(-1)^(2/4) Опции

[SlvBuz]

Я уже давно закончил школу и институт, кое что подзабыл.
Вот сижу мучаюсь...
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица.
Помогите мне пож-та.

[Зеркало]

Насколько я помню комплексную арифметику, такая неоднозначность возникает из-за неоднозначности корней. Даже в действительных числах под корнем из единицы можно понимать как 1, так и -1. В комплексной плоскости для корня будет столько значений, какова его степень, т.е. для корня 4-й степени получится (по формуле Муавра, кажется) 4 значения: 1, i, -1 и -i. Какое-то из них договариваются считать за основное, соответствующее значению 4√(1), хотя, может быть, вру, пусть меня поправят. Возможно, это верно только для действительных чисел. Вообще, что касается дробных степеней отрицательных чисел, то из-за появившихся неоднозначностей там многое перестаёт работать, в частности, представление дробной степени в виде корня.

[SlvBuz]

В комплексной плоскости для корня будет столько значений, какова его степень, т.е. для корня 4-й степени получится (по формуле Муавра, кажется) 4 значения: 1, i, -1 и -i.

но ведь 2/4=1/2, значит два корня???
или дробь, которая стоит в степени нельзя сокращать?

Сообщение было отредактировано SlvBuz: 28.10.2017, 18:59

[BAS14]

но ведь 2/4=1/2, значит два корня???
или дробь, которая стоит в степени нельзя сокращать?

Два корня. 2/4 можно понимать просто как деление 2 на 4, т.е. показатель степени равен 1/2.
Всякие теории, будто какие-то дроби нельзя сокращать только лишь из-за места, где они находятся в выражении - от лукавого. Равно как и теории, будто между чертой дроби и знаком деления есть принципиальная разница. Мне кажется, подобные вещи придумывают педагоги-методологи (не знаю, как их точно назвать) только для того, чтобы как-то выделиться (типа - учить, что 2/4=1/2 любой дурак может, а мы-то умные и должны понимать, что это две совершенно разные дроби, просто так случайно получилось, что иногда их можно приравнивать и заменять одну на другую... - ну бред же, откровенно говоря). В результате они зачастую просто запутывают, без необходимости усложняя простые вещи (а потом школьники/родители/студенты кричат караул, что математика очень сложная наука...)
Представление дробной степени в виде корня из степени или наоборот можно использовать либо при положительном основании (там никаких софизмов не возникает), либо с оговоркой, что дробь несократимая - тогда множество значений обеих частей в комплексных числах будет совпадать, что и дает возможность поставить знак равенства. А значений будет столько, каков знаменатель дроби/показатель корня.
Ответ +-i

А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?

Если иррациональная - бесконечно много. В комплексных числах.

Сообщение было отредактировано BAS14: 28.10.2017, 20:28

[Nikita146]

Два корня. 2/4 можно понимать просто как деление 2 на 4, т.е. показатель степени равен 1/2.
Всякие теории, будто какие-то дроби нельзя сокращать только лишь из-за места, где они находятся в выражении - от лукавого. Равно как и теории, будто между чертой дроби и знаком деления есть принципиальная разница. Мне кажется, подобные вещи придумывают педагоги-методологи (не знаю, как их точно назвать) только для того, чтобы как-то выделиться (типа - учить, что 2/4=1/2 любой дурак может, а мы-то умные и должны понимать, что это две совершенно разные дроби, просто так случайно получилось, что иногда их можно приравнивать и заменять одну на другую... - ну бред же, откровенно говоря). В результате они зачастую просто запутывают, без необходимости усложняя простые вещи (а потом школьники/родители/студенты кричат караул, что математика очень сложная наука...)

Почему от лукавого? Где-то это может показаться более удобным. К примеру, можно договориться не возводить отрицательные числа в дробную степень и вопрос снимается — значение не определено (нами же, в нашей арифметике). Общепринятых каких-то договоренностей на этот счёт нет, насколько мне известно, а не общеизвестные есть разные, и ответ для них будет различаться, так что и вопрос с этой т. зрения некорректен, мне кажется.