IPB

Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )

2 Страниц V < 1 2  
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> (-1)^(2/4)
BAS14
31.10.2017, 22:35
Сообщение #21


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 337
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 5:26) *
Сперва нужно дать определение, что такое z^(m/n) для комплексного z, и тогда считать корни, согласно с этим определением.


А еще сперва нужно понять, что мы хотим определить. Тут 2 варианта:
1. Мы определяем функцию F(z;q) двух аргументов - комплексного z и рационального q. Тогда q по определению рационального числа должно быть представимо в виде m/n, где m - целое, n - натуральное, но сами значения m и n при этом не важны, и если F(-1;2/4) определена, то с необходимостью F(-1;1/2) тоже будет определена и принимать то же значение. Просто потому, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число - значение аргумента q.
2. Мы определяем функцию F(z;m;n) трех аргументов - комплексного z, целого m и натурального n. Тогда запросто может оказаться, что F(-1;2;4) не равно F(-1;1;2) либо одно из этих значений определено, а другое нет.
Степень - функция двух аргументов (основания и показателя), поэтому ее можно определить только по первому варианту. По второму варианту можно тоже определить какую-то функцию, но в качестве определения степени она не будет годиться. Можно, конечно, сказать, а почему нельзя расширить определение и придумать степень для трех аргументов? Ну вообще можно, но сам вид выражения (-1)^(2/4) говорит нам, что это некая функция двух аргументов -1 и 2/4, обозначенная знаком ^. Поэтому как ни определяй смысл этого выражения, но у выражения (-1)^(1/2) смысл будет тот же.

QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 13:06) *
Не путайте теплое с пресным. Сокращение дроби - это вообще не арифметическое действие. Арифметическое действие - деление, оно как было до сокращения дроби, так и осталось.

Пока не дано определение, что такое дробная степень - все пустая болтовня. Точно так же можно сказать, что если бы там было ((-1)^(1/4))^2, то да, было бы 2 корня, а так 4. С той же мерой безответственности.


Да, в показателе результат деления. Но деление 2 на 4 дает такой же результат, что и деление 1 на 2. И в дальнейшем (при возведении в степень) мы используем только этот результат, и не важно, как он получился.
Если вы хотите, чтобы (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) было не одно и то же, вам нужно, чтобы 2/4 и 1/2 было не одно и то же. Т.е. вам прежде всего нужно альтернативное определение не степени, а деления.

Кстати, по поводу определений. Определение степени с произвольными комплексными основанием и показателем (единственный особый случай - нулевое основание) я встречал в разных источниках по сути одно - через комплексную экспоненту и логарифм. И принятые определения в частных случаях (например, при действительном положительном основании и действительном показателе) этому общему определению, в общем-то, не противоречат (единственный момент - что зачастую выбирается только одно значение многозначной функции, но это в комплексном анализе обычное дело). Поэтому определение степени можно считать не менее общепринятым, чем определение того же деления (особенно с учетом того, что с делением тоже не все так просто - существует деление обычное, целочисленное, с остатком... biggrin.gif )

Сообщение было отредактировано BAS14: 31.10.2017, 23:52
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
31.10.2017, 22:59
Сообщение #22


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 337
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 14:06) *
Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.


Дробную степень как функцию двух аргументов (комплексного основания и рационального показателя) нельзя определить ни так, ни так, потому что для рационального числа представление в виде дроби m/n не единственно. Ее можно определить, если наложить на m и n какое-то условие, чтобы оно было единственным, наиболее естественное условие - несократимость дроби. Но тогда (-1)^(2/4) по определению равно (-1)^(1/2) (если последнее определено). В противном случае у вас получается функция трех аргументов.

QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 14:06) *
"ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель" - это просто фобия, возникшая от подсознательного желания, чтобы комплексные числа сохраняли все свойства действительных чисел.


Неверно. Это логика, возникшая от сознательного желания, чтобы теория была непротиворечивой.

QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 14:06) *
например, привычное с детства свойство (z^x)^y = (z^y)^x, как видите, все равно не выполняется для дробных степеней комплексных чисел, и никакие эмоции типа "ни в коем случае не зависит от того..." тут не помогут.


