Игрок John777

Два мегамозга вырезали из клетчатой бумаги полоску 1×N и играют в такую игру: первый за свой ход закрашивает не более 10 клеток, а второй, в свою очередь, стирает краску не более чем с 10 идущих подряд закрашенных клеток. Первый выиграет, если закрасит всю полоску. При каких N ему это удастся?

Минимозг нарисовал на первом рисунке квадрат, а на втором круг. Каждую фигуру он раскрасил в два цвета: синий и красный. Минимозг заметил, что красная фигура из первого рисунка подобна красной фигуре из второго, а синяя фигура из первого рисунка подобна синей фигуре из второго. Могло ли так произойти или он где-то ошибся?

Мегамозг преследует подлого Оккупанта-преступника, который пытается скрыться в подвале своего дома. Подвал представляет собой 3 узких прямых коридора одинаковой длины, расходящихся в виде пропеллера из маленькой комнаты и заканчивающихся тупиком. В подвале темно, и Мегамозг может разглядеть преступника только с расстояния, не превышающего 10 м. Скорость Мегамозга в два раза больше скорости Оккупанта. При какой максимальной длине коридоров Мегамозг может гарантированно поймать преступника? Доказательство максимальности не требуется.

Докажем, что любой остроугольный треугольник — равнобедренный.

1. Возьмем произвольный остроугольный треугольник ABC (см. рисунок).

   Построим в нем биссектрису АL и середину стороны ВС точку H.

   Восстановим из точки H перпендикуляр к BC. Пусть он пересечет АL в точке О.

   Опустим из О перпендикуляры OD и OE на AB и AC соответственно.

   Проведем отрезки ВО и СО.

2. Треугольник ВHO равен треугольнику CHO (по двум катетам).

   Значит, BO=CО.

3. Треугольник AOD равен треугольнику AOE (по гипотенузе и острому углу).

   Значит, ОD=OE и AD=AE.

4. Треугольник BDO равен треугольнику CEO (по гипотенузе и катету), так как BO=CO (пункт 2) и OD=OE (пункт 3).

   Следовательно, BD=CE.

5. Складывая почленно равенства AD=AE (пункт 3) и BD=CE (пункт 4), получаем AB=AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

Найдите ошибку в тексте доказательства.

На гербе одного древнего рода мегамозгов изображены четыре окружности одинакового радиуса: три красные и одна синяя. Причем любые две красных и синяя окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что и все три красных окружности пересекаются в одной точке.

Мегамозг собрал цепь, как показано на картинке. Однако все резисторы, которые он использовал, сделаны подлыми оккупантами, и поэтому каждый из них с вероятностью 50% бракованный. Бракованный резистор выглядит как обычный, но ток не проводит. С какой вероятностью после замыкания ключа по цепи Мегамозга все-таки пойдет ток?

У Мегамозга есть набор из n+1 гирек общей массой 2n и чашечные весы. Он знает, что масса каждой гири натуральное число. Однажды Мегамозг решил провести такой опыт: на каждом шаге он брал самую тяжелую гирю из оставшихся и клал ее на более легкую в этот момент чашу весов. У него в конце весы оказались в равновесии. А могло ли быть иначе?

Мегамозгу нужно расставить охранников охранять небольшой объект так, чтобы ни к объекту, ни к охранникам не смогли бы незаметно подкрасться оккупанты (нейтрализовать охранника можно с расстояния не более 1 метра). Какое минимальное число охранников необходимо расставить Мегамозгу, если каждый охранник стоит неподвижно и видит на 100 метров строго вперед? Доказательство минимальности не требуется.

Фотодиод напрямую подключили к осциллографу. На экране осциллографа появилась прямая горизонтальная линия. Если фотодиод прикрыть рукой, то линия опустится, но останется горизонтальной прямой. Однако если фотодиод поднести прямо к экрану, то линия перестанет быть прямой, а станет огибать фотодиод сверху. Объясните явление.

Картинка.

В колбе находится 2²⁰¹⁰ бактерий, и в нее попадает вирус. В 1-ю секунду вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и бактерии делятся пополам. Во 2-ю секунду уже 2 вируса уничтожают 2 бактерии, и сразу же после этого и вирусы, и бактерии делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Два полководца (Цезарь и Брут) захватывают некую страну, представляющую собой города, некоторые из которых соединены дорогами так, что из любого города можно дойти по дорогам в любой другой. В первый ход сначала Цезарь выбирает любой город и захватывает его, потом Брут выбирает любой незахваченный город и захватывает его. Далее каждый по очереди (начиная с Цезаря) выбирает любой незахваченный никем город, соединенный с уже захваченным им городом, и захватывает его. Игра продолжается, пока не будут захвачены все города. Каждый хочет захватить как можно больше городов. Если в какой-то момент один из игроков не может захватить город, он пропускает ход. Может ли случиться, что Брут захватит городов больше, чем Цезарь?

В лесу мегамозгов живут крикливые и пушистые зверюшки, в том числе чебурашки. Среди зверюшек одинаковой крикливости чебурашки наиболее пушистые. Для любой зверюшки существует чебурашка той же крикливости и чебурашка той же пушистости (возможно, это один и тот же чебурашка). А недавно мегамозги установили, что чем чебурашка крикливее, тем он пушистее. Правда ли, что из всех зверюшек одинаковой пушистости чебурашки наименее крикливые?

Мегамозг придумал десятизначное натуральное число. Первая (слева) цифра этого числа равна количеству нулей в его записи, вторая цифра — количеству единиц, третья — количеству двоек и т.д., последняя цифра равна количеству девяток в записи этого числа. А вы сможете повторить достижение Мегамозга и найти это число?