Версия для печати темы

Автор: snav 23.11.2009, 15:09

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=63015
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=27892.

Предполагаемые решения парадокса:
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=27892
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=94979
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=95012

Автор: tatunya 23.11.2009, 16:24

а может из того факта, что во втором конверте матожидание больше, не следует что надо менять конверт;
Если например есть 50 конвертов, в одном лежит 51 рубль, а в остальных пусто, и вам за рубль предлагают открыть один конверт и забрать его содержимое. Вроде как среднее денег в каждом конверте больше рубля, но вероятность выигрыша маленькая, и по моему личному мнению не стоит ничего открывать несмотря на матожидания;

Автор: alan 23.11.2009, 16:32

Представте, что у вас есть возможность сыграть 10000 раз

Автор: snav 23.11.2009, 17:33

В парадоксе используется постулат теории принятия решений, что из нескольких вариантов действия следует предпочесть вариант, для которого матожидание выигрыша максимально.

Автор: tatunya 23.11.2009, 23:58

[skip]
мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)

Автор: John777 24.11.2009, 9:56

1. Пусть мы увидели х руб. в первом конверте, тогда матожидание во втором конверте 1/2*2х+1/2*х/2=5/4х.
Заметим, что ОБЪЕКТИВНО (с точки зрения тех, кто раскладывал деньги, например) в первом слагаемом этого выражения х - это меньшее из кол-в денег, во втором х - это большее из кол-в денег. Т.е. иксы "разные". Также заметим, что в этой формуле появляются 3 исхода событий (получим х, 2х, х/2), а изначально их всего два.
Если же обозначить за у меньшее из кол-в денег, то матожидание 1/2*2у+1/2*у=3/2у. Т.е. как и ожидалось, мы в среднем получим одинаковое кол-во денег, поменяв или оставив конверт.

Замечу, что здесь предполагается, что выпадение во втором конверте 2х или х/2 равновероятны, а это не так. Но об этом позже...

Автор: snav 24.11.2009, 10:55

И что из того? Всё что вы написали, не отвечает на вопрос, где ошибка в рассуждениях в нашем парадоксе?
Кстати, иксы - не разные, икс один и тот же (сумма денег в первом конверте, т.е. 4$ в нашем случае). Но мы не знаем являются ли эти 4$ большей суммой или меньшей, поэтому рассматриваем обе возможности.


Я думаю, вы и сами понимаете, что это рассуждение ни о чем... Кстати, изначально для нас исходов не два, а бесконечно много. А после вскрытия одного конверта, количество возможных вариантов сокращается до трех.


Здесь вы вычисляете априорное матожидание, а весь сыр-бор в парадоксе из-за апостериорного матожидания.

Автор: tatunya 24.11.2009, 12:08

а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке, ведь если например рассмотреть конечное количество исходов, то матожидание выигрыша при замене конверта получается 0 (возможно в общем случае для бесконечного числа - тоже 0), т.е до открытия конверта задача симметрична, после открытия уже нет, но решение должно зависить от знания закона распределения конвертов и от конкретного числа денег в открытом конверте

Автор: snav 24.11.2009, 13:25

Это наиболее распространенное объяснение парадокса. До недавнего времени я сам придерживался такой же точки зрения. Действительно, пусть X и Y — количество денег в первом и втором конверте соответственно. Тогда M(Y|X=x) = P1*2x + P2*x/2, где P1=P(Y>X|X=x), P2=P(Y<X|X=x). Мы предположили, что P1=P2 для любого значения x. Но такое допущение некорректно, так как не существует такого закона распределения случайных величин X и Y, при котором равенство P1=P2 выполнялось бы для любого значения x.

Однако все оказалось не так просто. Можно переформулировать парадокс таким образом, чтобы исключить указанный недостаток. В новом варианте "классическое" объяснение уже не работает, а парадокс все равно остается. Вот формулировка, взятая из интернета:

Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов,
- с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов,
...
- с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов.
Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1.

Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять.

--------------------------------------------
Подкорректировал сообщение (устранил неточность): Было написано, что равенство P1=P2 соответствует допущению о равномерном законе распределения на бесконечной полуоси, которого, как известно, не существует. На самом деле, при равномерном распределении вероятности P1 и P2 были бы равны не 1/2, а 2/3 и 1/3 соответственно.

Автор: tatunya 24.11.2009, 14:56

Но тут не используется вероятность самого события найти 10^n в конверте.
А как я поняла из предыдущих постов, принцип выбора по матожиданию работает только при возможности проведения большого количества экспериментов и матожидание надо записывать в такой форме, чтобы его можно было использовать для большого числа экспериментов. Матожидание выигрыша при замене конверта можно записать в виде sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^i-10^{i-1}))=0.

Автор: snav 24.11.2009, 15:10

Это событие уже произошло. Его вероятность равна 1.


Необязательно. Можно и при одном опыте.


А тут я ничего не понял...

Автор: tatunya 24.11.2009, 15:22

Допустим, известно распределение денег в конвертах:
- с вероятностью 1/1000 кладем в конверты 1 и 100000 долларов,
- с вероятностью 1/1000^2 кладем в конверты 100000 и 100000^2 долларов,
...
- с вероятностью 1/1000^n кладем в конверты 100000^(n-1) и 100000^n долларов.

посчитаем матожидание выигрыша при замене конверта не открывая конверта
sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^{i-1}-10^i))=0 (запись сама по себе понятна?)

если же мы открываем конверт и видим 100000, пусть в данном конкретном случае матожидание выигрыша при обмене конверта положительно, но вероятность выигрыша очень мала; и лично для меня большой вопрос можно ли тут использовать принцип принятия решения по матожиданию;

Автор: snav 24.11.2009, 15:34

Такое распределение некорректно. У вас сумма вероятностей не равна 1.


Я уже писал выше, что априорное матожидание нам неинтересно. Парадокс возникает именно с апостериорным матожиданием.


Мы решаем математический парадокс. Здесь не нужно отвлекаться на психологию и другие подобные вопросы, которые не относятся к сути дела.

Автор: tatunya 24.11.2009, 16:48

А на чем основывается ваша уверенность, что в данном случае можно руководствоваться матожиданием при выборе, или же уверенности нет, но вы просто пока не нашли доказательства обратного?
И вы случайно не встречали хорошего обоснования этого принципа в каком-нибудь интернет источнике? А то очень хочется почитать, а гугл ничего путного не предлагает.

Автор: John777 24.11.2009, 16:59

Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?

Автор: snav 24.11.2009, 17:42

Это критерий рационального выбора из теории принятия решений. Скорее всего, он не доказывается, а постулируется. Суть критерия, что в условиях неопределенности, когда каждое возможное действие может иметь несколько возможных результатов с разными вероятностями, необходимо для каждого действия вычислить математическое ожидание выигрыша (ожидаемую ценность) и выбрать действие с максимальным матожиданием.


Попробуйте поискать по ключевым словам: "теория принятия решений", "ожидаемая ценность".

Автор: snav 24.11.2009, 17:58

Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает.

Автор: John777 24.11.2009, 18:38

Не понял.
Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше?

Автор: snav 24.11.2009, 19:28

Вы меня сильно озадачили.
Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре.

Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n...

Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму...

Автор: John777 24.11.2009, 19:39

Здесь условия испытания зависят от номера испытания n, а у меня все испытания одинаковые.
Если здесь во всех испытаниях давать выбрать из 1 или 100, то средний выйгрыш будет 100 в нашей стратегии.

Автор: snav 24.11.2009, 19:48

Ok. Пусть вам предлагают каждый раз выбирать между X и 100*X, где X - случайное число, подчиняющееся описанному выше убывающему закону. В отдельной игре разумнее выбирать большее число. Это очевидно. Но в бесконечной серии игр матожидание выигрыша будет бесконечным для любой стратегии...

Автор: John777 24.11.2009, 20:08

Согласен. Но если число испытаний бесконечно, то все стратегии в этой игре одинаковые. Т.к. для любого числа й при достаточном кол-ве игр мы будем выигрывать более й руб. за игру при любой стратегии.
Как я понимаю, из всего этого следует, что о бесконечном кол-ве испытаний здесь говорить нельзя. А имея конечное число испытаний, как определить, какая статегия лучше А или В?

Автор: snav 24.11.2009, 20:20

Наверно, как всегда в подобных случаях - теоретически... что мы и пытаемся сделать, правда пока безуспешно...

Автор: John777 24.11.2009, 20:23

Я серьезно: есть 2 стратегии, по каким критериям можно определить, какая из них лучше, имея конечное число испытаний?

Автор: snav 24.11.2009, 20:36

Если совсем строго - то не по каким, ибо любое сравнение будет базироваться на использовании какой-то теории (например, на теории вероятностей), а в основе любой теории лежат аксиомы и постулаты, принимаемые без доказательства (т.е. истинность этих аксиом, как и самой теории, неизвестна).

Поэтому при сравнении стратегий в любом случае придется опираться на какие-то постулаты, например на постулаты теории принятия решений.

Кстати, в английской http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem среди прочих гипотез по разрешению этого парадокса выдвигается версия о непригодности теории принятия решений для распределений с бесконечным матожиданием.

Автор: Powered by Java 24.11.2009, 21:01

Итак, начнем с условия. "Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?" означает, что мы хотим получить максимум $ из всех возможных исходов ПОСЛЕ открытия первого конверта. В этой формулировке разночтений уже нет, ибо мы либо теряем 2$, либо получаем 4$. Симметрии нет никакой. И, как ни парадоксально, надо брать второй конверт не задумываясь. Это из разряда "у вас уже есть х$ и их можно поменять на x/2 либо x*2 с равной вероятность." Я бы играл на таких условиях до посинения
Что же касается "интуитивной симметрии", она справедлива, если бы вопрос был угадать ИМЕННО ТОТ конверт, в котором больше денег. Это не одно и то же! Угадать конверт мы можем с вероятностью 1/2, а вот денег получаем в среднем больше, если выбираем другой конверт.
Надеюсь, не сильно запутал вас

Автор: snav 25.11.2009, 12:44

Powered by Java, мне кажется, вы не до конца уловили суть парадокса.

В парадоксе "доказывается", что независимо от того, какую сумму денег мы обнаружили в первом конверте, всегда нужно брать другой конверт. Получается, что можно даже не утруждаться, чтобы открыть конверт и пересчитать в нем деньги (все равно от этого ничего не зависит), можно сразу изменять свое первоначальное решение и выбирать другой конверт. В итоге мы приходим к явной нелепости.

Допустим, есть два конверта: А и В. Мы выбрали конверт А и, не открывая его, говорим, что теперь нам выгоднее изменить свой выбор на В. Посмотрим на ситуацию с другой стороны. Первоначальный выбор конверта А был случайным (50x50). Если бы мы сразу выбрали конверт B, то, рассуждая аналогично, мы бы "научно доказали", что гораздо выгоднее взять конверт А, ибо оставив конверт В, мы в среднем проиграем. Получается, что выгодность или невыгодность конверта В зависит лишь от наших умозаключений. Естественно, это абсурд.

P.S. Чтобы не сочинять всё самому, кое-где вставил умные фразы других людей. Прошу не считать плагиатом. :-)

Автор: John777 25.11.2009, 13:03

Постулат теории вероятностей, как я понимаю, утверждает, что из решений следует принимать то, для которого матожидание больше.
Пример: вы выигрываете в игру с вероятностью 70%, у вас есть 100 руб. Вопрос: сколько нужно ставить.
Матожидание выйгрыша будет наибольшим, если всегда ставить всю сумму, но при достаточном кол-ве игр вы с вероятностью 1 все проиграете.

Автор: tatunya 25.11.2009, 13:14

Т.е snav согласен, что менять конверт это абсурд, так же очевидно, что матожидание посчитанное по апостериорной вероятности говорит обратное, какие еще могут быть варианты, кроме некорректности применения метода принятия решения. Этот метод статистический, ну как его можно применять, когда никакой уже статистики нет.

Автор: snav 25.11.2009, 13:37

tatunya, я бы сказал, что принцип максимума матожидания опирается больше на теорию вероятностей, чем на статистику (это разные науки, хотя они и сильно пересекаются). Основные понятия теории вероятностей (такие как случайная величина, событие, вероятность, матожидание) в общем случае не связаны с числом испытаний и могут применяться даже к разовым экспериментам. Просто статистическое восприятие теории вероятностей более наглядно и понятно, поэтому его чаще используют на практике. Но строго говоря, это не обязательно. Вполне корректно говорить о матожидании выигрыша безотносительно к серии испытаний.

Автор: John777 25.11.2009, 15:46

Когда мы узнаем кол-во денег в одном из конвертов, мы получаем какую-то информацию. Независимо от этой информации мы должны выбрать другой конверт, но важен сам факт получения нами этой информации. Симметричность исчезает при открытии конверта. Т.е. если перед нами 2 закрытых конверта, то все симметрично, если мы знаем кол-во денег в одном из них, то он для нас менее ценен, чем другой.
Ведь если мы сразу узнаем кол-во денег в обоих конвертах, то их ценность для нас изменится, так почему она не может изменится после узнавание кол-ва денег в одном из них?

Автор: Powered by Java 25.11.2009, 15:47

Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с деньгами, причем в одном денег в 2 раза больше, чем во втором и вы это знаете. Вы открываете первый конверт и там N денег. Теперь вам ведущий предлагает сыграть в супер-игру: Надо сказать, больше во втором конверте денег или нет. Если вы угадываете, то ваша сумма удваивается, если не угадываете, то делится пополам.
Вопрос: будем играть?
Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?

Автор: denisR 25.11.2009, 16:02

Я во всем этом плохо разбираюсь. И не понял многого из того что здесь написано.
Но
почему говорится о симметрии. ты можешь увеличить или уменьшить свои деньги, но вот увеличить на 4, а уменьшить на 2. По-моему в этом разница. увеличишь ты или уменьшишь здесь 50 на 50, но деньги разные. не надо говорить во сколько раз, надо говорить на сколько.

если в одном 4 а в другом либо 8 либо 0, тогда тут симметрия.

Автор: denisR 25.11.2009, 17:01

Эту задачу можно перефразировать так что никакой симметрии не будет

Вы выиграли 2 дол и вам предлагается выбрать между двумя возможностями:
-либо гарантировано получить еще 2 дол
-либо сыграть в игру где надо выбрать один конверт из двух(6 и 0 долларов соответственно)

Автор: snav 25.11.2009, 20:08

"Вопрос: будем играть?"
Не знаю. У нас нет данных, чтобы принять рационально обоснованное решение.

"Вопрос2: в чем разница с оригинальной задачей?"
В том, что задача еще более запутана.

Автор: snav 25.11.2009, 20:37

Об этом подробно написал выше.


Выше я писал, что 50х50 здесь очень спорно. У нас нет оснований считать эти события равновероятными.


Это совсем другая задача. Здесь всё просто и никакого парадокса нет.

Автор: John777 25.11.2009, 20:57

Ответ: в супер-игру играть стоит, т.к. вероятность выйграть в нее 50% (у нас - не так), а выйгрыш больше проигрыша.
Ответ2: а) здесь нам не дают выбрать конверт для открывания в начале.
б) вместо одного решения: менять или не менять конверт, здесь нужно два: играть ли в супер-игру и, в случае положительного ответа, сказать больше или меньше.
Явно, это другая задача.

snav, что насчет моего последнего поста?

Автор: snav 25.11.2009, 21:04

Я ничего не понял. Совсем ничего.

Автор: John777 25.11.2009, 21:17

Назовем ценностью конверта - ожидаемое нами кол-во денег в этом конверте. Тогда следует выбирать конверт с большей ценностью.
Как мы уже поняли (я надеюсь), при нашем распределении ценность конвертов в начале игры бесконечна и все симметрично. Когда мы открыли один из конвертов, его ценность изменилась (стала равной кол-ву денег в конверте). Ценность второго конверта тоже изменилась (она явно стала ограниченной). Т.е. ценности конвертов стали различны в тот момент, когда мы открыли второй конверт. Я полагаю, что в этот момент ДЛЯ НАС симметричность пропала (т.к. мы знаем кол-во денег в одном конверте, но не знаем в другом).

"Неизвестность манит":)

Автор: snav 26.11.2009, 7:59

Симметрии тут, конечно, нет. Симметрия задачи в другом: что изначально можно было открыть второй конверт, а потом с помощью тех же самых рассуждений прийти к выводу, что выгоднее взять первый.

А насчет вашей фразы "мы знаем кол-во денег в одном конверте, но не знаем в другом" я уже писал, что согласно парадоксу нам нет нужды знать кол-во денег в конверте. Наше решение о смене конверта не зависит от суммы в первом конверте, поэтому в него можно даже не заглядывать, а сразу выбирать второй конверт. Получается что ценность второго конверта априори выше ценности первого. В этом и абсурдность ситуации.

Автор: John777 26.11.2009, 9:18

Я полагаю, что наше решение не зависит от суммы в первом конверте, но зависит от самого факта знания нами этой суммы. Т.е. когда мы знаем сумму в первом конверте, но не знаем ее во втором, мы выбираем второй.

Автор: snav 26.11.2009, 9:45

И где же тут зависимость от "факта знания нами этой суммы"? Термин "зависимость" предполагает, что решение может быть разным исходя из произошедшего события. В нашем случае решение всегда одно - конверт меняется в любом случае. Никакой зависимости нет.

Автор: snav 26.11.2009, 10:04

John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.

Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта.

Таким образом, смена конверта не может увеличить среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения.

Автор: Powered by Java 26.11.2009, 13:23

Первый и второй участник находятся перед разным выбором. И говорить, что они выиграли или проиграли при смене конверта одинаково нельзя! Давайте построим все таки модели испытаний, из которых будут очевидны плюсы и минусы принятия решения, и определимся, что мы сравниваем.
Модель 1.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с конвертом в котором больше денег?
Описываем эксперимент: Выбираем случайное число X на каждом испытании и в 2 конверта раскладываем X и X*2 денег. Случайным образом выбираем первый конверт. Суммируем кол-во угаданных с первого раза за стратегию оставить первый, не угаданных за стратегию взять второй. Сравниваем и получаем, что шансы равны. И симметричность и мат ожидание скажут, что нам все равно. Ведь тут мат ожидание не конкретной суммы денег, а угадать конверт.
Модель 2.
Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с бОльшим кол-вом денег, если сумма в конвертах выбирается случайным образом для всех испытаний?
Описываем эксперимент: Каждый раз выбираем случайное число X. Раскладываем деньги, делаем выбор, суммируем полученные деньги и сравниваем суммы у игроков... Постойте! А как можно сравнить выигрыш в 1$ и в 10$ и проигрыш в 0.5$ и 5$? Нужна норма!
-- Модель 2.а, нормируем случайное число х. Таким образом получим, что пара будет выбираться каждый раз одна. В такой формулировке и мат ожидание и симметричность скажут, что нам все равно, какой конверт выбирать.
Условия задачи допускают много трактовок. Если первоначальную сумму в конвертах считать заданной, а факт обнаружения в конверте конкретной суммы игнорировать (т.е. утверждать, что игрок обнаружит фиксированные значения X и X*2 с вероятностью 50х50), то получим вполне законный и обоснованный результат. А можно ли так трактовать? Конечно да Данная задача не описывает конкретную модель, которая может/не может быть применима. Именно эта модель должна быть использована в в примере из цитаты svan. Бесспорно, что и мат ожидание такой модели выдаст 50х50 и противоречий не возникнет.
-- Модель 2.б, нормируем открытую сумму из первого конверта. Тогда получим, что в конвертах может быть либо X и X*2, либо X и X/2 с равной вероятность, где X - деньги из первого открытого конверта, на которые нормируем. Эта модель и позволяет говорить о бОльшем мат ожидании во втором конверте и отсутствии симметричности.
Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм.
А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства.

Автор: John777 26.11.2009, 14:04

snav, спасибо, понял свою ошибку в понимании симметричности.

Powered by Java, извините, но уши вянут

Нам не нужно их сравнивать! Нужно сравнить ожидание выйгрыша и проигрыша в сумме за несколько игр (или за одну игру).

