27 декабря в 18:00 будут опубликованы задания.

Начну с благодарностей. Огромное спасибо заслуженно получают: nik vic, Доцент, marzelik, sergeip, alan, kavfy, losse narmo, UNDEFEAT, АлександрС, Sunday, ark-57 за идеи и условия задач, а также за помощь в корректировке и формулировке условий. Особо отмечу, что все вышеперечисленные имеют право участвовать в турнире на общих основаниях. В зачет им пойдут те задачи, условия которых они не видели.
Отдельное спасибо Black`у за призовой фонд, возможность проведения подобных турниров и само существование данного сайта! Спасибо также разработчикам- невидимым работягам, трудами которых мы пользуемся.
ВАЖНО: по сравнению с предыдущими турнирами есть существенное изменение, касающееся физики. Все вопросы по физическим задачам задаем ТОЛЬКО МНЕ В ЛИЧКУ. Это связано с тем, что в некоторых задачах даже вопрос может послужить подсказкой другим участникам. После каждой задачи есть Комментарии. В них буду добавлять уточнения по мере необходимости.
Правила:
1. Не пишем в теме мыслей по решению, только вопросы по условиям математических задач.
2. Ответы отправляем мне в личку до 20 января включительно. Присылать можно задачи по отдельности. Можно многократно отвечать на ту же задачу, но при этом я учту ТОЛЬКО ПОСЛЕДНЕЕ решение. Если хотите внести изменение в предыдущее решение, то отправьте полностью исправленное решение, а не указание, что и где заменить и т.д.
3. Обсуждения не будет- это турнир. Поэтому настоятельно прошу максимально подробно и аргументированно отвечать на вопросы задач. Я оставляю за собой право задавать уточняющие вопросы по вашему решению по окончании турнира, но исправить/изменить присланный вариант нельзя будет в любом случае.
4. По многим задачам обязательно возникнут вопросы. Я не стал добавлять уточнения в некоторых условиях, чтобы не "утопить" их. Не стесняйтесь уточнять.
5. ПРИЗЫ:
1. Физика
1-е место- 30 мозгобаксов
2-е место- 20 мозгобаксов
3-е место- 10 мозгобаксов
4-10 места- 1 месяц ВИП-статуса

2. Математика:
1-е место- 30 мозгобаксов
2-е место- 20 мозгобаксов
3-е место- 10 мозгобаксов
4-10 места- 1 месяц ВИП-статуса

3. Общий зачет:
1-е место- 30 мозгобаксов
2-е место- 20 мозгобаксов
3-е место- 10 мозгобаксов
Кроме этого будут еще призы лично от меня (рубли на телефон и/или головоломки).
6. Модераторы принимают участие на общих основаниях, только призы (в случае победы, естественно) для них предусмотрены другие.
Условия:
Физика.
1. Трос в трубке.
Имеется L-образная трубка. Верхний конец троса длиной l держат у верха трубки, а нижний касается сгиба. Трос отпускают. Сколько времени потребуется тросу, чтобы полностью перейти в горизонтальное положение? Трения нет. Трос несжимаем. Диаметр троса чуть меньше диаметра трубки.
Комментарии: сопротивлением воздуха пренебречь.

2. Космический коктейль.
На обитаемом спутнике устроили "искусственную гравитацию". Любитель коктейлей бросил в бокал кубик льда. Будет ли объем подводной части кубика отличаться, при прочих равных, от земной ситуации?
Комментарии: спутник в форме колеса, ИГ достигается вращением.

3. Удочка.
Стержень привязан ниткой к неподвижному телу. Нижний конец стержня может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Длины стержня и нити равны между собой и равны l. Высота от нижнего конца стержня до точки подвеса равна H. Систему зафиксировали в положении, показанном на рисунке, и отпустили. Какова будет максимальная скорость центра стержня во время движения?
Комментарии: точка касания стержнем стола находится на одной вертикали с точкой подвеса нити. Стержень однороден.

4. Бассейн.
К бассейну подведены три трубы, в каждую из которых вода нагнетается своим насосом. Бассейн наполняют в таком порядке: каждая из трех труб включается по очереди на половину времени, которое требуется двум другим (выключенным на данный момент) для полного заполнения бассейна. Этот алгоритм позволил заполнить бассейн за два часа. За какое время заполнят бассейн три трубы, работая одновременно?
Комментарии:все три трубы включаются ровно по одному разу! скорость наполнения любым из насосов постоянна и не зависит от уровня воды в бассейне и других факторов. Трубы работают по очереди. Одновременно с включением след. трубы выключают текущую. Мощности насосов не обязательно одинаковые. Первую трубу включили на время t1/2, где t1-время, за которое наполняют изначально пустой бассейн трубы 2 и 3, работая одновременно. Далее выключается первая и включается вторая на время t2/2, где t2-время,за которое наполняют изначально пустой бассейн трубы 1 и 3, работая одновременно. То есть это половины временных отрезков, которые необходимы "тандемным" заполнениям бассейна от 0 до максимума.

