Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
idler_ |
20.12.2011, 18:55
Сообщение
#101
|
Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
Пока не видел возражений, что "парадокс" заключается в подмене понятия "выгодности" неравенством матожиданий для двух стратегий. Ну, да, стратегия "меняй конверт" увеличивает матожидание, но причём здесь выгодность???? Например, в первом конверте видим 1000р. и до смерти хочется дозу - а она стоит 900р. Менять - чревато. И иначе - если видим только 500р. Тут уж надо рискнуть... Мне не очень понятно, зачем вы вводите в задачу дополнительные условия. В задаче выгодность = остаться после испытания с более толстым кошельком. Какие нафиг дозы? -------------------- Я - человек-простой
|
snav |
20.12.2011, 19:17
Сообщение
#102
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Мне кажется, что в данной задаче "фиксированную" - не значит конечную. А мне кажется, что значит. Можешь обосновать? Я рассуждал так, что по условию был проведен некий идеальный эксперимент, в котором было сгенерировано случайное число X, подчиняющееся заданному распределению F(X). Затем соответствующая сумма денег (X и 10*X) была положена в конверты. Поскольку матожидание M(X) = +INF, то число X могло принять не обязательно конечное значение. |
idler_ |
20.12.2011, 19:25
Сообщение
#103
|
Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
Можешь обосновать? Строго вряд ли. Поскольку матожидание M(X) = +INF, то число X могло принять не обязательно конечное значение. Т. е. вывод о том, можно ли увидеть в конверте бесконечную сумму, ты делаешь после того, как получаешь бесконечное мат. ожидание? Интересный способ дополнять условие на основе неких выводов. -------------------- Я - человек-простой
|
snav |
20.12.2011, 19:28
Сообщение
#104
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
А где я дополнил условие? По-моему, сделанные выводы следуют из условия.
|
idler_ |
20.12.2011, 19:29
Сообщение
#105
|
Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
А где я дополнил условие? По-моему, сделанные выводы следуют из условия. Мне кажется, что возможность или невозможность увидеть в конверте бесконечную сумму всё-таки должно быть именно частью условия, а не выводом. И твой вывод я не считаю строгим, чтобы можно было сказать, что это именно следует из условия. -------------------- Я - человек-простой
|
nik_vic |
20.12.2011, 19:38
Сообщение
#106
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
Мне не очень понятно, зачем вы вводите в задачу дополнительные условия. В задаче выгодность = остаться после испытания с более толстым кошельком. Какие нафиг дозы? Вопрос: как вам поступить, чтобы получить бОльшую сумму денег? Это - одна из многочисленных формулировок. Вот другая - QUOTE Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2 = (5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Можно заметить, что отношение "больше" применяется в области, где это самое больше не определено: одной его частью является число, второй - случайная величина. Нет, даже хуже, т.к. число - тоже случайная величина, всегда принимающая одно и то же значение Впрочем, чаще других рассматривают вариант, в котором два конверта выдаются двум "игрокам", и оба они, согласно "рассуждениям", полагают целесообразным обменяться конвертами -------------------- Где это видано?
|
snav |
22.12.2011, 18:55
Сообщение
#107
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
|
alan |
27.12.2011, 15:54
Сообщение
#108
|
zzz... Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 13 480 Регистрация: 23.2.2009 Из: Симферополь Пользователь №: 13 114 |
QUOTE Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,...- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять. Может ерунда с таким распределением в том, что, если посчитать мат. ожидание суммы, которая лежит в вытянутом наугад конверте оно будет равно бесконечности? И тогда, когда мы меняем конверты мы меняем бесконечность на бесконечность. Ничего странного, что первая бесконечность у нас в N раз больше второй, в то время как вторая в К раз больше первой. |
alan |
27.12.2011, 16:04
Сообщение
#109
|
zzz... Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 13 480 Регистрация: 23.2.2009 Из: Симферополь Пользователь №: 13 114 |
QUOTE Может ерунда с таким распределением в том, что, если посчитать мат. ожидание суммы, которая лежит в вытянутом наугад конверте оно будет равно бесконечности?И тогда, когда мы меняем конверты мы меняем бесконечность на бесконечность. Ничего странного, что первая бесконечность у нас в N раз больше второй, в то время как вторая в К раз больше первой. Т.е. получается штука в том, что мы просто не можем открыть конверт *crazy* (находящаяся там сумма нас "раздавит"). Потому, что распределение вероятности "плохое" (имеет бесконечное среднее). Выходит для предотвращения такого парадокса, просто нужно в ТВ ввести некоторую аксиому, которая будет ограничивать нас в выборе распределений вероятности, и откинет все "плохие" распределения. |
