Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

Внутри равностороннего треугольника выбрана такая точка, что углы между отрезками, проведенными из этой точки к вершинам, равны α, β и γ. Найдите углы треугольника, составленного из этих отрезков.

На плоскости нарисовано несколько отрезков, самый большой из которых имеет длину 1. Всегда ли, перемещая отрезки параллельным переносом, можно собрать их в одну ломаную, расстояние между концами которой меньше, чем 1,5?

Минимозг-кладовщик от скуки складывал на столе узоры из недавно поступивших золотых слитков. Проходивший мимо Мегамозг с удивлением заметил, что находящиеся в тот момент на столе 9 слитков расположены единственным образом, при котором образуются десять рядов по три слитка. Заглянув в накладную Мегамозг удивился еще больше: суммарный вес любых трех слитков, входящих в один ряд, был одинаков у всех рядов, кроме одного. Он рассказал об этом совпадении Минимозгу и предложил ему найти этот особенный ряд не глядя в накладную.
За какое наименьшее количество взвешиваний можно гарантированно справиться с этой задачей, если в распоряжении есть цифровые весы, позволяющие за один раз взвешивать любой набор слитков?

У двух мегамозгов есть прямоугольный торт, из которого какой-то негодяй, к сожалению, уже вырезал и съел прямоугольный кусок. Мегамозгам хотелось бы поделить торт поровну, но вот проблема: торт слоеный, поэтому горизонтально его резать не получится. Всегда ли можно разделить оставшуюся часть торта одним прямолинейным разрезом, и если да, то как он должен проходить?

Подлые оккупанты продолжают терроризировать деревню. В этот раз, поймав Мегамозга, они подвели его к куче кирпичей, дали в руки линейку и потребовали, чтобы он измерил диагональ кирпича. Разрешили сделать всего один замер. Как всегда, Мегамозг остался жить. Как он это сделал?

Есть 6 спичек. Сложите из них фигуру, состоящую только из четырех равносторонних треугольников. Ломать спички нельзя. Не должно остаться свободных концов спичек.

Как разделить арбуз на две цельные части таким образом, чтобы после его поедания осталось 3 корки.

Существует ли замкнутая кривая, не являющаяся окружностью и обладающая тем свойством, что все ее точки равноудалены от некоторой точки A?

В часах Мегамозга две шестерёнки соединены необычным образом: большая закреплена неподвижно, а малая вращается вокруг большой. У большой шестерёнки 56 зубьев, а у малой — 20, шаг зубьев одинаковый. Мегамозг запустил часы. Сколько полных оборотов вокруг своей оси сделает малая шестерёнка к моменту, когда она снова вернётся в исходное положение, при котором шестерёнки будут сцеплены теми же зубьями, что и в начале?

Как через 4 точки — вершины квадрата — провести 3 отрезка и вернуться в исходную точку? При этом начало следующего отрезка должно совпадать с концом предыдущего.

Можно ли построить тетраэдр, при каждой из вершин которого самое длинное ребро не меньше суммы двух других?

В круглом бассейне плавает рыба. Она плывет от бортика в направлении точно на север и проплыв 6 метров опять сталкивается с бортиком. Тогда рыба поворачивает на восток, проплывает еще 8 метров и опять оказывается у бортика. Какой диаметр бассейна?

В листе бумаги вырезали квадратное отверстие со стороной 11 мм. Можно ли сквозь него просунуть плоскую монету диаметром 20 мм?

Мегамозг прошел одну милю на юг, затем одну милю на восток и одну милю на север и оказался в том месте, откуда отправлялся в путь. Найдите все точки, где такое могло случиться.

Из спичек выложена фигура, показанная на рисунке. Переложите 2 спички так, чтобы получилось 4 одинаковых квадрата. Каждая спичка должна быть частью квадрата.

Будучи поклонником современного искусства вообще и кубизма в частности, некто Пыхтелкин спроектировал крышку для своего многогранного чайничка в виде выпуклого многоугольника с периметром 9 см, но промахнулся с размерами. Чтобы решить проблему, он увеличил чертеж, передвинув все стороны многоугольника во внешнюю сторону на 1 см. При этом вычисленная им площадь крышки увеличилась ровно на 12 кв.см. Не ошибся ли он?

В финале школьной олимпиады встретились Мегамозг и Минимозг. В одном из конкурсов нужно было определить площадь плоской фигуры. Сначала участникам досталась фигура, получаемая пересечением квадрата и эллипса. Мегамозг сразу написал верное число, а Минимозгу пришлось немало подумать, но он тоже справился с заданием. Следующая задачка казалась проще: найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 мегадюймам, а высота, опущенная на гипотенузу, — 11 мегадюймам. Почему же число, которое написал в ответе Минимозг, не совпало с ответом Мегамозга?

Из курса истории всем известно, что Великая Треугольная Империя до 1546 года была разделена на четыре княжества. Однако после Перламутровой Революции новый император Оккупант IX переместил территории княжеств в другие места Империи, не меняя их формы, да еще и выделил себе землю под личный замок. Но если форма (и площадь) княжеств не менялась, откуда взялась земля под замок?

Гулял Мегамозг по лесу и увидел чудное кислотное озеро квадратной формы размером 6х6 метров, а точно посреди него — квадратный остров размером 2х2 метра с кучей ананасов (все берега озера паралельны/перпендикулярны берегам острова). Мегамозгу так захотелось заморских фруктов, что без них он умрет от истечения слюной. К счастью, неподалеку от озера обнаружилась куча дубовых досок, каждая — длиной 190 см. Как Мегамозгу добраться до острова, взяв минимальное количество досок?

К празднику оружейников трем мегамозгам поручили выковать клинки, которые можно вложить в ножны такой же формы, что и сам клинок. Первый выковал меч для прямых ножен. Второй сделал саблю, которая вкладывается в дугообразные. Последний мегамозг изготовил клинок третьей формы. Какой?