Версия для печати темы

Автор: UNDEFEAT 17.3.2019, 19:18

В основном обращаюсь к тем, кто знаком хотя бы с базовыми правилами, например, Texas Hold'em.

Пусть в не турнирной игре на некоторой улице (pre-flop, flop, turn - не важно) два игрока пошли all-in и они остались в банке вдвоём. Обычно после этого сдают недостающие карты на доске (5, 2 и 1 соответственно), а банк достаётся победителю, ну или происходит делёжка, если ничья.

Но игроки имеют возможность по общему согласию сдать недостающие на доске карты несколько раз. Например, если они выставились на тёрне, и договорились "крутить дважды", то им сдадут два ривера. Банк поделят пополам, и каждая половина будет разыграна в соответствии с первым и вторым ривером. Таким образом, игроки могут уменьшить дисперсию своего выигрыша, и уменьшить вероятность полностью проиграть этот крупный банк.

Я считаю (безосновательно), что какой бы не был расклад, и о каком количестве "прокрутов" не договорились бы игроки, их матожидания абсолютно не меняются. Это только уменьшает дисперсию - тем больше, чем больше прокрутов.

Внимание, вопросы:
1) Слышал ли кто-нибудь, что кто-то это строго доказал?
2) Может, кто-то знает простое доказательство этого утверждения, или хотя бы его упрощённой версии?
3) Или, возможно, кто-то сможет найти контрпример к моему утверждению.

Я проверил своё предположения в простой модели выставления на флопе и договорённости о двух тёрнах и риверах, когда первый игрок усилиться уже не может, а второй:
1) Имеет 2 runner-runner аута. Есть две карты в колоде такие, что он выиграет тогда и только тогда, когда придут обе эти карты.
2) Имеет k "железных" аутов - такие карты, что он выиграет тогда и только тогда, когда придёт хотя бы одна из этих k карт.

Честное выписывание всех вероятностей показывает, что матожидания с 1 и 2 прокрутами равны.

Буду благодарен всем за мысли по этому поводу.
_______________________________________________________

...из симметрии получается, что матожидание на каждом из N run'ов одинаково и равно 1/N от общего матожидания.
Раз матожидание суммы равно сумме матожиданий даже для зависимых случайных величин, получается, что общее матожидание всегда одинаково. Проблема решена.

Автор: BAS14 17.3.2019, 20:55

Если после каждого прокрута карты, выпавшие в нем, возвращать в колоду, то матожидание не изменяется. Это достаточно очевидно - если при одном прокруте матожидание М, а дисперсия D, то при договоренности на n прокрутов каждый из них будет иметь матожидание M/n и дисперсию D/n^2 (ведь банк в n раз меньше) и в итоге (т.к. все n прокрутов независимы) получится матожидание M и дисперсия D/n. Т.е. действительно просто снижается дисперсия при неизменном матожидании.
Но в реальной игре карты в колоду не возвращают, в этом случае все намного сложнее, сходу не понятно, как сосчитать, возможно даже в каждой ситуации по-разному будет.

Автор: UNDEFEAT 17.3.2019, 21:12

Нет, карты в колоду не возвращаются.
Ну вот есть идеи, как построить контрпример, где матожидания будут различаться?

Автор: Breghnev 18.3.2019, 17:10

Любопытным образом вы изобрели правила, по которым играют уже довольно давно. Я с начала двухтысячных интересуюсь Техасским Холдемом, а игру по таким правилам впервые встретил несколько лет назад на экранах ТВ. Действительно, чтобы снизить элемент случайности и повысить устойчивость сильных игроков (чтобы к победе в конечном итоге приводило в большей степени умение и в меньшей - везение) подобные правила были введены на самом высоком уровне. Полагаю, сам этот факт уже является косвенным свидетельством справедливости игры - симметричности позиций игроков и неизменности матожидания по сравнению с классической раздачей.
Я тоже быстро посчитал некоторые варианты (правда, только с ривером) и не нашёл причины усомниться в неизменности МО.
При желании можно легко поменять форму задачи и свести её, скажем, к задаче о разноцветных шарах. Как вы справедливо заметили, вероятности в Холдеме считаются через ауты. Аут - карта в колоде, приход которой усилит руку игрока. Если рассматривать ривер, то аут - карта, которая позволит выиграть. Тогда игру ва-банк на ривере для двух игроков можно представить как вынимание шаров трёх цветов (если рассматривать ещё и вариант с ничейным исходом) из корзины. Тогда пусть у нас в корзине находится определённое количество шаров (пусть будет 40, потому что примерно столько карт остаётся в колоде к риверу) трёх разных цветов. Есть банк (пусть 1000 рублей), который мы делим на какое-то количество частей (от 1 до 40). Достаём шары по одному, при чём достаём столько шаров, на сколько частей разделен банк. Считаем количество шаров разных цветов. Каждый игрок получает такое количество долей банка, сколько шаров его цвета достали. Доли банка, приходящиеся на ничейные шары, игроки делят пополам. Можно варьировать количества шаров разных цветов, и для каждой заданной конфигурации при любом количестве "выниманий" ожидается, что матожидания игроков будут одинаковы. С матчастью у меня не очень хорошо, за расчёты и доказательства не возьмусь. Но есть ощущение, что здесь всё должно быть довольно просто.

