неизвестно, кто из стражников хитрец. Мегамозг имеет право задать два вопроса одному из стражников (вопросы должны быть простыми). Как ему определить дорогу, ведущую на свободу?

У Мегамозга есть два одинаковых стеклянных шарика. За какое минимальное число бросков можно гарантированно определить, начиная с какого этажа 100-этажного здания шарики разбиваются?

Есть несколько вагонов, сцепленные между собой по кругу. Внутри ходит Мегамозг, он должен посчитать количество вагонов. Мегамозг может только включать или выключать свет в вагонах. Как ему это сделать? Вначале свет горит случайным образом. (Количество вагонов может быть ну очень большим).

В некоторой партии возникла такая позиция.

Определите, каким был первый ход черного ферзя в этой партии.

Находчивому трактирщику стало известно, что поборники нравственности тайком пробрались в его погреб и отравили одну из 64 бочек вина. Тот, кто попробует отравленное вино, в ближайшую полночь провозгласит себя трезвенником и отныне не сможет выпить ни капли спиртного. У трактирщика четверо пьющих слуг. Какое минимальное число дней ему понадобится, чтобы гарантированно найти отравленную бочку, наливая вино своим слугам? Определите максимальное число бочек, при котором можно справиться с задачей за тот же срок.

Мегамозг попал в плен на острове, где живут туземцы (правдивцы и лжецы), всего 1000 аборигенов, причем среди них есть как минимум один правдивец. Ему пообещали жизнь, если он точно укажет, кто из туземцев является лжецом, а кто правдивцем. Раз в час Мегамозг может позвать к себе любое количество туземцев и задать каждому из них вопрос: «Сколько среди присутствующих туземцев правдивцев?», либо «Сколько среди присутствующих лжецов?». За какое минимальное количество часов Мегамозг справится с этой задачей и даст туземцам ответ?

Как-то раз Мегамозг рассказывал своему сыну про шахматную партию, за один ход до конца которой на доске оставалось всего 4 фигуры, а белые могли поставить мат несколькими способами. Как только сын узнал число способов и названия этих четырех фигур, он смог однозначно определить положение каждой фигуры. О каких фигурах шла речь и где они стояли? Обоснование не требуется.

Треугольник АВС разрезан на некоторое количество меньших треугольников так, что ни одна вершина одного не лежит на стороне другого. Каждая из вершин, попавшая на сторону AB, может быть произвольно обозначена как А или В, на сторону ВС - как В или С, а на сторону АС - как А или С. Все внутренние вершины произвольно обозначены как А, В, или С. Докажите, что меньших треугольников АВС нечетное количество.

I. Дан достаточно большой входной поток целых чисел, в котором все числа встречаются ровно 2 раза, кроме одного, которое входит только 1 раз. Нужно за конечное число проходов O(1) потока (массива) и используя дополнительной памяти не более O(1) найти его.

II. То же, что в первом случае, только ровно 2 числа встречаются 1 раз.

Найдите словосочетание не менее чем из трёх слов, которое присутствует в каждом из документов: FAQ, Правила оформления сообщений и Группа привилегированные пользователи?

В пробирке живут бактерии общей массой 2^n. Масса каждой бактерии - целое число. Когда встречаются две бактерии меньшая удваивает свою массу, отбирая ее у подруги. Если встретились бактерии одинаковой массы - одна из них исчезает, а вторая удваивается. Доказать, что независимо от значения n, изначального количества и масс бактерий существует последовательность превращений, в результате которой в пробирке останется всего одна бактерия.

Найти позицию, где черные при своем ходе не могут спастись от поражения, имея короля и ферзя против короля, коня и пешки белых, причем черный король не находится под шахом.

В часах Мегамозга две шестерёнки соединены необычным образом: большая закреплена неподвижно, а малая вращается вокруг большой. У большой шестерёнки 56 зубьев, а у малой — 20, шаг зубьев одинаковый. Мегамозг запустил часы. Сколько полных оборотов вокруг своей оси сделает малая шестерёнка к моменту, когда она снова вернётся в исходное положение, при котором шестерёнки будут сцеплены теми же зубьями, что и в начале?