Версия для печати темы
Форум Игры разума [braingames] _ Разминка для мозгов _ 3 окружности
Автор: BAS14 27.10.2019, 20:28
Вспомнилась такая геометрическая задача.
Три окружности касаются друг друга и некоторой прямой. Найдите, какому соотношению удовлетворяют их радиусы а, b, c.
Если дать два радиуса и предложить найти третий - это достаточно рутинная задача, не представляет особого интереса. Но в общем виде можно получить красивую и необычную формулу.
Прикрепленные изображения
Автор: Sheogorath 28.10.2019, 10:31
sqrt(ac) + sqrt(bc) = sqrt(ab) ?
Автор: 0 28.10.2019, 14:20
a^-0.5 + b^-0.5 = c^-0.5
Автор: BAS14 28.10.2019, 19:20
Sheogorath, 0, верно. Я имел в виду такой ответ, как у 0. На мой взгляд, очень необычная формула для геометрической задачи (в алгебре-то можно любую формулу написать, но вот будет ли она иметь смысл где-то вне алгебры...) При этом конфигурация достаточно простая, не какая-то громоздкая специально придуманная.
В геометрии часто складываются сами длины, их квадраты, иногда величины, обратные длинам, встречал даже случаи, где складываются обратные квадраты - это все и физический смысл может иметь. Но чтобы складывались длины в степени -1/2... это вообще какая-то экзотика, сложно даже представить себе величину такой размерности.
Автор: yagupop77 28.10.2019, 23:38
QUOTE(Sheogorath @ 28.10.2019, 10:31)
sqrt(ac) + sqrt(bc) = sqrt(ab) ?
обоснуйте ответ, пожалста
Автор: Ash_p 30.10.2019, 0:37
Насчёт самой формулы сейчас ничего говорить не буду, но отмечу, что если дать 2 радиуса без уточнения того, какие именно это окружности, то в большинстве случаев (когда данные радиусы не равны) должно быть два ответа.
Для окружности между данными и над одной из данных.
Ваша формула это учитывает?
Автор: BAS14 30.10.2019, 1:10
QUOTE(Ash_p @ 30.10.2019, 0:37)
Насчёт самой формулы сейчас ничего говорить не буду, но отмечу, что если дать 2 радиуса без уточнения того, какие именно это окружности, то в большинстве случаев (когда данные радиусы не равны) должно быть два ответа.
Для окружности между данными и над одной из данных.
Ваша формула это учитывает?
Так я же рисунок сделал, в т.ч. чтобы было понятно, как расположены окружности.
При другом расположении просто a, b, c поменяются ролями.
Автор: Ash_p 30.10.2019, 1:49
QUOTE(BAS14 @ 30.10.2019, 1:10)
Так я же рисунок сделал, в т.ч. чтобы было понятно, как расположены окружности.
При другом расположении просто a, b, c поменяются ролями.
Так Вы же не уточнили какие радиусы даёте
a, b или a, c
Мне кажется, что так даже интереснее.
И можно ли вывести формулу сразу для двух вариантов?
Я подозреваю, что это возможно
Автор: BAS14 30.10.2019, 19:38
QUOTE(Ash_p @ 30.10.2019, 1:49)
Так Вы же не уточнили какие радиусы даёте
a, b или a, c
Мне кажется, что так даже интереснее.
И можно ли вывести формулу сразу для двух вариантов?
Я подозреваю, что это возможно
Ну можете выразить с через а и b, а можете b через а и с - это же будет по сути одно и то же уравнение, просто разрешенное относительно разных переменных. Вот это уравнение и надо найти. Потом, если хотите, можно переобозначить радиусы и получить решение для другого расположения окружностей.
А объединить два решения всегда можно, это же делается, например, при решении квадратного уравнения.
Автор: Ash_p 30.10.2019, 22:56
QUOTE(BAS14 @ 30.10.2019, 19:38)
... при решении квадратного уравнения.
Именно об этом же и я подумал )
Автор: BAS14 30.10.2019, 23:56
QUOTE(Ash_p @ 30.10.2019, 22:56)
Именно об этом же и я подумал )
Ну вообще эта задача навеяна формулой Содди, которая связывает радиусы четырех окружностей, попарно касающихся друг друга. Если из нее попытаться выразить один радиус через 3 других, получится как раз квадратное уравнение, имеющее обычно два различных корня. В этой задаче - предельный случай, когда радиус одной из окружностей бесконечно велик (она обращается в прямую). Но для решения этой задачи знать формулу Содди не нужно, тут решение намного проще и формула сильно упрощается.