Автор: Powered by Java 26.11.2009, 14:14

Надо, ибо мы строим модель и хотим неким образом суммировать информацию о результатах бесконечного кол-ва испытаний. Что такое ожидание? Это некая величина, которая будет в среднем в бесконечном кол-ве испытаний. Именно ее мы и ищем. Именно для этого и нужна норма.

Автор: tatunya 26.11.2009, 14:22

Как много букв, но может этот парадокс и пытаются разрешить, что при разных моделях (подходах) разный результат. И в моем понимании, чтобы разрешить парадокс, надо найти причину для неприменимости какой-либо модели.


А есть ли это бесконечное число испытаний после открытия первого конверта? Как здесь надо трактовать матожидание и почему им можно руководствоваться?

Автор: Powered by Java 26.11.2009, 15:38

В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах. Это и позволяет нам строить 2 разные по сути и решению модели. Если конкретизировать модель тем или иным образом, парадокс исчезнет сам собой.
Давайте поясню на примере парадокса Монти-Холла, который не вызывает сомнений.
В оригинале, ведущий всегда открывает дверь с козой. Это в нашем случае аналогично модели 2.б.
Представим себе, что в условии было: ведущий всегда открывает 3-ю дверь (даже если там авто или игрок выбрал именно третью дверь). И вот ситуация, игрок выбрал первую дверь, а ведущий открыл 3-ю и за ней коза. Стоит ли ему менять выбор? В такой трактовке - все равно. Это аналогично модели 2.а.
Все споры вокруг задачи двух конвертов в том, что ограничения на обе модели а и б нет! И каждый начинает трактовать условия в пользу одного либо другого подхода, а некоторые, в пользу обеих сразу и получают парадокс.
Мое личное мнение (аргументированное), обе модели корректны в рамках поставленных условий и парадокса нет. А вот условие задачи - не полное.

Автор: tatunya 26.11.2009, 16:05

Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью (я рассматриваю именно корректную вероятностную модель, приведенную snavом в комментариях).

Это уже просто две абсолютно разные задачи, а тут одна задача, корректная и жизненная, по моему личному мнению она не может быть не полной. Лично вы будете менять конверт?

Автор: Powered by Java 26.11.2009, 16:17

Если вероятностная модель известна, то парадокса быть не может! Весь парадокс основан на отсутствии именно этой информации.

Пусть я открыл конверт и там 4$. Если мне гарантируют, что в конверт могла попасть пара 2-4 с той же вероятностью, что и пара 4-8, то да. Если не гарантируют, то буду субъективен.

Автор: tatunya 26.11.2009, 16:22

Powered by Java,
вероятностная модель известна, парадокс есть.
Я вообще предлагаю именно эту формулировку вынести в шапку.

Автор: Powered by Java 26.11.2009, 17:02

Вы до сих пор оперируете всеми тремя моделями, создавая парадокс.
Говорить про выигрыш/проигрыш как факт угадывания нужного конверта - Модель 1.
Говорить про выигрыш/проигрыш для выбранной пары, но разных числах в первом конверте - Модель 2.а.
Говорить про выигрыш/проигрыш для случайной пары и одинакового числа в первом конверте - Модель 2.б.

Если мы гарантируем некое распределение на стадии выбора конкретной суммы денег в конвертах для каждого испытания, то Модель 2.а не имеет смысла. Когда мы говорим, что выбор сделан и пара зафиксирована, то нельзя говорить о первоначальном распределении и Модель 2.б не имеет смысла.

Автор: tatunya 26.11.2009, 17:40

Это конечно хорошо, но с таким распределением вы что будете делать? Менять конверт или нет? И что вам даст тот факт, что в зависимости от модели, получаются разные результаты?

Автор: Mouse 26.11.2009, 17:45

snav - злостный провокатор

Автор: John777 26.11.2009, 18:32

Да, ладно...
Ща по-быстрому решим это, потом переидем к Большой теореме Ферма, а там уж можно будет и за нерешенные проблемы браться...

Автор: snav 29.11.2009, 20:51

Ну что... похоже глухо. Мозговой штурм не помог.

Автор: John777 30.11.2009, 5:14

Извините, но чего вы ожидали?
По-моему, это не тот сайт, где можно давать на обсуждение что-то, чье решение может занять более получаса.

Автор: snav 30.11.2009, 7:19

Ожидал, что вдруг найдется какой-нибудь гений, который разложит всё по полочкам.

Автор: сапер 1.12.2009, 22:46

А мне сама идея темы нравится! Предлагаю здесь для всех желающих публиковать наиболее интересные математические софизмы/парадоксы и, задающему разумно "насмерть" противостоять опровергающим, до момента приведения убойных аргументов по разлому парадокса
Судя по всему, пока идея snav, если я ее правильно понял, пытающимися что-либо объяснять по имеющимуся парадоксу, воспринята бы "кисло"

Автор: snav 2.12.2009, 8:11

Только, пожалуйста, не в этой теме.

Автор: ars 13.12.2009, 23:12

Мне кажется, что при решении задачи изначально идет неправильное рассуждение. Считается матожидание денег во втором конверте (которое действительно будет больше суммы в первом конверте), но эта информация для нас никакой практической ценности не имеет. Плюс, к тому же, тут не учитывается та сумма, которая уже есть на руках.

Для того, чтобы принять решение, стоит ли открывать второй конверт, надо отвечать не на вопрос: "Сколько денег во втором конверте?", а на вопрос: "Сколько мы выиграем при открытии второго конверта?" Ведь если во втором конверте меньшее количество денег, то получится что половину уже имеющейся суммы мы проиграли, а если там большая сумма, то выиграем мы столько же сколько у нас есть сейчас.

Матожидание выигрыша при таких рассуждениях будет определяться как:
1/2*(-1/2*х)+1/2*(х)=1/4*х , где x - сумма в первом конверте.

То есть в четыре раза меньше, чем та сумма, что уже у нас на руках. Таким образом, оптимальное решение - конверт не менять. Никаким абсурдом не пахнет.

Автор: John777 14.12.2009, 1:00

ars, у вас получилось, что нужно брать конверт, который мы выбрали изначально, но это тоже противоречит симметричности (это такой же "абсурд"). Должно получится (в теории), что матожидание денег в другом конверте равно кол-ву денег в открытом конверте.

Автор: ars 14.12.2009, 13:48

Вот хотел обосновать свой предыдущий пост, но решил проверить его на разных отношениях денег в конвертах (х2, х3, х4 и т.д.) - оказалось, что матожидание растет по формуле (n-1)^2 / 2n , где n - отношение денег в конвертах. Таким образом для n>=4 будет происходить аналогично: матожидание второго конверта будет больше суммы в первом конверте. Для варианта рассчета из примера (условия) рост начнется с n>=2, т.к. в этом случае получается 1+n^2 / 2n .

