Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[snav]

John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.

Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта.

Таким образом, смена конверта не может увеличить среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения.

[Powered by Java]

John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.

Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта.

Таким образом, смена конверта не увеличивает среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения.

Первый и второй участник находятся перед разным выбором. И говорить, что они выиграли или проиграли при смене конверта одинаково нельзя! Давайте построим все таки модели испытаний, из которых будут очевидны плюсы и минусы принятия решения, и определимся, что мы сравниваем.
Модель 1.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с конвертом в котором больше денег?
Описываем эксперимент: Выбираем случайное число X на каждом испытании и в 2 конверта раскладываем X и X*2 денег. Случайным образом выбираем первый конверт. Суммируем кол-во угаданных с первого раза за стратегию оставить первый, не угаданных за стратегию взять второй. Сравниваем и получаем, что шансы равны. И симметричность и мат ожидание скажут, что нам все равно. Ведь тут мат ожидание не конкретной суммы денег, а угадать конверт.
Модель 2.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с бОльшим кол-вом денег, если сумма в конвертах выбирается случайным образом для всех испытаний?
Описываем эксперимент: Каждый раз выбираем случайное число X. Раскладываем деньги, делаем выбор, суммируем полученные деньги и сравниваем суммы у игроков... Постойте! А как можно сравнить выигрыш в 1$ и в 10$ и проигрыш в 0.5$ и 5$? Нужна норма!
-- Модель 2.а, нормируем случайное число х. Таким образом получим, что пара будет выбираться каждый раз одна. В такой формулировке и мат ожидание и симметричность скажут, что нам все равно, какой конверт выбирать.
Условия задачи допускают много трактовок. Если первоначальную сумму в конвертах считать заданной, а факт обнаружения в конверте конкретной суммы игнорировать (т.е. утверждать, что игрок обнаружит фиксированные значения X и X*2 с вероятностью 50х50), то получим вполне законный и обоснованный результат. А можно ли так трактовать? Конечно да Данная задача не описывает конкретную модель, которая может/не может быть применима. Именно эта модель должна быть использована в в примере из цитаты svan. Бесспорно, что и мат ожидание такой модели выдаст 50х50 и противоречий не возникнет.
-- Модель 2.б, нормируем открытую сумму из первого конверта. Тогда получим, что в конвертах может быть либо X и X*2, либо X и X/2 с равной вероятность, где X - деньги из первого открытого конверта, на которые нормируем. Эта модель и позволяет говорить о бОльшем мат ожидании во втором конверте и отсутствии симметричности.
Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм.
А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства.