Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия: Парадокс двух конвертов
Форум Игры разума [braingames] > Главный форум > Разминка для мозгов
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
snav
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?


Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением
tatunya
а может из того факта, что во втором конверте матожидание больше, не следует что надо менять конверт;
Если например есть 50 конвертов, в одном лежит 51 рубль, а в остальных пусто, и вам за рубль предлагают открыть один конверт и забрать его содержимое. Вроде как среднее денег в каждом конверте больше рубля, но вероятность выигрыша маленькая, и по моему личному мнению не стоит ничего открывать несмотря на матожидания;
alan
QUOTE(tatunya @ 23.11.2009, 16:24) *

а может из того факта, что во втором конверте матожидание больше, не следует что надо менять конверт;
Если например есть 50 конвертов, в одном лежит 51 рубль, а в остальных пусто, и вам за рубль предлагают открыть один конверт и забрать его содержимое. Вроде как среднее денег в каждом конверте больше рубля, но вероятность выигрыша маленькая, и по моему личному мнению не стоит ничего открывать несмотря на матожидания;

Представте, что у вас есть возможность сыграть 10000 раз
snav
QUOTE(tatunya @ 23.11.2009, 16:24) *
а может из того факта, что во втором конверте матожидание больше, не следует что надо менять конверт;

В парадоксе используется постулат теории принятия решений, что из нескольких вариантов действия следует предпочесть вариант, для которого матожидание выигрыша максимально.
tatunya
[skip]
мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)
John777
1. Пусть мы увидели х руб. в первом конверте, тогда матожидание во втором конверте 1/2*2х+1/2*х/2=5/4х.
Заметим, что ОБЪЕКТИВНО (с точки зрения тех, кто раскладывал деньги, например) в первом слагаемом этого выражения х - это меньшее из кол-в денег, во втором х - это большее из кол-в денег. Т.е. иксы "разные". Также заметим, что в этой формуле появляются 3 исхода событий (получим х, 2х, х/2), а изначально их всего два.
Если же обозначить за у меньшее из кол-в денег, то матожидание 1/2*2у+1/2*у=3/2у. Т.е. как и ожидалось, мы в среднем получим одинаковое кол-во денег, поменяв или оставив конверт.

Замечу, что здесь предполагается, что выпадение во втором конверте 2х или х/2 равновероятны, а это не так. Но об этом позже...
snav
QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 9:56) *
1. Пусть мы увидели х руб. в первом конверте, тогда матожидание во втором конверте 1/2*2х+1/2*х/2=5/4х.
Заметим, что ОБЪЕКТИВНО (с точки зрения тех, кто раскладывал деньги, например) в первом слагаемом этого выражения х - это меньшее из кол-в денег, во втором х - это большее из кол-в денег. Т.е. иксы "разные".

И что из того? Всё что вы написали, не отвечает на вопрос, где ошибка в рассуждениях в нашем парадоксе?
Кстати, иксы - не разные, икс один и тот же (сумма денег в первом конверте, т.е. 4$ в нашем случае). Но мы не знаем являются ли эти 4$ большей суммой или меньшей, поэтому рассматриваем обе возможности.

QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 9:56) *
Также заметим, что в этой формуле появляются 3 исхода событий (получим х, 2х, х/2), а изначально их всего два.

Я думаю, вы и сами понимаете, что это рассуждение ни о чем... Кстати, изначально для нас исходов не два, а бесконечно много. А после вскрытия одного конверта, количество возможных вариантов сокращается до трех.

QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 9:56) *
Если же обозначить за у меньшее из кол-в денег, то матожидание 1/2*2у+1/2*у=3/2у. Т.е. как и ожидалось, мы в среднем получим одинаковое кол-во денег, поменяв или оставив конверт.

Здесь вы вычисляете априорное матожидание, а весь сыр-бор в парадоксе из-за апостериорного матожидания.
tatunya
а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке, ведь если например рассмотреть конечное количество исходов, то матожидание выигрыша при замене конверта получается 0 (возможно в общем случае для бесконечного числа - тоже 0), т.е до открытия конверта задача симметрична, после открытия уже нет, но решение должно зависить от знания закона распределения конвертов и от конкретного числа денег в открытом конверте
snav
QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 12:08) *
а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке

Это наиболее распространенное объяснение парадокса. До недавнего времени я сам придерживался такой же точки зрения. Действительно, пусть X и Y — количество денег в первом и втором конверте соответственно. Тогда M(Y|X=x) = P1*2x + P2*x/2, где P1=P(Y>X|X=x), P2=P(Y<X|X=x). Мы предположили, что P1=P2 для любого значения x. Но такое допущение некорректно, так как не существует такого закона распределения случайных величин X и Y, при котором равенство P1=P2 выполнялось бы для любого значения x.

Однако все оказалось не так просто. Можно переформулировать парадокс таким образом, чтобы исключить указанный недостаток. В новом варианте "классическое" объяснение уже не работает, а парадокс все равно остается. Вот формулировка, взятая из интернета:

Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,
- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,
...
- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.
Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.

Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять.

--------------------------------------------
Подкорректировал сообщение (устранил неточность): Было написано, что равенство P1=P2 соответствует допущению о равномерном законе распределения на бесконечной полуоси, которого, как известно, не существует. На самом деле, при равномерном распределении вероятности P1 и P2 были бы равны не 1/2, а 2/3 и 1/3 соответственно.
tatunya
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 14:25) *

Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,
- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,
...
- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.
Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.

Теперь пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0.


Но тут не используется вероятность самого события найти 10^n в конверте.
А как я поняла из предыдущих постов, принцип выбора по матожиданию работает только при возможности проведения большого количества экспериментов и матожидание надо записывать в такой форме, чтобы его можно было использовать для большого числа экспериментов. Матожидание выигрыша при замене конверта можно записать в виде sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^i-10^{i-1}))=0.
snav
QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 14:56) *
Но тут не используется вероятность самого события найти 10^n в конверте.

Это событие уже произошло. Его вероятность равна 1.

QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 14:56) *
А как я поняла из предыдущих постов, принцип выбора по матожиданию работает только при возможности проведения большого количества экспериментов

Необязательно. Можно и при одном опыте.

QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 14:56) *
и матожидание надо записывать в такой форме, чтобы его можно было использовать для большого числа экспериментов. Матожидание выигрыша при замене конверта можно записать в виде sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^i-10^{i-1}))=0.

А тут я ничего не понял... smile.gif
tatunya
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 16:10) *

Это событие уже произошло. Его вероятность равна 1.
Необязательно. Можно и при одном опыте.
А тут я ничего не понял... smile.gif

Допустим, известно распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/1000 кладем в конверты 1 и 100000 долларов,
- с вероятностью 1/1000^2 кладем в конверты 100000 и 100000^2 долларов,
...
- с вероятностью 1/1000^n кладем в конверты 100000^(n-1) и 100000^n долларов.

посчитаем матожидание выигрыша при замене конверта не открывая конверта
sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^{i-1}-10^i))=0 (запись сама по себе понятна?)

если же мы открываем конверт и видим 100000, пусть в данном конкретном случае матожидание выигрыша при обмене конверта положительно, но вероятность выигрыша очень мала; и лично для меня большой вопрос можно ли тут использовать принцип принятия решения по матожиданию;
snav
QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 15:22) *
Допустим, известно распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/1000 кладем в конверты 1 и 100000 долларов,
- с вероятностью 1/1000^2 кладем в конверты 100000 и 100000^2 долларов,
...
- с вероятностью 1/1000^n кладем в конверты 100000^(n-1) и 100000^n долларов.

Такое распределение некорректно. У вас сумма вероятностей не равна 1.

QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 15:22) *
посчитаем матожидание выигрыша при замене конверта не открывая конверта

Я уже писал выше, что априорное матожидание нам неинтересно. Парадокс возникает именно с апостериорным матожиданием.

QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 15:22) *
если же мы открываем конверт и видим 100000, пусть в данном конкретном случае матожидание выигрыша при обмене конверта положительно, но вероятность выигрыша очень мала; и лично для меня большой вопрос можно ли тут использовать принцип принятия решения по матожиданию;

Мы решаем математический парадокс. Здесь не нужно отвлекаться на психологию и другие подобные вопросы, которые не относятся к сути дела.
tatunya
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 16:34) *

Мы решаем математический парадокс. Здесь не нужно отвлекаться на психологию и другие подобные вопросы, которые не относятся к сути дела.


А на чем основывается ваша уверенность, что в данном случае можно руководствоваться матожиданием при выборе, или же уверенности нет, но вы просто пока не нашли доказательства обратного?
И вы случайно не встречали хорошего обоснования этого принципа в каком-нибудь интернет источнике? А то очень хочется почитать, а гугл ничего путного не предлагает.
John777
Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?
snav
QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 16:48) *
А на чем основывается ваша уверенность, что в данном случае можно руководствоваться матожиданием при выборе

Это критерий рационального выбора из теории принятия решений. Скорее всего, он не доказывается, а постулируется. Суть критерия, что в условиях неопределенности, когда каждое возможное действие может иметь несколько возможных результатов с разными вероятностями, необходимо для каждого действия вычислить математическое ожидание выигрыша (ожидаемую ценность) и выбрать действие с максимальным матожиданием.

QUOTE(tatunya @ 24.11.2009, 16:48) *
А то очень хочется почитать, а гугл ничего путного не предлагает.

Попробуйте поискать по ключевым словам: "теория принятия решений", "ожидаемая ценность".
snav
QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 16:59) *
Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?

Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает.
John777
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 17:58) *

Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает.

Не понял.
Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше?
snav
QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 18:38) *
Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше?

Вы меня сильно озадачили. smile.gif
Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре.

Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n...

Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму...
John777
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 19:28) *

Вы меня сильно озадачили. smile.gif
Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре.

Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n...

Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму...

Здесь условия испытания зависят от номера испытания n, а у меня все испытания одинаковые.
Если здесь во всех испытаниях давать выбрать из 1 или 100, то средний выйгрыш будет 100 в нашей стратегии.
snav
Ok. Пусть вам предлагают каждый раз выбирать между X и 100*X, где X - случайное число, подчиняющееся описанному выше убывающему закону. В отдельной игре разумнее выбирать большее число. Это очевидно. Но в бесконечной серии игр матожидание выигрыша будет бесконечным для любой стратегии...
John777
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 19:48) *

Ok. Пусть вам предлагают каждый раз выбирать между X и 100*X, где X - случайное число, подчиняющееся описанному выше убывающему закону. В отдельной игре разумнее выбирать большее число. Это очевидно. Но в бесконечной серии игр матожидание выигрыша будет бесконечным для любой стратегии...

Согласен. Но если число испытаний бесконечно, то все стратегии в этой игре одинаковые. Т.к. для любого числа й при достаточном кол-ве игр мы будем выигрывать более й руб. за игру при любой стратегии.
Как я понимаю, из всего этого следует, что о бесконечном кол-ве испытаний здесь говорить нельзя. А имея конечное число испытаний, как определить, какая статегия лучше А или В?
snav
QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 20:08) *
Как я понимаю, из всего этого следует, что о бесконечном кол-ве испытаний здесь говорить нельзя. А имея конечное число испытаний, как определить, какая статегия лучше А или В?