5. Стержень у стены.
У тонкого невесомого стержня длиной l на концах утолщения в виде одинаковых шариков. Это стержень поставили вертикально к стенке. Нижний шарик чуть сдвинули так, что система пришла в движение. Найдите скорость нижнего шара в момент отрыва верхнего от стены при условии, что трение отсутствует.
Комментарии:

6. Лабораторная.
Приборы и материалы: элемент питания с ЭДС 1 В, разряженные конденсаторы С1=3 мкФ, С2=1 мкФ, провода.
Цель: получение максимально возможной разности потенциалов.
Комментарии:

7. Шары в ведре.
В ведро без дна положили два одинаковых шара. Ведро- цилиндр, диаметром 40 см. Диаметры шаров- 36 см. При условии отсутствия трения найдите минимальное отношение массы шара к массе ведра, достаточное для переворачивания ведра.
Комментарии:

8. Рогатка.
Мальчик-с-пальчик стреляет из рогатки через дом с односкатной крышей. Ширина крыши 5м, высота по фасаду 8м, высота задней части дома 6м. На каком расстоянии от фасада стоит мальчик, если начальная скорость, достаточная для перелета, минимальна?
Комментарии: рост мальчика равен нулю, воздух не сопротивляется, ветра нет.

9. Груз и масса.
Масса m, лежащая на столе, привязана к грузу массой М нитью, пропущенной через отверстие в столе. Трения нет, сначала масса на расстоянии r от отверстия и ей придают скорость V перпендикулярно нити. На какую максимальную высоту поднимется груз ?
Комментарии:

10. Цепи.
Найдите общее сопротивление каждой из трех бесконечных цепей, если:
а) сопротивление каждого резистора равно r.

б) сопротивление каждого резистора равно r.

в) сопротивление единицы длины проволоки равно r, сторона большого квадрата - единица.

Комментарии:

Математика.
1. Паук и муха.
В комнате в углу между смежными стенами точно между полом и потолком сидит паук. В противоположном углу на той же высоте сидит муха. От паука к мухе есть ровно k равных между собой кратчайших путей. Высота комнаты 2,4 м. При каких длине и ширине комнаты k максимально? Чему равно k?
Комментарии: комната- прямоугольный параллелепипед, и мух и паук сидят на серединах противоположных вертикальных ребер.

2. Оладьи.
К мегамозгу нежданно в гости нагрянули друзья. Он решил их накормить вкусными оладьями в форме полукругов. Какое максимальное количество оладий он сможет уместить без наложений на круглой сковороде, если диаметр оладий 7 см, а сковороды- 28 см?
Комментарии: оладьи- ПОЛУКРУГИ!

3. Новый Год.
В городе Мегамозгов 2012! (2012 факториал) домов. В каждом доме живёт одна семья.
На Новый год все Мегамозги решили сходить семьёй в гости к своим самым ближайшим соседям( в случае, если ближайших несколько, то к любым из них). Какое максимальное количество домов на Новый год окажутся пустыми?
Комментарии: в итоге никто из хозяев не празднует дома. В каждом доме живет ровно одна семья.

4. Конец света.
Майя верили, что четыре стихии (воздух, вода, земля, огонь), заполняют каждую точку вселенной. Время от времени эти стихии произвольным образом меняются местами. По древнему пророчеству майя, если в какой-то момент времени во всей вселенной не найдется пары точек на расстоянии 2012 стрел, принадлежащих одной стихии, то наступит конец света. Сбудется ли когда-нибудь пророчество майя?
Комментарии: в любой момент каждая точка вселенной может изменить свою принадлежность к стихии на принадлежность к другой стихии, но может и не сменить!

5. Ленивый почтальон.
Почтальон должен разнести письма в N домов, которые стоят на одной улице на равных единичных расстояниях друг от друга. В каждый дом ровно по одному письму. Ему лень сортировать письма, поэтому он делает так: берет первое попавшееся и идет в нужный дом, чтобы его отдать. Потом достает, не глядя, следующее письмо и идет отдавать его. И так до тех пор, пока письма не кончатся. Какое максимальное расстояние ему придется преодолеть, считая от дома, в который он доставил первое письмо?
Комментарии: задача одномерна.

6. Произведение диагоналей.
В окружность единичного радиуса вписан правильный N-угольник. Найти произведение длин всех его диагоналей, проведенных из одной вершины (считая прилегающие стороны).

7. Уйти от погони.
Мегамозг оказался на пустынной планете, к которой летит звездолет оккупантов. Во сколько раз (как минимум) скорость звездолета должна превосходить скорость мегамозга, чтобы последний был замечен при любых попытках скрыться?
Комментарии: Планета- шар, видимость бесконечна, мегамозг –точка

8. Прогноз погоды.
В конце каждого года жрец племени Тумба-Юмба предсказывает погоду на следующий год. Для этого девственница с завязанными глазами разбрасывает случайным образом камни на песчаном пляже, но так чтобы не было одинаковых расстояний между любыми двумя камнями (в противном случае камни перебрасываются). Количество разбрасываемых камней растет каждый год на единицу. В первый год бросается 10 камней, потом 11 и так далее. Затем жрец от каждого камня проводит посохом черту до ближайшего к нему камня. На основании полученного чертежа жрец оглашает предсказание:
а) Если получится пересечение, хотя бы двух проведенных линий - засуха.
б) Если отрезки, хотя бы от нескольких камней образуют замкнутую фигуру - наводнение.
Какое максимально возможное число раз в ближайшую сотню лет жрец может предсказать засуху или наводнение?
Комментарии:

9. Треугольные штаты.
Мегамозг встретил старого друга, который недавно вернулся из экзотической страны. На просьбы мегамозга рассказать об этой стране, он сказал, что границы страны образуют треугольник и вся страна разделена на треугольные штаты. При этом количество штатов максимально возможное, для которого выполняется следующее условие: в каждой вершине( в том числе и большого треугольника- страны) сходится одно и то же число отрезков границ. Мегамозг сразу смог назвать число штатов в стране друга. А вы сможете?
Комментарии: простейший пример: произвольная точка внутри треугольника соединяется с его вершинами. Итог: три штата, в каждой вершине по ТРИ отрезка. Внимание: число штатов необязательно равно числу отрезков.В примере просто совпадение.

10. Вредный профессор.
Профессор пообещал освободить Мегамозга от посещения своих лекций в текущем семестре и поставить экзамен автоматом, если он выиграет в следующую игру: профессор чертит окружность. Мегамозгу же разрешается вписать в неё сколько угодно попарно разных правильных многоугольников (но больше одного). Да так, чтобы никакие две вершины многоугольников не совпадали. Если в итоге вершины всех многоугольников образуют новый правильный многоугольник, то он выиграл. Придется ли мегамозгу посещать лекции профессора?
Комментарии:

Сообщение было отредактировано Крантец: 6.1.2013, 6:54

Имеется ввиду, что теперь оккупанты должны гарантировано поймать ММа?

Да, конечно. Соответственно, при чуть меньшем соотношении, мегамозгу удастся скрыться. Так, если мегамозг бегает намного быстрее звездолета, то он всегда сможет спрятаться гарантированно.

попарно разные - т.е. с разным количеством вершим? (например, нельзя вписать 2 треугольника)

Да. Иначе вписываем два треугольника и получаем 6-угольник. Задача решена.

Верно - с разным количеством вершин.
Два треугольника вписать нельзя.

ВАЖНО: читайте комментарии, правки и дополнения вношу постоянно.

может ли внутренняя вершина быть вершиной для нескольких треугольников, а для одного просто точкой на стороне(не вершиной)?

И да, и нет. Поясню:если точка лежит на стороне некоего треугольника, то ее необходимо (обязательно!) соединить с вершиной, противоположной данной стороне этого треугольника. То есть для любого штата вершина будет вершиной, а не точкой на границе, но у двух соседних штатов границы могут лежать на одной прямой.


Эх, не удается полностью избежать корявостей
Если, несмотря на мой комментарий, до конца непонятно что-то, то спрашивайте еще.

Сообщение было отредактировано Крантец: 28.12.2012, 18:37

Теперь совсем не понятно.
Что значит "необходимо (обязательно!) соединить"? Разделить треугольник на два штата?
Не проще ли тогда сказать, что: нет, если точка является углом некоторого штата, то она будет углом во всех штатах на границе которых она находится.

Кстати предыдущее объяснение было понятно но задача решения не имела.

Можно и так сказать. Я имел ввиду, что точка может лежать на стороне треугольника(например, всей страны), но не может лежать на стороне штата.

сразу же тогда вопрос может ли вершина какого либо штата быть на границе страны?

видимо ответ на этот вопрос в предыдущем посте)

Может. Вершины страны в любом случае, как Вы понимаете, являются и вершинами каких-то штатов. На сторонах также могут находится вершины.

Пока только три участника. При чем все ответы по физике, что несколько неожиданно для меня. Поздравляю всех участников турнира с наступающим Новым Годом! Желаю всем успехов во всех начинаниях, в том числе турнирных!

Куда писать решения задач и до какого числа их принимают?
Как-то я пропустил старт турнира, добрался только сейчас.

Решения писать Крантец
Ознакомьтесь с правилами турнира в этом сообщении

Я все-таки спрошу вопрос по физике, потому что, насколько я понимаю, подсказкой он служить не может.
В задаче 8, что есть ширина равная 5. Это именно настоящая ширина, или только ширина по горизонтали, то есть настоящая ширина sqrt((8-6)^2+5^2)?

Настоящая ширина. Ширина кровельного материала, если хотите. Да, на чертеже не совсем однозначно, виноват.

8. Рогатка.
В каком случае считать, что камень перелетел? Если он действительно полностью перелетел через дом, или если упал на крышу и скатился сзади?

Полностью перелетел. Мало того, краев крыши касаться нельзя. Эти вопросы в рамках правил пока, но лучше по физике задавать вопросы в личку.