Автор: UNDEFEAT 18.3.2019, 17:35

Что, простите, я изобрёл?
Я лишь описал правила тем, кто далёк от кеш-игр в покер, но может заинтересоваться вопросом.


Это повышает устойчивость всех игроков, не только сильных. Просто слабые более устойчиво идут вниз




С точки зрения терминологии, это можно называть и правилом, но я бы называл это "возможностью". Игроки имеют возможность договориться. Но если они не смогли договориться, то сдают по классике - один раз. Потому здесь не обязательно неизменное матожидание.
К тому же, этой практике уже много лет, и появилась она отнюдь не после глубоких математических изысканий.




С выставлениями на тёрне действительно всё просто.
Однако уже с выставлениями на флопе всё намного сложнее: аут того, кто позади, может перебиться усилением того, кто впереди. Например: AA vs KK. Короли имеют 2 аута, но только, если вместе с королём не придёт туз. И это самый простой случай. Как всё это учитывать - не понятно.
А с выставлениями префлоп всё ещё хуже.

Автор: 4ебурашка 19.3.2019, 8:16

Мат ожидание не изменится ни при каких раскладах, ни с префлопа ни с Прихлопа. Так что если рум даёт играть Run It Twice, то я всегда его использую. В том что ничего не меняется легко убедиться в мысленном эксперименте. Допусим пошли алл-ин на префлопе, дилер на стол кладет 10 карт рубашкой вверх и спрашивает вас какие карты открыть, первые 5 или последние 5? Очевидно что так как вы не видите карт то и разницы никакой не будет что вы выберете. Можно поставить все деньги на выбранные вами 5 карт борда, а можно разделить банк на 2 и открыть все 10 карт. От этого проиграют только фиши, так как дистанция их лютый враг.
btw, че катаем, как успехи?

Автор: Breghnev 19.3.2019, 10:56

Следует отметить, что в онлайн варианте игры используется Run it Twice с возвратом. То есть карты достаются дважды из одной и той же колоды. В этом случае равенство МО для всех раскладов очевидно.

Автор: UNDEFEAT 19.3.2019, 14:43

Ну да, из симметрии получается, что матожидание на каждом из N run'ов одинаково и равно 1/N от общего матожидания. Но нужен ещё один шаг:
Раз матожидание суммы равно сумме матожиданий даже для зависимых случайных величин, получается, что общее матожидание всегда одинаково.
Спасибо за наводку, проблема решена

Катаем холдем вживую (с друзьями и в клубе). Успехи - в плюсе



Это в каком руме..?

Автор: Breghnev 19.3.2019, 17:13

Вероятно, я поспешил со своим заявлением. Не нашёл пока конкретных правил раздачи Run it Twice для какого-либо рума. Опирался лишь на поркер-вики: http://www.poker-wiki.ru/poker/Run_it_twice
Не знаю, насколько достоверна информация на этом ресурсе. Вообще игра с возвратом выглядит более логично, тем более что в онлайн варианте на компьютере она легко реализуема.

Автор: UNDEFEAT 19.3.2019, 22:17

Ну да, ниразу не видел с возвратом.

Автор: 4ебурашка 20.3.2019, 22:54

Катать в живую можно только сидя в обнимку с планшетом на котором катаешь онлайн, иначе от скуки подохнуть можно. Я еще могу понять Sit'n'Go, там блайнды растут быстро и приходится играть много рук, а в кэше... тоска смертная.

Автор: UNDEFEAT 21.3.2019, 0:22

Да, темп намного ниже, чем на четырёх 6-max zoom столах.
Но во-первых, я получаю от живого покера особое удовольствие в принципе, а во-вторых, когда собираешься в компании друзей - совсем не скучно

А на счёт турниров: играл я и MTT, но вот там как раз тоска смертная. Никакой постфлоп игры. В поздней стадии всегда, и часто даже в средней, потому что структура всегда ужасная.

Автор: 4ебурашка 21.3.2019, 6:45

Это потому что у вас просто нет опыта игры при таких стэках. Даже при 10 блайндах играется постфлоп. Вообще у МТТшников большие проблемы с пониманием игры в поздней стадии, а как играть когда за столом осталось 2-3 тела и вовсе мало кто соображает.

Интересно, какой VPIP у вас оффлайн? В лучшем случае будете играть каждую 4 руку, половину из которых придётся на воровство блинов. За час вам сдадут не больше 20 рук и никакого мультитейблинга.

Есть куда более интересные игры чем скучный живой покер.

Автор: UNDEFEAT 21.3.2019, 8:30

С чего вы взяли, что у меня нет опыта?
К тому же, если все за столом играют пуш/фолд, то вы особо постфлоп не поиграете.

Ну и вы можете играть постфлоп хоть с 5 блайндами, вам никто не запрещает, только это никак не отменит того, что такая игра будет куда менее разнообразной, чем игра постфлоп в кеше.



Ну раз вы так считаете