Наверно, как всегда в подобных случаях - теоретически... что мы и пытаемся сделать, правда пока безуспешно... smile.gif
John777
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 20:20) *

Наверно, как всегда в подобных случаях - теоретически... что мы и пытаемся сделать, правда пока безуспешно... smile.gif

Я серьезно: есть 2 стратегии, по каким критериям можно определить, какая из них лучше, имея конечное число испытаний?
snav
QUOTE(John777 @ 24.11.2009, 20:23) *
Я серьезно: есть 2 стратегии, по каким критериям можно определить, какая из них лучше, имея конечное число испытаний?

Если совсем строго - то не по каким, ибо любое сравнение будет базироваться на использовании какой-то теории (например, на теории вероятностей), а в основе любой теории лежат аксиомы и постулаты, принимаемые без доказательства (т.е. истинность этих аксиом, как и самой теории, неизвестна).

Поэтому при сравнении стратегий в любом случае придется опираться на какие-то постулаты, например на постулаты теории принятия решений.

Кстати, в английской википедии среди прочих гипотез по разрешению этого парадокса выдвигается версия о непригодности теории принятия решений для распределений с бесконечным матожиданием.
Powered by Java
Итак, начнем с условия. "Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?" означает, что мы хотим получить максимум $ из всех возможных исходов ПОСЛЕ открытия первого конверта. В этой формулировке разночтений уже нет, ибо мы либо теряем 2$, либо получаем 4$. Симметрии нет никакой. И, как ни парадоксально, надо брать второй конверт не задумываясь. Это из разряда "у вас уже есть х$ и их можно поменять на x/2 либо x*2 с равной вероятность." Я бы играл на таких условиях до посинения biggrin.gif
Что же касается "интуитивной симметрии", она справедлива, если бы вопрос был угадать ИМЕННО ТОТ конверт, в котором больше денег. Это не одно и то же! Угадать конверт мы можем с вероятностью 1/2, а вот денег получаем в среднем больше, если выбираем другой конверт.
Надеюсь, не сильно запутал вас smile.gif
snav
QUOTE(Powered by Java @ 24.11.2009, 21:01) *
Итак, начнем с условия. "Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?" означает, что мы хотим получить максимум $ из всех возможных исходов ПОСЛЕ открытия первого конверта. В этой формулировке разночтений уже нет, ибо мы либо теряем 2$, либо получаем 4$. Симметрии нет никакой. И, как ни парадоксально, надо брать второй конверт не задумываясь.

Powered by Java, мне кажется, вы не до конца уловили суть парадокса.

В парадоксе "доказывается", что независимо от того, какую сумму денег мы обнаружили в первом конверте, всегда нужно брать другой конверт. Получается, что можно даже не утруждаться, чтобы открыть конверт и пересчитать в нем деньги (все равно от этого ничего не зависит), можно сразу изменять свое первоначальное решение и выбирать другой конверт. В итоге мы приходим к явной нелепости.

Допустим, есть два конверта: А и В. Мы выбрали конверт А и, не открывая его, говорим, что теперь нам выгоднее изменить свой выбор на В. Посмотрим на ситуацию с другой стороны. Первоначальный выбор конверта А был случайным (50x50). Если бы мы сразу выбрали конверт B, то, рассуждая аналогично, мы бы "научно доказали", что гораздо выгоднее взять конверт А, ибо оставив конверт В, мы в среднем проиграем. Получается, что выгодность или невыгодность конверта В зависит лишь от наших умозаключений. Естественно, это абсурд.

P.S. Чтобы не сочинять всё самому, кое-где вставил умные фразы других людей. Прошу не считать плагиатом. :-)
John777
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 20:36) *

Поэтому при сравнении стратегий в любом случае придется опираться на какие-то постулаты, например на постулаты теории принятия решений.


