IPB

Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )

2 Страниц V  1 2 >  
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> (-1)^(2/4)
SlvBuz
28.10.2017, 16:32
Сообщение #1


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 239
Регистрация: 16.7.2012
Пользователь №: 38 054



Я уже давно закончил школу и институт, кое что подзабыл.
Вот сижу мучаюсь...
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица. huh.gif
Помогите мне пож-та.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
28.10.2017, 17:06
Сообщение #2


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



А в чем проблема? Корней четвертой степени из числа - четыре штуки.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Зеркало
28.10.2017, 17:09
Сообщение #3


Участник
**

Группа: Отбор задач
Сообщений: 140
Регистрация: 1.6.2015
Пользователь №: 54 010



Насколько я помню комплексную арифметику, такая неоднозначность возникает из-за неоднозначности корней. Даже в действительных числах под корнем из единицы можно понимать как 1, так и -1. В комплексной плоскости для корня будет столько значений, какова его степень, т.е. для корня 4-й степени получится (по формуле Муавра, кажется) 4 значения: 1, i, -1 и -i. Какое-то из них договариваются считать за основное, соответствующее значению 4√(1), хотя, может быть, вру, пусть меня поправят. Возможно, это верно только для действительных чисел. Вообще, что касается дробных степеней отрицательных чисел, то из-за появившихся неоднозначностей там многое перестаёт работать, в частности, представление дробной степени в виде корня.


--------------------
И уже говорю я не маме,
А в чужой и хохочущий сброд:
"Ничего! Я споткнулся о камень,
Это к завтраму всё заживет!"


Сергей Есенин
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
SlvBuz
28.10.2017, 18:27
Сообщение #4


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 239
Регистрация: 16.7.2012
Пользователь №: 38 054



QUOTE(fiviol @ 28.10.2017, 17:06) *
А в чем проблема? Корней четвертой степени из числа - четыре штуки.

А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?


Сообщение было отредактировано SlvBuz: 28.10.2017, 18:57
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
SlvBuz
28.10.2017, 18:58
Сообщение #5


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 239
Регистрация: 16.7.2012
Пользователь №: 38 054



QUOTE(Зеркало @ 28.10.2017, 17:09) *
В комплексной плоскости для корня будет столько значений, какова его степень, т.е. для корня 4-й степени получится (по формуле Муавра, кажется) 4 значения: 1, i, -1 и -i.

но ведь 2/4=1/2, значит два корня???
или дробь, которая стоит в степени нельзя сокращать?

Сообщение было отредактировано SlvBuz: 28.10.2017, 18:59
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
28.10.2017, 19:44
Сообщение #6


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



QUOTE(SlvBuz @ 28.10.2017, 18:27) *
А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?


Зуб даю. smile.gif
Для каждого комплексного числа существует ровно n комплексных чисел, которые в n-ной степени равны этому числу - корни степени n. В частности, корнями четвертой степени из 1 являются 1, -1, i и -i.
Дальше нужно быть аккуратным в определениях - что такое степень 2/4? Если это понимать как квадраты корней четвертой степени, или корни четвертой степени из квадрата, то это 4 разных числа. Так что это вовсе не то же самое, что квадратный корень - потому что таких корней только 2.

Из этого уже понятно, что иррациональную степень для комплексного числа вообще нельзя определить по аналогии с положительными вещественными числами.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
28.10.2017, 19:47
Сообщение #7


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 339
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(SlvBuz @ 28.10.2017, 18:58) *
но ведь 2/4=1/2, значит два корня???
или дробь, которая стоит в степени нельзя сокращать?


Два корня. 2/4 можно понимать просто как деление 2 на 4, т.е. показатель степени равен 1/2.
Всякие теории, будто какие-то дроби нельзя сокращать только лишь из-за места, где они находятся в выражении - от лукавого. Равно как и теории, будто между чертой дроби и знаком деления есть принципиальная разница. Мне кажется, подобные вещи придумывают педагоги-методологи (не знаю, как их точно назвать) только для того, чтобы как-то выделиться (типа - учить, что 2/4=1/2 любой дурак может, а мы-то умные и должны понимать, что это две совершенно разные дроби, просто так случайно получилось, что иногда их можно приравнивать и заменять одну на другую... - ну бред же, откровенно говоря). В результате они зачастую просто запутывают, без необходимости усложняя простые вещи (а потом школьники/родители/студенты кричат караул, что математика очень сложная наука...)
Представление дробной степени в виде корня из степени или наоборот можно использовать либо при положительном основании (там никаких софизмов не возникает), либо с оговоркой, что дробь несократимая - тогда множество значений обеих частей в комплексных числах будет совпадать, что и дает возможность поставить знак равенства. А значений будет столько, каков знаменатель дроби/показатель корня.
Ответ +-i

QUOTE(SlvBuz @ 28.10.2017, 18:27) *
А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?


Если иррациональная - бесконечно много. В комплексных числах.