Получается, что оба варианта рано или поздно приводят к "абсурду"

Так как при подсчетах используются лишь значения вероятностей и предполагаемые суммы во втором конверте (причем последние фиксированы относительно денег в первом), то закрался вопрос: а законно ли утверждать, что вероятности равны 1/2 и 1/2. Подобный вопрос уже поднимался, но в немного другой интерпретации.

Вспомним, что такое "вероятность события A" - это количество исходов, благоприятствующих событию А к общему числу возможных исходов. Предмет теории вероятностей - выявление закономерных связей между условиями S и событием А, наступление или ненаступление которого при условиях S может быть точно установлено.

Так вот к чему я: так как деньги уже лежат в конвертах до начала испытаний (наших выборов), то наши шансы найти либо бОльшую, либо меньшую сумму будут равны 0 и 1 Ведь от нашего выбора зависит только сумма выигрыша, а не то сколько денег окажется во втором конверте.

Рассмотрим пример: в первом конверте Х денег, во втором - 2Х. Мы выбрали второй конверт. Вероятность того, что в первом окажется 4Х равна 0 (ну нет их там ), а того что там Х - равна 1. Т.е. условие S - это как разложили деньги в конверты, а не какой из конвертов мы выбрали.
Т.е. при вышеизложенной ситуации: матожидание выигрыша составляет 4X*0+X*1=X. Но это верно только для стороннего наблюдателя (который знает как лежат деньги в конвертах), мы же, не зная, как вероятности соотносятся с суммами выигрышей такие рассуждения применить не можем.

Грубо говоря, аппарат теории вероятностей здесь вообще не поможет. Ибо согласно ему, при первом выборе у нас с вероятностью 1/2 попадается конверт с меньшей суммой и аналогично с бОльшей. Вскрытие/невскрытие конверта никакой дополнительной полезной информации не дает. И при смене выбора мы по сути выполняем процедуру, аналогичную первому выбору. Даже если мы проведем ряд экспериментов и выясним частоту максимального выигрыша при смене конверта, то мы все-равно не сможем этим воспользоваться, так как нам все равно будет неизвестно, какой конверт мы выбрали первым (с большей суммой или меньшей).

Надеюсь понятно изложил

Автор: George007 2.4.2010, 13:52

Хоть тема и издохла давно, но по-моему дело вот в чем:

При неограниченной сумме денег в первом конверте (или вообще в любом конверте) матожидание количества денег в этом конверте (как и в любом другом) равно бесконечности. Это всем понятно. Далее, выигрыш наш стремится к матожиданию с ростом числа вскрытых конвертов, то есть к бесконечности.

Поэтому в этой игре нам просто выгодно вскрыть максимальное число конвертов.
а) Если мы вскрыли первый конверт, то нам однозначно выгодно вскрыть второй.
б) А вот если мы только выбрали конверт, но не вскрыли, а потом взяли второй и вскрыли его, то в итоге мы вскрыли всего один конверт, а не два и мы в проигрыше.

Так что парадокса тут нет При такой постановке задачи (некорректной кстати) нужно всегда открывать второй конверт, т.к. матожидание в нем всегда выше чем в первом (ясно же, что в первом не лежит бесконечность денег )

А если вы ограничите максимальную сумму, то матожидание станет конечной величиной и тактика соответстенно станет очевидной.

Автор: Nadha 3.4.2010, 11:55

Именно здесь и парадокс. Как уже писали выше, если участников двое и каждый из них открыл по конверту, то им обоим выгодно менятся конвертами. И если они играют в одной команде, получается, что в их кошельке будет больше денег, если они не просто откроют оба конверта и возьмут деньги, а поменяются конвертами и потом возьмут деньги. Хотя очевидно, что у них будет ровно та же сумма.

Автор: ars 5.4.2010, 9:45

"Я дико извиняюсь, господа президенты, но я вас разъединяю... У меня на связи Одесса."
Предлагаю всем интересующимся ознакомиться с http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_двух_конвертов и закрыть тему.

Автор: snav 5.4.2010, 10:57

ars, к сожалению, в википедии (ни в русской, ни в английской) пока нет удовлетворительного решения парадокса. То что там написано, здесь уже обсуждалось. Посмотрите внимательно эту тему, начиная с сообщения #9.

Автор: сапер 5.4.2010, 11:25

+1 Википедия - "Опиум для народа"!

Автор: George007 5.4.2010, 12:11

Вы не учитываете тот факт, что ситуация (1), когда конверт вскрыт и стоит выбор вскрыть второй или нет, и ситуация (2), когда конверты не вскрыты (меняемся мы ими или нет - неважно) - это разные по сути начальные условия.
Выгода вскрытия второго конверта появляется только после вскрытия первого, и она как раз заключается не в том, что выгодно вскрыть не первый конверт, а второй. Выгода берется из того, что мы можем открыть именно два конверта. Поэтому умозрительный обмен конвертами не дает выгоды. При вскрытии первого конверта мат. ожидание равно 3/2х для любого из двух конвертов, хоть меняйся хоть нет.

Так что нет, не выгодно им ничем меняться. Потому что пока не вскрыт первый конверт, мы имеем другую задачу нежели после вскрытия и само понятие "второй конверт" возникает только после открытия первого.

А вообще, все зло от бесконечного мат. ожидания

Автор: Nadha 5.4.2010, 13:20

Это тут тоже уже обсуждалось. Если бы выгода вскрытия определялась вскрытием первого конверта, то сумма в конверте как-то на этот выбор бы влияла. Но нам выгоден второй конверт независимо от того, что мы увидели в этом конверте. Если существенен именно факт разворачивания бумажки, можно представить, что мы больны амнезией, открыли конверт, посчитали бабло и забыли, сколько там лежало. И в таком случае тоже нам выгодно взять второй конверт, потому что сколько бы не лежало в первом, во втором лежит 5х\4 (в среднем).

А вообще я никогда не понимала, что такое матожидание и дисперсия (или как она там), так как вместо лекций по теорверу ходила в бассейн. Это какие-то мёртвые термины, я не понимаю. что они значат. И почему тут матожидание бесконечно, я тоже не понимаю. Когда конверт открыт оно - 5х/4. Если в нашем конверте конечная сумма, то и в том конверте тоже! Может, просто не нужно сюда приплетать матожидание и вычисление среднего вообще...

Автор: George007 6.4.2010, 8:24

Ваш средний выигрыш приближается к мат. ожиданию с ростом числа испытаний, поэтому в данной задаче нужно открывать конверты. А амнезия и прочее - от лукавого. Вы либо открыли конверт либо нет. Существенен не факт открытия бумажки, а факт произошедшего испытания = узнавания суммы.
Само понятие второй конверт не имеет смысла, если первый не открыт (ну можно требовать чтобы он лежал перед Вами на столе деньгами наружу).