Постулат теории вероятностей, как я понимаю, утверждает, что из решений следует принимать то, для которого матожидание больше.
Пример: вы выигрываете в игру с вероятностью 70%, у вас есть 100 руб. Вопрос: сколько нужно ставить.
Матожидание выйгрыша будет наибольшим, если всегда ставить всю сумму, но при достаточном кол-ве игр вы с вероятностью 1 все проиграете.
tatunya
Т.е snav согласен, что менять конверт это абсурд, так же очевидно, что матожидание посчитанное по апостериорной вероятности говорит обратное, какие еще могут быть варианты, кроме некорректности применения метода принятия решения. Этот метод статистический, ну как его можно применять, когда никакой уже статистики нет.
snav
QUOTE(tatunya @ 25.11.2009, 13:14) *
Т.е snav согласен, что менять конверт это абсурд, так же очевидно, что матожидание посчитанное по апостериорной вероятности говорит обратное, какие еще могут быть варианты, кроме некорректности применения метода принятия решения. Этот метод статистический, ну как его можно применять, когда никакой уже статистики нет.

tatunya, я бы сказал, что принцип максимума матожидания опирается больше на теорию вероятностей, чем на статистику (это разные науки, хотя они и сильно пересекаются). Основные понятия теории вероятностей (такие как случайная величина, событие, вероятность, матожидание) в общем случае не связаны с числом испытаний и могут применяться даже к разовым экспериментам. Просто статистическое восприятие теории вероятностей более наглядно и понятно, поэтому его чаще используют на практике. Но строго говоря, это не обязательно. Вполне корректно говорить о матожидании выигрыша безотносительно к серии испытаний.
John777
Когда мы узнаем кол-во денег в одном из конвертов, мы получаем какую-то информацию. Независимо от этой информации мы должны выбрать другой конверт, но важен сам факт получения нами этой информации. Симметричность исчезает при открытии конверта. Т.е. если перед нами 2 закрытых конверта, то все симметрично, если мы знаем кол-во денег в одном из них, то он для нас менее ценен, чем другой.
Ведь если мы сразу узнаем кол-во денег в обоих конвертах, то их ценность для нас изменится, так почему она не может изменится после узнавание кол-ва денег в одном из них?
Powered by Java
Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с деньгами, причем в одном денег в 2 раза больше, чем во втором и вы это знаете. Вы открываете первый конверт и там N денег. Теперь вам ведущий предлагает сыграть в супер-игру: Надо сказать, больше во втором конверте денег или нет. Если вы угадываете, то ваша сумма удваивается, если не угадываете, то делится пополам.
Вопрос: будем играть?
Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?
denisR
Я во всем этом плохо разбираюсь. И не понял многого из того что здесь написано.
Но
почему говорится о симметрии. ты можешь увеличить или уменьшить свои деньги, но вот увеличить на 4, а уменьшить на 2. По-моему в этом разница. увеличишь ты или уменьшишь здесь 50 на 50, но деньги разные. не надо говорить во сколько раз, надо говорить на сколько.

если в одном 4 а в другом либо 8 либо 0, тогда тут симметрия.
denisR
Эту задачу можно перефразировать так что никакой симметрии не будет

Вы выиграли 2 дол и вам предлагается выбрать между двумя возможностями:
-либо гарантировано получить еще 2 дол
-либо сыграть в игру где надо выбрать один конверт из двух(6 и 0 долларов соответственно)
snav
QUOTE(Powered by Java @ 25.11.2009, 15:47) *
Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с деньгами, причем в одном денег в 2 раза больше, чем во втором и вы это знаете. Вы открываете первый конверт и там N денег. Теперь вам ведущий предлагает сыграть в супер-игру: Надо сказать, больше во втором конверте денег или нет. Если вы угадываете, то ваша сумма удваивается, если не угадываете, то делится пополам.
Вопрос: будем играть?
Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?

"Вопрос: будем играть?"
Не знаю. У нас нет данных, чтобы принять рационально обоснованное решение.

"Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?"
В том, что задача еще более запутана. smile.gif
snav
QUOTE(denisR @ 25.11.2009, 16:02) *
почему говорится о симметрии.

Об этом подробно написал выше.

