Mодератор alan

Трем братьям достались в наследство три необычных кубика, на гранях которых встречались только натуральные числа от 1 до 8, причем ни одно число не встречалось на двух разных кубиках. По наставлению отца все споры разрешались броском кубиков: у кого выпадет большее число, тот и выиграл. Благодаря этому в спорах среднего с младшим чаще выигрывал средний брат, а с кем бы из двоих братьев ни спорил старший брат — чаще побеждал именно он. Повзрослев, братья стали жить отдельно, перестали спорить и начали играть в кубики втроем в качестве развлечения, когда удавалось собраться вместе всей семьей. Каково же было их удивление, когда выяснилось, что теперь чаще всех выигрывает младший, а реже всех — старший.

Приведите пример кубиков, с которыми это возможно при большом числе игр.

Оккупанты схватили шестнадцать мегамозгов и надели каждому на голову колпак со случайной буквой: «А» или «Б». Каждый мегамозг видит буквы на головах других, но не свою. После этого каждый может написать на своем листке бумаги «А» или «Б». Их всех отпустят, если хотя бы один напишет букву на своем колпаке и никто не напишет букву, которой нет на его колпаке. У них было время предварительно договориться. Найдите максимальную вероятность им оказаться на воле и приведите стратегию, при которой эта вероятность достигается. Доказательство максимальности не требуется.

В группе из 27 человек каждый либо правдивец, либо хитрец (отвечающий как ему вздумается). Каждому из них по отдельности можно задать любое количество вопросов, на которые он может ответить либо «да», либо «нет». За какое минимальное количество вопросов можно гарантированно идентифицировать хотя бы одного правдивца, если известно, что хитрецов меньше половины? Доказательство минимальности не требуется.

Из двух урн с белыми и черными шарами вынимают по одному шару. Известно, что вероятность вынуть оба белых шара равна 54%. Чему равна вероятность, что оба шара окажутся черными, если всего шаров — 25?

Найдите время за которое Земля упадет на Солнце, если её внезапно остановить. Размерами Земли и Солнца можно пренебречь.

На столе лежит ряд из 100 монет. Нужно за 50 ходов сделать 50 столбиков по две монеты.

За один ход разрешается перепрыгнуть одной монетой ровно через две (не важно, лежащих рядом или друг на друге), и приземлиться на другой одиночной монете.

Казино проводит игру из 9 раундов, в которой участвуют два посетителя и крупье. В начале каждому участнику выдают два именных шара: белый и черный. В каждом раунде игроки выбирают один из шаров и незаметно друг для друга бросают его в общий мешок. Затем у всех на глазах мешок раскрывают и определяют победителя. Посетители выигрывают, если все три шара оказались одного цвета, в противном случае побеждает казино. Игроки забирают свои шары, и начинается следующий раунд.

В игре решили поучаствовать два друга, один из которых — экстрасенс, который за секунду до начала игры сможет узнать, какие шары во всех раундах будет выбирать крупье. К сожалению, секунды не хватит, чтобы поделиться полученной информацией с партнером. Какое максимальное число выигрышей могут гарантировать себе друзья, заранее договорившись о стратегии? Доказательство максимальности не требуется.

В Мозголяндии некоторые жители пристрастились к употреблению запрещенного препарата «Отупин». Власти решили оценить остроту проблемы, но было понятно, что употребляющие не согласятся открыто признаться в нарушении закона. Как ни странно, Мегамозг и тут нашел выход. «Есть такой способ опроса, который позволяет оценить общий процент отупляющихся и дает полные гарантии конфиденциальности для всех участников», — сказал он. Способ действительно оказался хорошим, и в опросе согласились принять участие даже самые недоверчивые жители, подозревающие, что все их действия могут быть подсмотрены. Предложите такой способ и вы.

К празднику оружейников трем мегамозгам поручили выковать клинки, которые можно вложить в ножны такой же формы, что и сам клинок. Первый выковал меч для прямых ножен. Второй сделал саблю, которая вкладывается в дугообразные. Последний мегамозг изготовил клинок третьей формы. Какой?

Собака-киборг Мегамозга из задачи «Лабиринт» сломалась и теперь умеет бежать только на восток и на юг. Кроме того, направление она может менять, лишь пройдя целое число метров. В качестве развлечения Мегамозг запускает собаку через пустое поле размером N×N метров. Она стартует из северо-западного угла поля и непременно заканчивает свой путь в юго-восточном, ведь там ее ждет хозяин. Все возможные пути собаки равновероятны. Какова вероятность, что во время двух таких запусков собака не пробежит дважды ни через одну точку поля (не считая углов)?

Чему равна наибольшая площадь треугольника, ни одна высота которого не превышает 1 см?

Внутри тетраэдра ABCD выбрали точку O. Может ли сумма длин ребер тетраэдра ABCO быть больше суммы длин ребер тетраэдра ABCD?

Мегамозг хочет переплыть реку. Его скорость равна 1 м/с, скорость реки — 2 м/с. Под каким углом к берегу нужно плыть Мегамозгу, чтобы его как можно меньше отнесло течением?

Какое минимальное число точек нужно разместить:

а) на плоскости;

б) в пространстве, но не в одной плоскости,

чтобы для любой пары точек A и B существовала пара других точек C и D, такая что прямые AB и CD параллельны, но не совпадают? Обоснование минимальности не требуется.

Тонкостенный сосуд в форме полусферы радиусом 1 метр перевернули и поставили на плоскость. Срез полусферы идеален и прилегает к плоскости без зазоров, а на самой верхушке есть небольшое отверстие, через которое наливают воду. Какой должна быть минимальная масса полусферы, чтобы ее можно было доверху заполнить водой?

Из шахматной доски вырезали две клетки разных цветов. Всегда ли полученную доску можно покрыть костяшками домино?

Однажды, гуляя по острову лжецов и правдивцев, Мегамозг встретил 10 незнакомых туземцев. Задав вопрос одному из них и услышав «нет» в ответ, он определил, кто из них кто. Что это мог быть за вопрос?

Какая фигура на картинке лишняя?

В колоде из 36 карт потерялся один туз. Оставшиеся 35 карт перемешали и проверяют одну за другой. Какое в среднем число карт придется проверить, прежде чем найдутся два туза из трех?

Семь разных костей домино показали двум мегамозгам и оккупанту, перемешали и раздали мегамозгам по три. Возможности заранее договориться у мегамозгов не было. Получится ли у них, открыто общаясь, сообщить друг другу свои кости так, чтобы оккупант не смог вычислить местонахождение ни одной из костей, которых он не видит, если оставшуюся кость:

а) спрятали;

б) отдали оккупанту?