По поводу данной задачи и ее мат. ожидания. В условии ничего не сказано про максимальную сумму в конвертах. То есть там может быть любое число вплоть до бесконечности. Поэтому очевидно, что мат. ожидание тут бесконечно. То что сумма во втором конверте привязана к сумме в первом - само собой, но вообще, тот самый х в первом конверте, по идее, равен бесконечности. Но на практике понятно, что там конечная сумма, и она меньше мат. ожидания, поэтому вытянув следующий конверт, Вы должны приблизиться к мат. ожиданию и, следовательно, увеличить выигрыш. Отсюда и берется "парадокс". Если Вы ограничите сумму в конверте, парадокса не станет.





Ну если сюда и их не приплетать, то откуда у вас 5/4х во втором конверте? Тогда и парадокса не будет

Автор: Nadha 6.4.2010, 10:44

Про ограничение сверху суммы я тоже не очень понимаю. К примеру, к вам играть приходит ваш друг, предлагает два конверта. Вы знаете, что у него в кармане было сто рублей, то есть максимально он может положить 33,33руб в один конверт и 66,66 а другой. Открываете один конверт, там 10 рублей. Во втором конверте лежит в среднем (20+5)/2=12,5. При чём тут ограничение в 100 рублей и как оно избавляет нас от парадокса?

Автор: ars 8.4.2010, 12:37

Два глупых вопроса:
1) Мы сейчас пытаемся разобраться с этим парадоксом или с первоначальным? Рассуждения, мне кажется, будут несколько отличаться.
2) Я может быть туплю, но не понимаю как там "Сумма вероятностей равна 1". Для n=2, например.

Автор: ars 8.4.2010, 13:20

И вообще, если перефразировать изначальную задачу следующим образом:
"Имеется 1 конверт, в котором или 2Х$ или 0$ с равной вероятностью. У игрока есть Х$. Вскрытие конверта - услуга платная, цена - Х$. Стоит ли вскрывать конверт?"

Пусть А - кол-во денег у игрока перед началом игры, B - матожидание выигрыша, S - матожидание денег по окончании игры, S=A+B.
1) Если не вскрывать конверт - у игрока остается Х$ (A=X, B=0, S=A+B=X).
2) Если вскрывать, то матожидание выигрыша - B=1/2*[2X+0]=X$ (A=0, S=A+B=X).

Рискну утверждать, что после вскрытия первого конверта исходная задача сводится к только что изложенной.

Автор: Nadha 8.4.2010, 14:05

это не так, задачи не равнозначные, ведь если услуга платная, то после вскрытия конверта у него будет либо +Х (2Х достанет, Х отдаст), либо -Х (откроет 0, Х отдаст), то есть выигрыш в среднем 0.

Автор: snav 8.4.2010, 16:48

Это один и тот же парадокс. Вариант, описанный в сообщении #9, является просто исправленной версией, лишенной недостатков первоначального парадокса. Имеет смысл решать именно его.


n - случайное натуральное число, которое подчиняется заданному закону распределения: с вероятностью 1/2 принимает значение 1, с вероятностью 1/4 - значение 2, с вероятностью 1/8 - значение 3 и т.д.
Сумма вероятностей 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 1.

Автор: UNDEFEAT 14.11.2010, 15:04

(Не удаляйте как флуд, хотя бы 1 день )
Её уже доказали...

Автор: fayde 31.12.2010, 15:03

Я извинияюсь за то, что не стал читать далее 1й страницы, а лишь пробежал глазами последние ответы. Надеюсь, я верно понял, что первоначальный парадокс не разъяснен?
В любом случае, я считаю, что нашел ошибку в рассуждениях.

Предлагаемое решение приемлемо для другой задачи:
существует три конверта (с a, b и c рублями, причем a>b>c), вам дают определенный — с b рублями, и говорят, что вы можете оставить его себе, а можете попытать удачу и выбрать один из двух оставшихся.

Задачу же с двумя конвертами следует решать с двумя переменными, a и b.

Автор: Vizitor 31.12.2010, 16:30

Честно говоря, я теорию вероятностей пропустил в свое время мимо ушей , поэтому у меня встречный вопрос:
А имеет ли значение, что в модели, описанной в сообщении #9 вероятность при вскрытии первого конверта увидеть в нем 1$ равна 1/4?
То есть, в 25% случаев перед нами и вопроса не будет стоять, следует ли менять конверт.

Автор: snav 31.12.2010, 16:37

Я не совсем понял ваш вопрос. Парадокс в том, что согласно приведенным рассуждениям мы можем даже не заглядывать в открытый конверт - менять всё равно выгодно.

Автор: Vizitor 31.12.2010, 16:59

согласно приведенным рассуждениям
1. В случае, если мы пытаемся определить факт выбора конверта с бОльшей суммой, то конкретная сумма в первом конверте не имеет значения, и мат. ожидание, как я понимаю, вычисляется некорректно (могу ошибаться, так как не знаю толком то, как оно должно вычисляться, и не увидел, как оно вычисляется в Ваших рассуждениях применительно к данной модели)
2. Если мы хотим получить бОльший в среднем выигрыш, то с каждым последующим шагом, IMHO, требуется учитывать результаты предыдущих испытаний, тогда для полноты картины нам нужны будут данные о сумме в каждом из конвертов. Не вскрывая конверты, мы не сможем этого определить

Upd.
Для первого случая. получив сумму 10^n мы можем сказать, что с вероятностью >1/2 у нас конверт с бОльшей суммой, при n>0 и что с вероятностью 1 у нас конверт с меньшей суммой, если n = 0.
То есть, не зная сумму мы не можем определить с какой вероятностью второй конверт нам выгоден.

Автор: vegetable 2.12.2011, 23:01

Подскажите парадокс уже разрешен и тема закрыта?
Имеет ли смысл сюда написать его решение?

Автор: UNDEFEAT 3.12.2011, 0:26

Тема не закрыта, пишите

Автор: nik_vic 3.12.2011, 11:38

Интересно, Вы тоже полагаете, что "выгодность" растёт с ростом мат. ожидания? Ведь доказана-то не выгодность, а неравенство матожиданий для двух стратегий - ну и что?

Принятые у математиков формализации понятия выгодности определяют её не как функцию от матожидания, а как функционал от распределения, и парадокс пропадает. Применительно к нашему сюжету нехитро придумать примеры целесообразности сохранения "синицы в руках" по сравнению с "журавлём в небе".

Например, видим 1000р. и до смерти хочется дозу за 900 у знакомого дилера

Автор: vegetable 4.12.2011, 17:28

Как в данной формулировке устраняется недостаток непонятно - конвертов все равно 2. И для одной суммы априорная вероятность 1, а для другой 0. А апостериорные также неизвестны.

Автор: snav 5.12.2011, 18:17

vegetable, что именно вам не понятно?

Автор: vegetable 5.12.2011, 19:08

Непонятно как устранился "недостаток" начальной формулировки.
По-моему все осталось без изменений.