QUOTE(denisR @ 25.11.2009, 16:02) *
ты можешь увеличить или уменьшить свои деньги, но вот увеличить на 4, а уменьшить на 2. По-моему в этом разница. увеличишь ты или уменьшишь здесь 50 на 50, но деньги разные.

Выше я писал, что 50х50 здесь очень спорно. У нас нет оснований считать эти события равновероятными.

QUOTE(denisR @ 25.11.2009, 17:01) *
Эту задачу можно перефразировать так что никакой симметрии не будет
Вы выиграли 2 дол и вам предлагается выбрать между двумя возможностями:
-либо гарантировано получить еще 2 дол
-либо сыграть в игру где надо выбрать один конверт из двух(6 и 0 долларов соответственно)

Это совсем другая задача. Здесь всё просто и никакого парадокса нет.
John777
QUOTE(Powered by Java @ 25.11.2009, 15:47) *

Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с деньгами, причем в одном денег в 2 раза больше, чем во втором и вы это знаете. Вы открываете первый конверт и там N денег. Теперь вам ведущий предлагает сыграть в супер-игру: Надо сказать, больше во втором конверте денег или нет. Если вы угадываете, то ваша сумма удваивается, если не угадываете, то делится пополам.
Вопрос: будем играть?
Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?

Ответ: в супер-игру играть стоит, т.к. вероятность выйграть в нее 50% (у нас - не так), а выйгрыш больше проигрыша.
Ответ2: а) здесь нам не дают выбрать конверт для открывания в начале.
б) вместо одного решения: менять или не менять конверт, здесь нужно два: играть ли в супер-игру и, в случае положительного ответа, сказать больше или меньше.
Явно, это другая задача.

snav, что насчет моего последнего поста?
snav
QUOTE(John777 @ 25.11.2009, 20:57) *
snav, что насчет моего последнего поста?

Я ничего не понял. Совсем ничего. smile.gif
John777
QUOTE(snav @ 25.11.2009, 21:04) *

Я ничего не понял. Совсем ничего. smile.gif


Назовем ценностью конверта - ожидаемое нами кол-во денег в этом конверте. Тогда следует выбирать конверт с большей ценностью.
Как мы уже поняли (я надеюсь), при нашем распределении ценность конвертов в начале игры бесконечна и все симметрично. Когда мы открыли один из конвертов, его ценность изменилась (стала равной кол-ву денег в конверте). Ценность второго конверта тоже изменилась (она явно стала ограниченной). Т.е. ценности конвертов стали различны в тот момент, когда мы открыли второй конверт. Я полагаю, что в этот момент ДЛЯ НАС симметричность пропала (т.к. мы знаем кол-во денег в одном конверте, но не знаем в другом).

"Неизвестность манит":)
snav
Симметрии тут, конечно, нет. Симметрия задачи в другом: что изначально можно было открыть второй конверт, а потом с помощью тех же самых рассуждений прийти к выводу, что выгоднее взять первый.

А насчет вашей фразы "мы знаем кол-во денег в одном конверте, но не знаем в другом" я уже писал, что согласно парадоксу нам нет нужды знать кол-во денег в конверте. Наше решение о смене конверта не зависит от суммы в первом конверте, поэтому в него можно даже не заглядывать, а сразу выбирать второй конверт. Получается что ценность второго конверта априори выше ценности первого. В этом и абсурдность ситуации.
John777
QUOTE(snav @ 26.11.2009, 7:59) *

А насчет вашей фразы "мы знаем кол-во денег в одном конверте, но не знаем в другом" я уже писал, что согласно парадоксу нам нет нужды знать кол-во денег в конверте. Наше решение о смене конверта не зависит о суммы в первом конверте, поэтому в него можно даже не заглядывать, а сразу выбирать второй конверт. Получается что ценность второго конверта априори выше ценности первого. В этом и абсурдность ситуации.