alan |
27.12.2011, 16:15
Сообщение
#110
|
zzz... Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 13 480 Регистрация: 23.2.2009 Из: Симферополь Пользователь №: 13 114 |
QUOTE Т.е. получается штука в том, что мы просто не можем открыть конверт *crazy* (находящаяся там сумма нас "раздавит"). Потому, что распределение вероятности "плохое" (имеет бесконечное среднее).Выходит для предотвращения такого парадокса, просто нужно в ТВ ввести некоторую аксиому, которая будет ограничивать нас в выборе распределений вероятности, и откинет все "плохие" распределения. Или не распределение плохое, а мат ожидание при данном распределении плохое. Тут мы рассуждаем как бы нам заработать побольше. И используем мат. ожидание как некий реальный заработок. (фактически мы говорим, что когда нам дают закрытый конверт нам дали сумму равную мат. ожиданию). Так вот, потому, что мат ожидание еще для первого конверта бесконечное мы не можем в этом случае использовать его как заработок. ___ Кстати, интересно, если продолжать предполагать, что мат. ожидание = заработок, тогда выходит нам невыгодно открывать конверт! Если мы откроем конверт, заработок обязательно уменьшится. И при этом конвертом можно пользоваться как купюрой стоимостью inf рублей. Ведь никто в своем уме не будет его открывать. И значит для всех будущих обладателей он будет иметь именно такую стоимость. И тогда очевидно, что менять этот конверт, на тот, что лежит рядом бессмысленно - меняешь купюру стоимостью inf на купюру стоимостью N*inf = inf, а они равносильны. |
0 |
27.12.2011, 18:46
Сообщение
#111
|
Охгдеж Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 335 Регистрация: 26.3.2009 Пользователь №: 13 618 |
Или не распределение плохое, а мат ожидание при данном распределении плохое. Тут мы рассуждаем как бы нам заработать побольше. И используем мат. ожидание как некий реальный заработок. (фактически мы говорим, что когда нам дают закрытый конверт нам дали сумму равную мат. ожиданию). Так вот, потому, что мат ожидание еще для первого конверта бесконечное мы не можем в этом случае использовать его как заработок. ___ Кстати, интересно, если продолжать предполагать, что мат. ожидание = заработок, тогда выходит нам невыгодно открывать конверт! Если мы откроем конверт, заработок обязательно уменьшится. И при этом конвертом можно пользоваться как купюрой стоимостью inf рублей. Ведь никто в своем уме не будет его открывать. И значит для всех будущих обладателей он будет иметь именно такую стоимость. И тогда очевидно, что менять этот конверт, на тот, что лежит рядом бессмысленно - меняешь купюру стоимостью inf на купюру стоимостью N*inf = inf, а они равносильны. Да не бессмысленно это. И распределение хорошее и мат ожидание тоже вполне ничего себе. Не нужно конечно его приравнивать к заработку - это средний заработок и в реале он не учитывает сложность повторения эксперимента - если после того как ты сорвал джек пот в лотерее тебе предложат втрое больше или ничего если монетка выпадет твоей стороной по мат ожиданию стоило бы согласиться, но шансы сорвать второй раз джек пот призрачны. Но это лирика а менять конверт все же стоит (после открывания). Если взять серию испытаний то среди тех кто увидел в конверте миллион те кто поменял конверт заработают больше тех кто не поменял. |
alan |
27.12.2011, 18:54
Сообщение
#112
|
zzz... Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 13 480 Регистрация: 23.2.2009 Из: Симферополь Пользователь №: 13 114 |
Еще немного с другой стороны, чем плохи бесконечности для нашего решения:
QUOTE Приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае (причем можно даже не заглядывать в первый конверт). Важно понять, что именно тут происходит. В этом рассуждении мы переходим от частных случаев к общему. Показываем, что для каждого Х больше, значит для любого Х нам выгодно менять. Фактически мы применяем то, что если f_i > g_i, для всех 0 <= i < N, то lim(sum(f_i)/N, N->inf) > lim(sum(f_i)/N, N->inf). Но это утверждение справедливо только пока lim(sum(g_i)/N, N->inf) не равно бесконечности. |
nik_vic |
27.12.2011, 19:37
Сообщение
#113
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
менять конверт все же стоит (после открывания). Если взять серию испытаний то среди тех кто увидел в конверте миллион те кто поменял конверт заработают больше тех кто не поменял. Хех, а пачему - после открывания? Если от его результата не зависит решение поменять? -------------------- Где это видано?