Автор: snav 5.12.2011, 19:25

Недостаток начальной формулировки - что неизвестен закон распределения случайной величины X, где X - наименьшая сумма денег в конвертах. Поэтому у нас не было возможности корректно оценить апостериорные вероятности того, что во втором конверте бОльшая или меньшая сумма, соответственно наш расчет апостериорного матожидания был некорректен.

В новой версии распределение X задано по условию, поэтому после вскрытия первого конверта нам известны апостериорные вероятности возможных значений суммы денег во втором конверте и мы можем посчитать апостериорное матожидание суммы денег для второго конверта - оно всегда будет больше, чем содержимое первого конверта.

Автор: vegetable 5.12.2011, 20:22

Возможно ли уточнить каким образом составляются "пары" конвертов?

Автор: snav 5.12.2011, 20:30

Возможные пары:
1-я пара: 1 и 10
2-я пара: 10 и 100
3-я пара: 100 и 1000
...
n-я пара: 10^(n-1) и 10^n
...

Случайным образом (в соответствии с заданным законом распределения) выбираем одну из этих пар и кладем ее в конверты:
с вероятностью 1/2 - кладем 1-ю пару
с вероятностью 1/4 - кладем 2-ю пару
с вероятностью 1/8 - кладем 3-ю пару
...
с вероятностью 1/2^n - кладем n-ю пару
...

Автор: 0 5.12.2011, 20:44

Подумалось:
А давайте не будем анализировать выбор другого конверта из двух, а дадим возможность попросить положить деньги еще раз.
Тогда что бы у нас ни было в конверте мат ожидание при повторной закладке бесконечность. То есть мат ожидание больше любого исхода.

Автор: nik_vic 5.12.2011, 21:36

Это уже было, но доводом для любителей парадоксов не является. В этом смысле привлекательнее вариант, когда конверт изначально один, но по желанию клиента можно кинуть монетку для изменения суммы.
Никаких бесконечностей не возникает, распределение "во втором конверте" не зависит от содержания первых - после того, как первый вскрыт.
И, главное, то же неравенство для мат. ожиданий выигрыша в двух стратегиях - "нет, спасибо" либо "кидайте".
Но парадокс сдувается, и приходится задуматься над тем, выгоднее или нет - для той конкретной суммы, что увидел клиент.

Автор: 0 6.12.2011, 16:31

Да меня в основном заинтересовал аспект интуитивного понимания мат ожидания.
Под ним обычно понимается "среднее значение" а тут получилось среднее больше любого из "усредняемых".

Автор: nik_vic 6.12.2011, 16:44

А так оно и есть, если понимать, что распределение состоит из 5 и 20 рублей, и оно только порождается величиной 10. Её можно рассматривать как точечное распределение и сравнивать 2 матожидания в двух разных распределениях, возникающих при выборе стратегии.

Автор: snav 20.12.2011, 16:45

Пришла в голову мысль, как разрешить парадокс.

Посмотрим еще раз на ход наших рассуждений: мы берем сумму денег в первом конверте A, вычисляем условное матожидание суммы денег во втором конверте M(B/A) и приходим к заключению, что M(B/A) > A для любого A. Эти рассуждения абсолютно корректны, но с одной существенной оговоркой: если A — конечное число. Между тем, условие задачи не гарантирует, что в конверты положат именно конечное количество денег. Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность, и в этом случае наши расчеты неприменимы.

Таким образом, целесообразность смены конверта зависит от того, сколько денег в первом конверте: если конечная сумма — конверт выгодно поменять, если бесконечная — выгодность замены не определена.

Устраивает ли такое объяснение?

-------------------

Подумал. Ерунду написал.

Автор: nik_vic 20.12.2011, 17:02

Не влезет в конверт

Автор: idler_ 20.12.2011, 17:35

Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму.
А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать...

Автор: snav 20.12.2011, 17:50

Мне кажется, что в данной задаче "фиксированную" - не значит конечную.


Нет, речь не об этом. Речь об одном испытании.

Автор: idler_ 20.12.2011, 17:53

А мне кажется, что значит.

Автор: nik_vic 20.12.2011, 18:41

Пока не видел возражений, что "парадокс" заключается в подмене понятия "выгодности" неравенством матожиданий для двух стратегий.
Ну, да, стратегия "меняй конверт" увеличивает матожидание, но причём здесь выгодность????

Например, в первом конверте видим 1000р. и до смерти хочется дозу - а она стоит 900р. Менять - чревато.
И иначе - если видим только 500р. Тут уж надо рискнуть...

Автор: idler_ 20.12.2011, 18:55

Мне не очень понятно, зачем вы вводите в задачу дополнительные условия.
В задаче выгодность = остаться после испытания с более толстым кошельком.
Какие нафиг дозы?

Автор: snav 20.12.2011, 19:17

Можешь обосновать?

Я рассуждал так, что по условию был проведен некий идеальный эксперимент, в котором было сгенерировано случайное число X, подчиняющееся заданному распределению F(X). Затем соответствующая сумма денег (X и 10*X) была положена в конверты. Поскольку матожидание M(X) = +INF, то число X могло принять не обязательно конечное значение.

Автор: idler_ 20.12.2011, 19:25

Строго вряд ли.


Т. е. вывод о том, можно ли увидеть в конверте бесконечную сумму, ты делаешь после того, как получаешь бесконечное мат. ожидание? Интересный способ дополнять условие на основе неких выводов.

Автор: snav 20.12.2011, 19:28

А где я дополнил условие? По-моему, сделанные выводы следуют из условия.

Автор: idler_ 20.12.2011, 19:29

Мне кажется, что возможность или невозможность увидеть в конверте бесконечную сумму всё-таки должно быть именно частью условия, а не выводом. И твой вывод я не считаю строгим, чтобы можно было сказать, что это именно следует из условия.

Автор: nik_vic 20.12.2011, 19:38

Вопрос: как вам поступить, чтобы получить бОльшую сумму денег?
Это - одна из многочисленных формулировок. Вот другая -


Можно заметить, что отношение "больше" применяется в области, где это самое больше не определено: одной его частью является число, второй - случайная величина. Нет, даже хуже, т.к. число - тоже случайная величина, всегда принимающая одно и то же значение




Впрочем, чаще других рассматривают вариант, в котором два конверта выдаются двум "игрокам", и оба они, согласно "рассуждениям", полагают целесообразным обменяться конвертами

Автор: snav 22.12.2011, 18:55

Похоже, ты прав. Что-то меня переклинило.

Автор: alan 27.12.2011, 15:54

Может ерунда с таким распределением в том, что, если посчитать мат. ожидание суммы, которая лежит в вытянутом наугад конверте оно будет равно бесконечности?
И тогда, когда мы меняем конверты мы меняем бесконечность на бесконечность. Ничего странного, что первая бесконечность у нас в N раз больше второй, в то время как вторая в К раз больше первой.