Сообщение было отредактировано BAS14: 28.10.2017, 20:28
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
28.10.2017, 20:07
Сообщение #8


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 339
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(fiviol @ 28.10.2017, 19:44) *
Дальше нужно быть аккуратным в определениях - что такое степень 2/4? Если это понимать как квадраты корней четвертой степени, или корни четвертой степени из квадрата, то это 4 разных числа. Так что это вовсе не то же самое, что квадратный корень - потому что таких корней только 2.

Из этого уже понятно, что иррациональную степень для комплексного числа вообще нельзя определить по аналогии с положительными вещественными числами.


Степень 2/4 - это степень с показателем, равным значению выражения 2/4 (черту дроби можно рассматривать как знак деления!), т.е. с показателем, равным 1/2. Корень четвертой степени из квадрата - это не определение. Степень с дробным показателем определяется как корень из степени лишь при положительном основании. Степень с дробным показателем и отрицательным основанием в области действительных чисел не имеет смысла, но является частным случаем степени с комплексными основанием и показателем, которая определяется совсем по-другому, не через корень (а через экспоненту и логарифм) и имеет (при ненулевом основании) n значений, если показатель равен несократимой дроби m/n (m - целое ненулевое, n - натуральное) и бесконечно много значений при иррациональном или мнимом показателе. Корень n-й степени (n - натуральное) в комплексной области тоже существует и имеет n значений (если подкоренное выражение не равно нулю). √z=z^(1/2) для любого комплексного z, но это просто свойство, а не определение. И естественно, значение степени (или множество значений) ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель - 1/2, 2/4, 0,5, sin(pi/6) или как-то еще - формально мы должны это вычислить и получить в любом случае одно и то же число.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vituss
28.10.2017, 22:07
Сообщение #9


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 850
Регистрация: 6.11.2009
Пользователь №: 17 514



QUOTE(SlvBuz @ 28.10.2017, 16:32) *
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица. huh.gif
Помогите мне пож-та.

По правилам сначала выполняется действие в скобках. Значит придем к (-1)^(0,5)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nikita146
28.10.2017, 22:40
Сообщение #10


Kорифей
****

Группа: Администраторы Braingames
Сообщений: 1 501
Регистрация: 21.9.2015
Пользователь №: 54 896



QUOTE(BAS14 @ 28.10.2017, 19:47) *
Два корня. 2/4 можно понимать просто как деление 2 на 4, т.е. показатель степени равен 1/2.
Всякие теории, будто какие-то дроби нельзя сокращать только лишь из-за места, где они находятся в выражении - от лукавого. Равно как и теории, будто между чертой дроби и знаком деления есть принципиальная разница. Мне кажется, подобные вещи придумывают педагоги-методологи (не знаю, как их точно назвать) только для того, чтобы как-то выделиться (типа - учить, что 2/4=1/2 любой дурак может, а мы-то умные и должны понимать, что это две совершенно разные дроби, просто так случайно получилось, что иногда их можно приравнивать и заменять одну на другую... - ну бред же, откровенно говоря). В результате они зачастую просто запутывают, без необходимости усложняя простые вещи (а потом школьники/родители/студенты кричат караул, что математика очень сложная наука...)

Почему от лукавого? Где-то это может показаться более удобным. К примеру, можно договориться не возводить отрицательные числа в дробную степень и вопрос снимается — значение не определено (нами же, в нашей арифметике). Общепринятых каких-то договоренностей на этот счёт нет, насколько мне известно, а не общеизвестные есть разные, и ответ для них будет различаться, так что и вопрос с этой т. зрения некорректен, мне кажется.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Grom
28.10.2017, 22:45
Сообщение #11


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 457
Регистрация: 14.11.2007
Из: Украина, Одесса
Пользователь №: 4 867



Если мы работаем в действительной области, то дробная степень определяется через корень и при сокращении степеней корня и подкоренного выражения на четное число, подкоренное выражение берется по модулю. (-1)^(2/4)=|-1|^(1/2)=1^(1/2)=1

Сообщение было отредактировано Grom: 28.10.2017, 23:04
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
28.10.2017, 22:53
Сообщение #12


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 339
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(Nikita146 @ 28.10.2017, 22:40) *
К примеру, можно договориться не возводить отрицательные числа в дробную степень и вопрос снимается — значение не определено (нами же, в нашей арифметике).


Именно так обычно и договариваются (если работают только с действительными числами). Причем это распространяется даже на случай нечетного знаменателя, т.е. кубический корень из -1 вполне себе равен -1, а вот (-1)^(1/3) не определено. Возможно, так решили именно для того, чтобы избежать подобных фокусов (а то там с (-1)^(2/6) и (-1)^(1/3) аналогичные проблемы будут). Видимо, можно договориться и как-то по-другому, но важно, чтобы при этом не возникало противоречий.

