3 окружности Опции

[BAS14]

Вспомнилась такая геометрическая задача.
Три окружности касаются друг друга и некоторой прямой. Найдите, какому соотношению удовлетворяют их радиусы а, b, c.
Если дать два радиуса и предложить найти третий - это достаточно рутинная задача, не представляет особого интереса. Но в общем виде можно получить красивую и необычную формулу.

[Ash_p]

Насчёт самой формулы сейчас ничего говорить не буду, но отмечу, что если дать 2 радиуса без уточнения того, какие именно это окружности, то в большинстве случаев (когда данные радиусы не равны) должно быть два ответа.
Для окружности между данными и над одной из данных.
Ваша формула это учитывает?

[BAS14]

Насчёт самой формулы сейчас ничего говорить не буду, но отмечу, что если дать 2 радиуса без уточнения того, какие именно это окружности, то в большинстве случаев (когда данные радиусы не равны) должно быть два ответа.
Для окружности между данными и над одной из данных.
Ваша формула это учитывает?

Так я же рисунок сделал, в т.ч. чтобы было понятно, как расположены окружности.
При другом расположении просто a, b, c поменяются ролями.

[Ash_p]

Так я же рисунок сделал, в т.ч. чтобы было понятно, как расположены окружности.
При другом расположении просто a, b, c поменяются ролями.

Так Вы же не уточнили какие радиусы даёте
a, b или a, c
Мне кажется, что так даже интереснее.
И можно ли вывести формулу сразу для двух вариантов?
Я подозреваю, что это возможно

[BAS14]

Так Вы же не уточнили какие радиусы даёте
a, b или a, c
Мне кажется, что так даже интереснее.
И можно ли вывести формулу сразу для двух вариантов?
Я подозреваю, что это возможно

Ну можете выразить с через а и b, а можете b через а и с - это же будет по сути одно и то же уравнение, просто разрешенное относительно разных переменных. Вот это уравнение и надо найти. Потом, если хотите, можно переобозначить радиусы и получить решение для другого расположения окружностей.
А объединить два решения всегда можно, это же делается, например, при решении квадратного уравнения.

[Ash_p]

... при решении квадратного уравнения.

Именно об этом же и я подумал )

[BAS14]

Именно об этом же и я подумал )

Ну вообще эта задача навеяна формулой Содди, которая связывает радиусы четырех окружностей, попарно касающихся друг друга. Если из нее попытаться выразить один радиус через 3 других, получится как раз квадратное уравнение, имеющее обычно два различных корня. В этой задаче - предельный случай, когда радиус одной из окружностей бесконечно велик (она обращается в прямую). Но для решения этой задачи знать формулу Содди не нужно, тут решение намного проще и формула сильно упрощается.