Мне не очень понятно, зачем вы вводите в задачу дополнительные условия.
В задаче выгодность = остаться после испытания с более толстым кошельком.
Какие нафиг дозы?

Можешь обосновать?

Я рассуждал так, что по условию был проведен некий идеальный эксперимент, в котором было сгенерировано случайное число X, подчиняющееся заданному распределению F(X). Затем соответствующая сумма денег (X и 10*X) была положена в конверты. Поскольку матожидание M(X) = +INF, то число X могло принять не обязательно конечное значение.

Строго вряд ли.


Т. е. вывод о том, можно ли увидеть в конверте бесконечную сумму, ты делаешь после того, как получаешь бесконечное мат. ожидание? Интересный способ дополнять условие на основе неких выводов.

А где я дополнил условие? По-моему, сделанные выводы следуют из условия.

Мне кажется, что возможность или невозможность увидеть в конверте бесконечную сумму всё-таки должно быть именно частью условия, а не выводом. И твой вывод я не считаю строгим, чтобы можно было сказать, что это именно следует из условия.

Вопрос: как вам поступить, чтобы получить бОльшую сумму денег?
Это - одна из многочисленных формулировок. Вот другая -


Можно заметить, что отношение "больше" применяется в области, где это самое больше не определено: одной его частью является число, второй - случайная величина. Нет, даже хуже, т.к. число - тоже случайная величина, всегда принимающая одно и то же значение




Впрочем, чаще других рассматривают вариант, в котором два конверта выдаются двум "игрокам", и оба они, согласно "рассуждениям", полагают целесообразным обменяться конвертами

Похоже, ты прав. Что-то меня переклинило.

Может ерунда с таким распределением в том, что, если посчитать мат. ожидание суммы, которая лежит в вытянутом наугад конверте оно будет равно бесконечности?
И тогда, когда мы меняем конверты мы меняем бесконечность на бесконечность. Ничего странного, что первая бесконечность у нас в N раз больше второй, в то время как вторая в К раз больше первой.

Т.е. получается штука в том, что мы просто не можем открыть конверт *crazy* (находящаяся там сумма нас "раздавит"). Потому, что распределение вероятности "плохое" (имеет бесконечное среднее).
Выходит для предотвращения такого парадокса, просто нужно в ТВ ввести некоторую аксиому, которая будет ограничивать нас в выборе распределений вероятности, и откинет все "плохие" распределения.

Или не распределение плохое, а мат ожидание при данном распределении плохое.
Тут мы рассуждаем как бы нам заработать побольше. И используем мат. ожидание как некий реальный заработок. (фактически мы говорим, что когда нам дают закрытый конверт нам дали сумму равную мат. ожиданию). Так вот, потому, что мат ожидание еще для первого конверта бесконечное мы не можем в этом случае использовать его как заработок.

___
Кстати, интересно, если продолжать предполагать, что мат. ожидание = заработок, тогда выходит нам невыгодно открывать конверт! Если мы откроем конверт, заработок обязательно уменьшится.
И при этом конвертом можно пользоваться как купюрой стоимостью inf рублей. Ведь никто в своем уме не будет его открывать. И значит для всех будущих обладателей он будет иметь именно такую стоимость.
И тогда очевидно, что менять этот конверт, на тот, что лежит рядом бессмысленно - меняешь купюру стоимостью inf на купюру стоимостью N*inf = inf, а они равносильны.

Да не бессмысленно это. И распределение хорошее и мат ожидание тоже вполне ничего себе.
Не нужно конечно его приравнивать к заработку - это средний заработок и в реале он не учитывает сложность повторения эксперимента - если после того как ты сорвал джек пот в лотерее тебе предложат втрое больше или ничего если монетка выпадет твоей стороной по мат ожиданию стоило бы согласиться, но шансы сорвать второй раз джек пот призрачны.

Но это лирика а менять конверт все же стоит (после открывания). Если взять серию испытаний то среди тех кто увидел в конверте миллион те кто поменял конверт заработают больше тех кто не поменял.

Еще немного с другой стороны, чем плохи бесконечности для нашего решения:

Важно понять, что именно тут происходит. В этом рассуждении мы переходим от частных случаев к общему. Показываем, что для каждого Х больше, значит для любого Х нам выгодно менять.
Фактически мы применяем то, что если f_i > g_i, для всех 0 <= i < N, то lim(sum(f_i)/N, N->inf) > lim(sum(f_i)/N, N->inf).
Но это утверждение справедливо только пока lim(sum(g_i)/N, N->inf) не равно бесконечности.

Хех, а пачему - после открывания? Если от его результата не зависит решение поменять?

Потому что до открывания это два одинаковых конверта и менять тут нечего.
И да если раздать эти конверты двоим то каждому из них стоит поменяться конвертами с соседом и это даст каждому выигрыш в среднем

Скорее так:
"... то каждый из них придёт к выводу, что стоит поменяться конвертами с соседом, потому что возможный выигрыш перевешивает возможный проигрыш"
Но в результате обмена, выигрыш одного будет равен проигрышу другого, сумма нулевая. Просто, вывод о выгодности обмена, каждый строил от своей "базы" - от величины своего конверта.

Возможно, сейчас глупость напишу, но попробовать стоит

Пусть в открытом конверте X денег. Тогда во втором конверте - Y, причем вероятность P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3. Я не могу это стого доказать, но, судя по всему, для Y не выполняется закон больших чисел (из-за того, что X может быть сколь угодно большим, получается неограниченная дисперсия и известные мне достаточные условия выполнения ЗБЧ не работают). Поэтому мы не можем заменять Y на его матожидание при многократном повторении эксперимента.
Понятно, что выполнение ЗБЧ играет роль только при многократном проведении эксперимента. Тогда у меня вопрос: какой смысл имеет матожидание при однократном проведении эксперимента?

Ничего страшного. Мы тут все по очереди этим занимается - пишем глупости...


Я не понял, как это поможет разрешить парадокс. Априорное матожидание бесконечно. Но парадокс оперирует апостериорными матожиданиями, а это нормальные "конечные" числа.

А в чем парадокс-то видится?

Матожидание имеет смысл даже без проведения эксперимента.
К тому же мы не имеем дела с матожиданием Y, рассматривается условное матожидание, и оно действительно равно (10/3+2/30)*Х > Х.