Я полагаю, что наше решение не зависит от суммы в первом конверте, но зависит от самого факта знания нами этой суммы. Т.е. когда мы знаем сумму в первом конверте, но не знаем ее во втором, мы выбираем второй.
snav
QUOTE(John777 @ 26.11.2009, 9:18) *
Я полагаю, что наше решение не зависит от суммы в первом конверте, но зависит от самого факта знания нами этой суммы. Т.е. когда мы знаем сумму в первом конверте, но не знаем ее во втором, мы выбираем второй.

И где же тут зависимость от "факта знания нами этой суммы"? Термин "зависимость" предполагает, что решение может быть разным исходя из произошедшего события. В нашем случае решение всегда одно - конверт меняется в любом случае. Никакой зависимости нет.
snav
John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.

Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта. smile.gif

Таким образом, смена конверта не может увеличить среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения.
Powered by Java
QUOTE(snav @ 26.11.2009, 10:04) *

John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.

Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта. smile.gif

Таким образом, смена конверта не увеличивает среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения.

Первый и второй участник находятся перед разным выбором. И говорить, что они выиграли или проиграли при смене конверта одинаково нельзя! Давайте построим все таки модели испытаний, из которых будут очевидны плюсы и минусы принятия решения, и определимся, что мы сравниваем.
Модель 1.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с конвертом в котором больше денег?
Описываем эксперимент: Выбираем случайное число X на каждом испытании и в 2 конверта раскладываем X и X*2 денег. Случайным образом выбираем первый конверт. Суммируем кол-во угаданных с первого раза за стратегию оставить первый, не угаданных за стратегию взять второй. Сравниваем и получаем, что шансы равны. И симметричность и мат ожидание скажут, что нам все равно. Ведь тут мат ожидание не конкретной суммы денег, а угадать конверт.
Модель 2.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с бОльшим кол-вом денег, если сумма в конвертах выбирается случайным образом для всех испытаний?
Описываем эксперимент: Каждый раз выбираем случайное число X. Раскладываем деньги, делаем выбор, суммируем полученные деньги и сравниваем суммы у игроков... Постойте! А как можно сравнить выигрыш в 1$ и в 10$ и проигрыш в 0.5$ и 5$? Нужна норма!
-- Модель 2.а, нормируем случайное число х. Таким образом получим, что пара будет выбираться каждый раз одна. В такой формулировке и мат ожидание и симметричность скажут, что нам все равно, какой конверт выбирать.
Условия задачи допускают много трактовок. Если первоначальную сумму в конвертах считать заданной, а факт обнаружения в конверте конкретной суммы игнорировать (т.е. утверждать, что игрок обнаружит фиксированные значения X и X*2 с вероятностью 50х50), то получим вполне законный и обоснованный результат. А можно ли так трактовать? Конечно да smile.gif Данная задача не описывает конкретную модель, которая может/не может быть применима. Именно эта модель должна быть использована в в примере из цитаты svan. Бесспорно, что и мат ожидание такой модели выдаст 50х50 и противоречий не возникнет.
-- Модель 2.б, нормируем открытую сумму из первого конверта. Тогда получим, что в конвертах может быть либо X и X*2, либо X и X/2 с равной вероятность, где X - деньги из первого открытого конверта, на которые нормируем. Эта модель и позволяет говорить о бОльшем мат ожидании во втором конверте и отсутствии симметричности.
Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм.
А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства.
John777
snav, спасибо, понял свою ошибку в понимании симметричности.

Powered by Java, извините, но уши вянут wink.gif

QUOTE(Powered by Java @ 26.11.2009, 13:23) *

А как можно сравнить выигрыш в 1$ и в 10$ и проигрыш в 0.5$ и 5$?


Нам не нужно их сравнивать! Нужно сравнить ожидание выйгрыша и проигрыша в сумме за несколько игр (или за одну игру).
Powered by Java
QUOTE(John777 @ 26.11.2009, 14:04) *

snav, спасибо, понял свою ошибку в понимании симметричности.