|
0 |
27.12.2011, 20:22
Сообщение
#114
|
Охгдеж Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 335 Регистрация: 26.3.2009 Пользователь №: 13 618 |
Хех, а пачему - после открывания? Если от его результата не зависит решение поменять? Потому что до открывания это два одинаковых конверта и менять тут нечего. И да если раздать эти конверты двоим то каждому из них стоит поменяться конвертами с соседом и это даст каждому выигрыш в среднем |
дёрти |
28.12.2011, 5:54
Сообщение
#115
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 33 Регистрация: 10.4.2010 Из: СПб Пользователь №: 20 225 |
Потому что до открывания это два одинаковых конверта и менять тут нечего. И да если раздать эти конверты двоим то каждому из них стоит поменяться конвертами с соседом и это даст каждому выигрыш в среднем "... то каждый из них придёт к выводу, что стоит поменяться конвертами с соседом, потому что возможный выигрыш перевешивает возможный проигрыш" Но в результате обмена, выигрыш одного будет равен проигрышу другого, сумма нулевая. Просто, вывод о выгодности обмена, каждый строил от своей "базы" - от величины своего конверта. -------------------- Да, я в неё ем
|
vegetable |
4.1.2012, 0:19
Сообщение
#116
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 6 Регистрация: 27.11.2011 Пользователь №: 29 210 |
|
Brainthrust |
5.1.2012, 14:08
Сообщение
#117
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 7 Регистрация: 13.2.2010 Пользователь №: 19 376 |
Возможно, сейчас глупость напишу, но попробовать стоит
Пусть в открытом конверте X денег. Тогда во втором конверте - Y, причем вероятность P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3. Я не могу это стого доказать, но, судя по всему, для Y не выполняется закон больших чисел (из-за того, что X может быть сколь угодно большим, получается неограниченная дисперсия и известные мне достаточные условия выполнения ЗБЧ не работают). Поэтому мы не можем заменять Y на его матожидание при многократном повторении эксперимента. Понятно, что выполнение ЗБЧ играет роль только при многократном проведении эксперимента. Тогда у меня вопрос: какой смысл имеет матожидание при однократном проведении эксперимента? |
snav |
5.1.2012, 17:55
Сообщение
#118
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Возможно, сейчас глупость напишу, но попробовать стоит Ничего страшного. Мы тут все по очереди этим занимается - пишем глупости... Пусть в открытом конверте X денег. Тогда во втором конверте - Y, причем вероятность P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3. Я не могу это стого доказать, но, судя по всему, для Y не выполняется закон больших чисел (из-за того, что X может быть сколь угодно большим, получается неограниченная дисперсия и известные мне достаточные условия выполнения ЗБЧ не работают). Поэтому мы не можем заменять Y на его матожидание при многократном повторении эксперимента. Понятно, что выполнение ЗБЧ играет роль только при многократном проведении эксперимента. Тогда у меня вопрос: какой смысл имеет матожидание при однократном проведении эксперимента? Я не понял, как это поможет разрешить парадокс. Априорное матожидание бесконечно. Но парадокс оперирует апостериорными матожиданиями, а это нормальные "конечные" числа. |
0 |
5.1.2012, 18:26
Сообщение
#119
|
Охгдеж Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 335 Регистрация: 26.3.2009 Пользователь №: 13 618 |
|
nik_vic |
5.1.2012, 19:20
Сообщение
#120
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
Возможно, сейчас глупость напишу, но попробовать стоит Пусть в открытом конверте X денег. Тогда во втором конверте - Y, причем вероятность P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3. Я не могу это стого доказать, но, судя по всему, для Y не выполняется закон больших чисел (из-за того, что X может быть сколь угодно большим, получается неограниченная дисперсия и известные мне достаточные условия выполнения ЗБЧ не работают). Поэтому мы не можем заменять Y на его матожидание при многократном повторении эксперимента. Понятно, что выполнение ЗБЧ играет роль только при многократном проведении эксперимента. Тогда у меня вопрос: какой смысл имеет матожидание при однократном проведении эксперимента? Матожидание имеет смысл даже без проведения эксперимента. К тому же мы не имеем дела с матожиданием Y, рассматривается условное матожидание, и оно действительно равно (10/3+2/30)*Х > Х. -------------------- Где это видано?
|
Упрощённая версия | Сейчас: 10.5.2024, 0:40 |