Версия для печати темы

Автор: SlvBuz 28.10.2017, 16:32

Я уже давно закончил школу и институт, кое что подзабыл.
Вот сижу мучаюсь...
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица.
Помогите мне пож-та.

Автор: fiviol 28.10.2017, 17:06

А в чем проблема? Корней четвертой степени из числа - четыре штуки.

Автор: Зеркало 28.10.2017, 17:09

Насколько я помню комплексную арифметику, такая неоднозначность возникает из-за неоднозначности корней. Даже в действительных числах под корнем из единицы можно понимать как 1, так и -1. В комплексной плоскости для корня будет столько значений, какова его степень, т.е. для корня 4-й степени получится (по формуле Муавра, кажется) 4 значения: 1, i, -1 и -i. Какое-то из них договариваются считать за основное, соответствующее значению 4√(1), хотя, может быть, вру, пусть меня поправят. Возможно, это верно только для действительных чисел. Вообще, что касается дробных степеней отрицательных чисел, то из-за появившихся неоднозначностей там многое перестаёт работать, в частности, представление дробной степени в виде корня.

Автор: SlvBuz 28.10.2017, 18:27

А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?

Автор: SlvBuz 28.10.2017, 18:58

но ведь 2/4=1/2, значит два корня???
или дробь, которая стоит в степени нельзя сокращать?

Автор: fiviol 28.10.2017, 19:44

Зуб даю.
Для каждого комплексного числа существует ровно n комплексных чисел, которые в n-ной степени равны этому числу - корни степени n. В частности, корнями четвертой степени из 1 являются 1, -1, i и -i.
Дальше нужно быть аккуратным в определениях - что такое степень 2/4? Если это понимать как квадраты корней четвертой степени, или корни четвертой степени из квадрата, то это 4 разных числа. Так что это вовсе не то же самое, что квадратный корень - потому что таких корней только 2.

Из этого уже понятно, что иррациональную степень для комплексного числа вообще нельзя определить по аналогии с положительными вещественными числами.

Автор: BAS14 28.10.2017, 19:47

Два корня. 2/4 можно понимать просто как деление 2 на 4, т.е. показатель степени равен 1/2.
Всякие теории, будто какие-то дроби нельзя сокращать только лишь из-за места, где они находятся в выражении - от лукавого. Равно как и теории, будто между чертой дроби и знаком деления есть принципиальная разница. Мне кажется, подобные вещи придумывают педагоги-методологи (не знаю, как их точно назвать) только для того, чтобы как-то выделиться (типа - учить, что 2/4=1/2 любой дурак может, а мы-то умные и должны понимать, что это две совершенно разные дроби, просто так случайно получилось, что иногда их можно приравнивать и заменять одну на другую... - ну бред же, откровенно говоря). В результате они зачастую просто запутывают, без необходимости усложняя простые вещи (а потом школьники/родители/студенты кричат караул, что математика очень сложная наука...)
Представление дробной степени в виде корня из степени или наоборот можно использовать либо при положительном основании (там никаких софизмов не возникает), либо с оговоркой, что дробь несократимая - тогда множество значений обеих частей в комплексных числах будет совпадать, что и дает возможность поставить знак равенства. А значений будет столько, каков знаменатель дроби/показатель корня.
Ответ +-i



Если иррациональная - бесконечно много. В комплексных числах.

Автор: BAS14 28.10.2017, 20:07

Степень 2/4 - это степень с показателем, равным значению выражения 2/4 (черту дроби можно рассматривать как знак деления!), т.е. с показателем, равным 1/2. Корень четвертой степени из квадрата - это не определение. Степень с дробным показателем определяется как корень из степени лишь при положительном основании. Степень с дробным показателем и отрицательным основанием в области действительных чисел не имеет смысла, но является частным случаем степени с комплексными основанием и показателем, которая определяется совсем по-другому, не через корень (а через экспоненту и логарифм) и имеет (при ненулевом основании) n значений, если показатель равен несократимой дроби m/n (m - целое ненулевое, n - натуральное) и бесконечно много значений при иррациональном или мнимом показателе. Корень n-й степени (n - натуральное) в комплексной области тоже существует и имеет n значений (если подкоренное выражение не равно нулю). √z=z^(1/2) для любого комплексного z, но это просто свойство, а не определение. И естественно, значение степени (или множество значений) ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель - 1/2, 2/4, 0,5, sin(pi/6) или как-то еще - формально мы должны это вычислить и получить в любом случае одно и то же число.

Автор: vituss 28.10.2017, 22:07

По правилам сначала выполняется действие в скобках. Значит придем к (-1)^(0,5)

Автор: Nikita146 28.10.2017, 22:40

Почему от лукавого? Где-то это может показаться более удобным. К примеру, можно договориться не возводить отрицательные числа в дробную степень и вопрос снимается — значение не определено (нами же, в нашей арифметике). Общепринятых каких-то договоренностей на этот счёт нет, насколько мне известно, а не общеизвестные есть разные, и ответ для них будет различаться, так что и вопрос с этой т. зрения некорректен, мне кажется.

Автор: Grom 28.10.2017, 22:45

Если мы работаем в действительной области, то дробная степень определяется через корень и при сокращении степеней корня и подкоренного выражения на четное число, подкоренное выражение берется по модулю. (-1)^(2/4)=|-1|^(1/2)=1^(1/2)=1

Автор: BAS14 28.10.2017, 22:53

Именно так обычно и договариваются (если работают только с действительными числами). Причем это распространяется даже на случай нечетного знаменателя, т.е. кубический корень из -1 вполне себе равен -1, а вот (-1)^(1/3) не определено. Возможно, так решили именно для того, чтобы избежать подобных фокусов (а то там с (-1)^(2/6) и (-1)^(1/3) аналогичные проблемы будут). Видимо, можно договориться и как-то по-другому, но важно, чтобы при этом не возникало противоречий.

Автор: BAS14 28.10.2017, 23:15

Это если бы был корень четвертой степени из (-1)^2, тогда да, берется по модулю и ответ 1. Ну не может (-1)^(2/4) не равняться (-1)^(1/2). Не может просто потому, что 2/4=1/2. Они либо оба не определены (в действительной области), либо принимают одинаковые значения (в комплексной области - эти значения +-i). А вот корень четвертой степени из (-1)^2 вполне себе может не равняться (-1)^(2/4) - тут никакого противоречия нет.



Только для положительного основания.

Автор: Grom 28.10.2017, 23:30

+1 - Почитал школьный учебник, в действительной области данный корень имеет смысл, дробная степень с отрицательным основанием не определяется.

Автор: netvoe 31.10.2017, 2:10

Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ??
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ???

Автор: fiviol 31.10.2017, 5:26

Сперва нужно дать определение, что такое z^(m/n) для комплексного z, и тогда считать корни, согласно с этим определением.

Автор: Alexandroppolus 31.10.2017, 11:16

именно.

если бы там было ((-1)^2)^0.25, то да, было бы 4 корня. А так два.

это как 1-(2-3) = 0, а 1-2-3 = -4

Автор: fiviol 31.10.2017, 13:06

Не путайте теплое с пресным. Сокращение дроби - это вообще не арифметическое действие. Арифметическое действие - деление, оно как было до сокращения дроби, так и осталось.

Пока не дано определение, что такое дробная степень - все пустая болтовня. Точно так же можно сказать, что если бы там было ((-1)^(1/4))^2, то да, было бы 2 корня, а так 4. С той же мерой безответственности.

Автор: fiviol 31.10.2017, 14:06

Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.

Ничего в этом зазорного нет, поскольку "ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель" - это просто фобия, возникшая от подсознательного желания, чтобы комплексные числа сохраняли все свойства действительных чисел. Но это невозможно, увы: например, привычное с детства свойство (z^x)^y = (z^y)^x, как видите, все равно не выполняется для дробных степеней комплексных чисел, и никакие эмоции типа "ни в коем случае не зависит от того..." тут не помогут.

Автор: BAS14 31.10.2017, 22:07

Вообще +-i. Но это ладно, видимо, там запрограммировано выбирать одно значение (подобно тому как для квадратного корня из положительного числа из двух значений обычно выбирают одно - положительное), и в этом есть своя логика - а если где-то будет например 1000 значений, не все же на экран выдавать, тем более иногда и для прикладных целей удобна однозначность.

Автор: BAS14 31.10.2017, 22:35

А еще сперва нужно понять, что мы хотим определить. Тут 2 варианта:
1. Мы определяем функцию F(z;q) двух аргументов - комплексного z и рационального q. Тогда q по определению рационального числа должно быть представимо в виде m/n, где m - целое, n - натуральное, но сами значения m и n при этом не важны, и если F(-1;2/4) определена, то с необходимостью F(-1;1/2) тоже будет определена и принимать то же значение. Просто потому, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число - значение аргумента q.
2. Мы определяем функцию F(z;m;n) трех аргументов - комплексного z, целого m и натурального n. Тогда запросто может оказаться, что F(-1;2;4) не равно F(-1;1;2) либо одно из этих значений определено, а другое нет.
Степень - функция двух аргументов (основания и показателя), поэтому ее можно определить только по первому варианту. По второму варианту можно тоже определить какую-то функцию, но в качестве определения степени она не будет годиться. Можно, конечно, сказать, а почему нельзя расширить определение и придумать степень для трех аргументов? Ну вообще можно, но сам вид выражения (-1)^(2/4) говорит нам, что это некая функция двух аргументов -1 и 2/4, обозначенная знаком ^. Поэтому как ни определяй смысл этого выражения, но у выражения (-1)^(1/2) смысл будет тот же.



Да, в показателе результат деления. Но деление 2 на 4 дает такой же результат, что и деление 1 на 2. И в дальнейшем (при возведении в степень) мы используем только этот результат, и не важно, как он получился.
Если вы хотите, чтобы (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) было не одно и то же, вам нужно, чтобы 2/4 и 1/2 было не одно и то же. Т.е. вам прежде всего нужно альтернативное определение не степени, а деления.

Кстати, по поводу определений. Определение степени с произвольными комплексными основанием и показателем (единственный особый случай - нулевое основание) я встречал в разных источниках по сути одно - через комплексную экспоненту и логарифм. И принятые определения в частных случаях (например, при действительном положительном основании и действительном показателе) этому общему определению, в общем-то, не противоречат (единственный момент - что зачастую выбирается только одно значение многозначной функции, но это в комплексном анализе обычное дело). Поэтому определение степени можно считать не менее общепринятым, чем определение того же деления (особенно с учетом того, что с делением тоже не все так просто - существует деление обычное, целочисленное, с остатком... )

Автор: BAS14 31.10.2017, 22:59

Дробную степень как функцию двух аргументов (комплексного основания и рационального показателя) нельзя определить ни так, ни так, потому что для рационального числа представление в виде дроби m/n не единственно. Ее можно определить, если наложить на m и n какое-то условие, чтобы оно было единственным, наиболее естественное условие - несократимость дроби. Но тогда (-1)^(2/4) по определению равно (-1)^(1/2) (если последнее определено). В противном случае у вас получается функция трех аргументов.



Неверно. Это логика, возникшая от сознательного желания, чтобы теория была непротиворечивой.



Да, не выполняется в общем случае, но при чем тут это? ((-1)^(1/4))^2 и ((-1)^2)^(1/4) не обязаны быть равны. А (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) обязаны (если определены) - при условии, что знаком ^ обозначена некая функция двух аргументов, а остальные знаки в этих выражениях имеют общепринятый смысл.

Автор: fiviol 1.11.2017, 5:30

Новый круг того же самого пустого разговора: обязаны - не обязаны. Кому обязаны и с какой стати, кроме того, что вам там хочется?

Автор: BAS14 1.11.2017, 19:06

С такой стати, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число. Это не чья-то прихоть, это логика. Причем логика не субъективная практическая (чтобы кому-то было удобно), а строгая математическая (чтобы в теории не было противоречий).
Другими словами, имеется 3 утверждения:
1. 2/4=1/2.
2. Если f(x) - произвольная функция одного числового аргумента х, а - некоторое число, входящее в область определения этой функции и а=b, то f(a)=f(b ) (для многозначных функций равенство означает, что обе части принимают один и тот же набор значений).
3. Степень - некоторая функция двух числовых аргументов - основания и показателя (если основание зафиксировать, то одного аргумента - показателя). Заметьте, что здесь не важно, как именно вы определяете степень, лишь бы это была функция двух аргументов.
С каким из трех утверждений не согласны? Если со всеми согласны, то автоматически должны согласиться и с тем, что (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) либо равны, либо оба не определены. Точно так же, как соглашаясь с тем, что все люди смертны и Иванов - человек, вы автоматически соглашаетесь с тем, что Иванов смертен. Логика.

Кстати, еще добавлю по поводу этого:



Между прочим обозначение 0,5 - это на самом деле не что иное, как условная сокращенная запись дроби 5/10. И мы даже произносим это именно как "(ноль целых) пять десятых", но нечасто в это вдумываемся, и это особо не надо - потому что если с этим числом нужно далее производить какие-то действия, то имеет значение лишь величина этого числа, а не то, в результате каких действий оно появилось - хоть деления 1 на 2, хоть 5 на 10, хоть вообще не деления, а чего-то другого. Но если вы все же считаете, что важно, что на что делили, то извольте - (-1)^0,5 это вообще-то (-1)^(5/10) и по вашему второму определению это нужно трактовать как корень 10-й степени из -1, коих, естественно, в комплексной области имеется 10 штук. Интересно получается с таким определением, да? Запутаться можно в два счета, и почему? Да потому что это определение функции не двух аргументов, а трех, и если в записи (-1)^(2/4) еще можно при большом желании увидеть функцию трех аргументов -1, 2 и 4 (сославшись на то, что типа знак степени тут означает не совсем то, что обычно, и черта дроби не совсем черта дроби, но ведь такое определение тоже имеет право на существование, да?), то попытка замаскировать этот факт и выдать это определение все-таки за определение функции двух аргументов (чтобы создать впечатление, что оно может служить определением степени), впихнув два аргумента в один (путем замены обыкновенной дроби на десятичную, не осознавая, что десятичная - это просто такая форма записи некоторой обыкновенной дроби), только обессмысливает выражение.