Powered by Java, извините, но уши вянут wink.gif
Нам не нужно их сравнивать! Нужно сравнить ожидание выйгрыша и проигрыша в сумме за несколько игр (или за одну игру).

Надо, ибо мы строим модель и хотим неким образом суммировать информацию о результатах бесконечного кол-ва испытаний. Что такое ожидание? Это некая величина, которая будет в среднем в бесконечном кол-ве испытаний. Именно ее мы и ищем. Именно для этого и нужна норма.
tatunya
QUOTE(Powered by Java @ 26.11.2009, 14:23) *

....
Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм.
А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства.

Как много букв, но может этот парадокс и пытаются разрешить, что при разных моделях (подходах) разный результат. И в моем понимании, чтобы разрешить парадокс, надо найти причину для неприменимости какой-либо модели.

QUOTE(Powered by Java @ 26.11.2009, 15:14) *

Что такое ожидание? Это некая величина, которая будет в среднем в бесконечном кол-ве испытаний. Именно ее мы и ищем.

А есть ли это бесконечное число испытаний после открытия первого конверта? Как здесь надо трактовать матожидание и почему им можно руководствоваться?
Powered by Java
QUOTE(tatunya @ 26.11.2009, 14:22) *

Как много букв, но может этот парадокс и пытаются разрешить, что при разных моделях (подходах) разный результат. И в моем понимании, чтобы разрешить парадокс, надо найти причину для неприменимости какой-либо модели.

В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах. Это и позволяет нам строить 2 разные по сути и решению модели. Если конкретизировать модель тем или иным образом, парадокс исчезнет сам собой.
Давайте поясню на примере парадокса Монти-Холла, который не вызывает сомнений.
В оригинале, ведущий всегда открывает дверь с козой. Это в нашем случае аналогично модели 2.б.
Представим себе, что в условии было: ведущий всегда открывает 3-ю дверь (даже если там авто или игрок выбрал именно третью дверь). И вот ситуация, игрок выбрал первую дверь, а ведущий открыл 3-ю и за ней коза. Стоит ли ему менять выбор? В такой трактовке - все равно. Это аналогично модели 2.а.
Все споры вокруг задачи двух конвертов в том, что ограничения на обе модели а и б нет! И каждый начинает трактовать условия в пользу одного либо другого подхода, а некоторые, в пользу обеих сразу и получают парадокс.
Мое личное мнение (аргументированное), обе модели корректны в рамках поставленных условий и парадокса нет. А вот условие задачи - не полное.
tatunya
QUOTE(Powered by Java @ 26.11.2009, 16:38) *

В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах.

Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью (я рассматриваю именно корректную вероятностную модель, приведенную snavом в комментариях).
QUOTE(Powered by Java @ 26.11.2009, 16:38) *

В оригинале, ведущий всегда открывает дверь с козой. Представим себе, что в условии было: ведущий всегда открывает 3-ю дверь

Это уже просто две абсолютно разные задачи, а тут одна задача, корректная и жизненная, по моему личному мнению она не может быть не полной. Лично вы будете менять конверт?
Powered by Java
QUOTE(tatunya @ 26.11.2009, 16:05) *

Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью (я рассматриваю именно корректную вероятностную модель, приведенную snavом в комментариях).

Если вероятностная модель известна, то парадокса быть не может! Весь парадокс основан на отсутствии именно этой информации.
QUOTE(tatunya @ 26.11.2009, 16:05) *

Это уже просто две абсолютно разные задачи, а тут одна задача, корректная и жизненная, по моему личному мнению она не может быть не полной. Лично вы будете менять конверт?

Пусть я открыл конверт и там 4$. Если мне гарантируют, что в конверт могла попасть пара 2-4 с той же вероятностью, что и пара 4-8, то да. Если не гарантируют, то буду субъективен.
Это упрощенная версия форума. Для просмотра полной версии нажмите нажмите сюда.
Invision Power Board © 2001-2020 Invision Power Services, Inc.