Сообщение было отредактировано BAS14: 28.10.2017, 23:10
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
28.10.2017, 23:15
Сообщение #13


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 339
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(Grom @ 28.10.2017, 22:45) *
Если мы работаем в действительной области, то при сокращении степени на четное число, основание берется по модулю. (-1)^(2/4)=|-1|^(1/2)=1^(1/2)=1


Это если бы был корень четвертой степени из (-1)^2, тогда да, берется по модулю и ответ 1. Ну не может (-1)^(2/4) не равняться (-1)^(1/2). Не может просто потому, что 2/4=1/2. Они либо оба не определены (в действительной области), либо принимают одинаковые значения (в комплексной области - эти значения +-i). А вот корень четвертой степени из (-1)^2 вполне себе может не равняться (-1)^(2/4) - тут никакого противоречия нет.

QUOTE(Grom @ 28.10.2017, 22:45) *
Если мы работаем в действительной области, то дробная степень определяется через корень


Только для положительного основания.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Grom
28.10.2017, 23:30
Сообщение #14


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 457
Регистрация: 14.11.2007
Из: Украина, Одесса
Пользователь №: 4 867



QUOTE(BAS14 @ 28.10.2017, 23:15) *
Это если бы был корень четвертой степени из (-1)^2, тогда да, берется по модулю и ответ 1. Ну не может (-1)^(2/4) не равняться (-1)^(1/2). Не может просто потому, что 2/4=1/2. Они либо оба не определены (в действительной области), либо принимают одинаковые значения (в комплексной области - эти значения +-i). А вот корень четвертой степени из (-1)^2 вполне себе может не равняться (-1)^(2/4) - тут никакого противоречия нет.
Только для положительного основания.

+1 - Почитал школьный учебник, в действительной области данный корень имеет смысл, дробная степень с отрицательным основанием не определяется.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
netvoe
31.10.2017, 2:10
Сообщение #15


Бывалый
****

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 1 053
Регистрация: 22.4.2007
Из: Tampa, FL
Пользователь №: 216



Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ?? blink.gif
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ??? huh.gif huh.gif huh.gif


--------------------
Изображение
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
31.10.2017, 5:26
Сообщение #16


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



QUOTE(netvoe @ 31.10.2017, 2:10) *
Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ?? blink.gif
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ??? huh.gif huh.gif huh.gif


Сперва нужно дать определение, что такое z^(m/n) для комплексного z, и тогда считать корни, согласно с этим определением.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Alexandroppolus
31.10.2017, 11:16
Сообщение #17


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 804
Регистрация: 25.10.2009
Пользователь №: 17 196



QUOTE(vituss @ 28.10.2017, 22:07) *
По правилам сначала выполняется действие в скобках. Значит придем к (-1)^(0,5)

именно.

если бы там было ((-1)^2)^0.25, то да, было бы 4 корня. А так два.

это как 1-(2-3) = 0, а 1-2-3 = -4
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
31.10.2017, 13:06
Сообщение #18


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



QUOTE(Alexandroppolus @ 31.10.2017, 11:16) *
именно.

если бы там было ((-1)^2)^0.25, то да, было бы 4 корня. А так два.

это как 1-(2-3) = 0, а 1-2-3 = -4


Не путайте теплое с пресным. Сокращение дроби - это вообще не арифметическое действие. Арифметическое действие - деление, оно как было до сокращения дроби, так и осталось.

Пока не дано определение, что такое дробная степень - все пустая болтовня. Точно так же можно сказать, что если бы там было ((-1)^(1/4))^2, то да, было бы 2 корня, а так 4. С той же мерой безответственности.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
fiviol
31.10.2017, 14:06
Сообщение #19


Участник
**

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 118
Регистрация: 28.3.2009
Из: г. Трехгорный, Челяб. обл.
Пользователь №: 13 681



QUOTE(BAS14 @ 28.10.2017, 20:07) *
И естественно, значение степени (или множество значений) ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель - 1/2, 2/4, 0,5, sin(pi/6) или как-то еще - формально мы должны это вычислить и получить в любом случае одно и то же число.


Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.

Ничего в этом зазорного нет, поскольку "ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель" - это просто фобия, возникшая от подсознательного желания, чтобы комплексные числа сохраняли все свойства действительных чисел. Но это невозможно, увы: например, привычное с детства свойство (z^x)^y = (z^y)^x, как видите, все равно не выполняется для дробных степеней комплексных чисел, и никакие эмоции типа "ни в коем случае не зависит от того..." тут не помогут.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
BAS14
31.10.2017, 22:07
Сообщение #20


Активный участник
***

Группа: Модераторы BrainGames
Сообщений: 339
Регистрация: 25.7.2014
Из: Псков
Пользователь №: 50 487



QUOTE(netvoe @ 31.10.2017, 2:10) *
Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ?? blink.gif
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ??? huh.gif huh.gif huh.gif


Вообще +-i. Но это ладно, видимо, там запрограммировано выбирать одно значение (подобно тому как для квадратного корня из положительного числа из двух значений обычно выбирают одно - положительное), и в этом есть своя логика - а если где-то будет например 1000 значений, не все же на экран выдавать, тем более иногда и для прикладных целей удобна однозначность.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

2 Страниц V  1 2 >
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0 -

 



- Упрощённая версия Сейчас: 15.12.2019, 11:26