Да, не выполняется в общем случае, но при чем тут это? ((-1)^(1/4))^2 и ((-1)^2)^(1/4) не обязаны быть равны. А (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) обязаны (если определены) - при условии, что знаком ^ обозначена некая функция двух аргументов, а остальные знаки в этих выражениях имеют общепринятый смысл.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
1.11.2017, 5:30
Сообщение #23


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



QUOTE(BAS14 @ 31.10.2017, 22:59) *
Дробную степень как функцию двух аргументов (комплексного основания и рационального показателя) нельзя определить ни так, ни так, потому что для рационального числа представление в виде дроби m/n не единственно. Ее можно определить, если наложить на m и n какое-то условие, чтобы оно было единственным, наиболее естественное условие - несократимость дроби. Но тогда (-1)^(2/4) по определению равно (-1)^(1/2) (если последнее определено). В противном случае у вас получается функция трех аргументов.
Неверно. Это логика, возникшая от сознательного желания, чтобы теория была непротиворечивой.
Да, не выполняется в общем случае, но при чем тут это? ((-1)^(1/4))^2 и ((-1)^2)^(1/4) не обязаны быть равны. А (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) обязаны (если определены) - при условии, что знаком ^ обозначена некая функция двух аргументов, а остальные знаки в этих выражениях имеют общепринятый смысл.


Новый круг того же самого пустого разговора: обязаны - не обязаны. Кому обязаны и с какой стати, кроме того, что вам там хочется?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
1.11.2017, 19:06
Сообщение #24


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 337
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(fiviol @ 1.11.2017, 5:30) *
Новый круг того же самого пустого разговора: обязаны - не обязаны. Кому обязаны и с какой стати, кроме того, что вам там хочется?


С такой стати, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число. Это не чья-то прихоть, это логика. Причем логика не субъективная практическая (чтобы кому-то было удобно), а строгая математическая (чтобы в теории не было противоречий).
Другими словами, имеется 3 утверждения:
1. 2/4=1/2.
2. Если f(x) - произвольная функция одного числового аргумента х, а - некоторое число, входящее в область определения этой функции и а=b, то f(a)=f(b ) (для многозначных функций равенство означает, что обе части принимают один и тот же набор значений).
3. Степень - некоторая функция двух числовых аргументов - основания и показателя (если основание зафиксировать, то одного аргумента - показателя). Заметьте, что здесь не важно, как именно вы определяете степень, лишь бы это была функция двух аргументов.
С каким из трех утверждений не согласны? Если со всеми согласны, то автоматически должны согласиться и с тем, что (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) либо равны, либо оба не определены. Точно так же, как соглашаясь с тем, что все люди смертны и Иванов - человек, вы автоматически соглашаетесь с тем, что Иванов смертен. Логика.

Кстати, еще добавлю по поводу этого:

QUOTE(fiviol @ 31.10.2017, 14:06) *
Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.


Между прочим обозначение 0,5 - это на самом деле не что иное, как условная сокращенная запись дроби 5/10. И мы даже произносим это именно как "(ноль целых) пять десятых", но нечасто в это вдумываемся, и это особо не надо - потому что если с этим числом нужно далее производить какие-то действия, то имеет значение лишь величина этого числа, а не то, в результате каких действий оно появилось - хоть деления 1 на 2, хоть 5 на 10, хоть вообще не деления, а чего-то другого. Но если вы все же считаете, что важно, что на что делили, то извольте - (-1)^0,5 это вообще-то (-1)^(5/10) и по вашему второму определению это нужно трактовать как корень 10-й степени из -1, коих, естественно, в комплексной области имеется 10 штук. Интересно получается с таким определением, да? Запутаться можно в два счета, и почему? Да потому что это определение функции не двух аргументов, а трех, и если в записи (-1)^(2/4) еще можно при большом желании увидеть функцию трех аргументов -1, 2 и 4 (сославшись на то, что типа знак степени тут означает не совсем то, что обычно, и черта дроби не совсем черта дроби, но ведь такое определение тоже имеет право на существование, да?), то попытка замаскировать этот факт и выдать это определение все-таки за определение функции двух аргументов (чтобы создать впечатление, что оно может служить определением степени), впихнув два аргумента в один (путем замены обыкновенной дроби на десятичную, не осознавая, что десятичная - это просто такая форма записи некоторой обыкновенной дроби), только обессмысливает выражение.

Сообщение было отредактировано BAS14: 1.11.2017, 23:40
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

2 Страниц V < 1 2
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
2 чел. читают эту тему (гостей: 2, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0 -

 



- Упрощённая версия Сейчас: 6.12.2019, 3:38