Автор: alan 27.12.2011, 16:04

Т.е. получается штука в том, что мы просто не можем открыть конверт *crazy* (находящаяся там сумма нас "раздавит"). Потому, что распределение вероятности "плохое" (имеет бесконечное среднее).
Выходит для предотвращения такого парадокса, просто нужно в ТВ ввести некоторую аксиому, которая будет ограничивать нас в выборе распределений вероятности, и откинет все "плохие" распределения.

Автор: alan 27.12.2011, 16:15

Или не распределение плохое, а мат ожидание при данном распределении плохое.
Тут мы рассуждаем как бы нам заработать побольше. И используем мат. ожидание как некий реальный заработок. (фактически мы говорим, что когда нам дают закрытый конверт нам дали сумму равную мат. ожиданию). Так вот, потому, что мат ожидание еще для первого конверта бесконечное мы не можем в этом случае использовать его как заработок.

___
Кстати, интересно, если продолжать предполагать, что мат. ожидание = заработок, тогда выходит нам невыгодно открывать конверт! Если мы откроем конверт, заработок обязательно уменьшится.
И при этом конвертом можно пользоваться как купюрой стоимостью inf рублей. Ведь никто в своем уме не будет его открывать. И значит для всех будущих обладателей он будет иметь именно такую стоимость.
И тогда очевидно, что менять этот конверт, на тот, что лежит рядом бессмысленно - меняешь купюру стоимостью inf на купюру стоимостью N*inf = inf, а они равносильны.

Автор: 0 27.12.2011, 18:46

Да не бессмысленно это. И распределение хорошее и мат ожидание тоже вполне ничего себе.
Не нужно конечно его приравнивать к заработку - это средний заработок и в реале он не учитывает сложность повторения эксперимента - если после того как ты сорвал джек пот в лотерее тебе предложат втрое больше или ничего если монетка выпадет твоей стороной по мат ожиданию стоило бы согласиться, но шансы сорвать второй раз джек пот призрачны.

Но это лирика а менять конверт все же стоит (после открывания). Если взять серию испытаний то среди тех кто увидел в конверте миллион те кто поменял конверт заработают больше тех кто не поменял.

Автор: alan 27.12.2011, 18:54

Еще немного с другой стороны, чем плохи бесконечности для нашего решения:

Важно понять, что именно тут происходит. В этом рассуждении мы переходим от частных случаев к общему. Показываем, что для каждого Х больше, значит для любого Х нам выгодно менять.
Фактически мы применяем то, что если f_i > g_i, для всех 0 <= i < N, то lim(sum(f_i)/N, N->inf) > lim(sum(f_i)/N, N->inf).
Но это утверждение справедливо только пока lim(sum(g_i)/N, N->inf) не равно бесконечности.

Автор: nik_vic 27.12.2011, 19:37

Хех, а пачему - после открывания? Если от его результата не зависит решение поменять?

Автор: 0 27.12.2011, 20:22

Потому что до открывания это два одинаковых конверта и менять тут нечего.
И да если раздать эти конверты двоим то каждому из них стоит поменяться конвертами с соседом и это даст каждому выигрыш в среднем

Автор: дёрти 28.12.2011, 5:54

Скорее так:
"... то каждый из них придёт к выводу, что стоит поменяться конвертами с соседом, потому что возможный выигрыш перевешивает возможный проигрыш"
Но в результате обмена, выигрыш одного будет равен проигрышу другого, сумма нулевая. Просто, вывод о выгодности обмена, каждый строил от своей "базы" - от величины своего конверта.

Автор: vegetable 4.1.2012, 0:19

Автор: Brainthrust 5.1.2012, 14:08

Возможно, сейчас глупость напишу, но попробовать стоит

Пусть в открытом конверте X денег. Тогда во втором конверте - Y, причем вероятность P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3. Я не могу это стого доказать, но, судя по всему, для Y не выполняется закон больших чисел (из-за того, что X может быть сколь угодно большим, получается неограниченная дисперсия и известные мне достаточные условия выполнения ЗБЧ не работают). Поэтому мы не можем заменять Y на его матожидание при многократном повторении эксперимента.
Понятно, что выполнение ЗБЧ играет роль только при многократном проведении эксперимента. Тогда у меня вопрос: какой смысл имеет матожидание при однократном проведении эксперимента?

Автор: snav 5.1.2012, 17:55

Ничего страшного. Мы тут все по очереди этим занимается - пишем глупости...


Я не понял, как это поможет разрешить парадокс. Априорное матожидание бесконечно. Но парадокс оперирует апостериорными матожиданиями, а это нормальные "конечные" числа.

Автор: 0 5.1.2012, 18:26

А в чем парадокс-то видится?

Автор: nik_vic 5.1.2012, 19:20

Матожидание имеет смысл даже без проведения эксперимента.
К тому же мы не имеем дела с матожиданием Y, рассматривается условное матожидание, и оно действительно равно (10/3+2/30)*Х > Х.

Автор: Brainthrust 5.1.2012, 23:09

Ну примерно об этом и мой вопрос. Обычно нас интересует матожидание для оценки некой стратегии. При этом средний выйгрыш приравнивается к матожиданию. Это действительно справедливо, например, для рулетки, где можно играть сколько угодно раз и для выйгрыша выполняется ЗБЧ. Здесь мы не можем играть сколько угодно раз, и мне не совсем понятен термин "средний выйгрыш в единственной партии".
К чему я это все? Объясните, что означает матожидание в контексте единственной партии.

Автор: nik_vic 6.1.2012, 14:54

Полагаю, Вы ни разу не садились за рулетку. Это не мешает Вам рассуждать о матожидании выигрыша для одной игры (есть и варианты стратегий - на цвет, на число, на зеро...) и любой суммы, поставленной на кон

Автор: Brainthrust 6.1.2012, 16:00

Да, в рулетку я играл только когда ещё правила не знал. Уверен, что игроки в рулетку не расчитывают обыграть казино, сделав только одну ставку. Тем не менее, никто ещё не ответил на мой вопрос, без ответа на который для меня нет смысла учавствовать в разговоре
Чтобы было понятнее, давайте на примере. Пусть в конверте $100, тогда МО денег во втором конверте (10/3+2/30)*100 = 340. Что значит 340? В среднем во втором конверте $340? О каком таком среднем идет речь, если конверт всего один и вероятность, что в нем $340, равна 0?

Автор: nik_vic 6.1.2012, 16:20

"В среднем" - просто неточный термин для "облегчения понимания" математического ожидания случайной величины.
Не путайте статистику с теорией вероятностей, которая всего лишь "Прикладная теория меры".

Ваше "вероятность, что в нем $340, равна 0" напомнило мне разговор об обстреле болота, которое находится посередине между пунктами А и В, где с вероятностями 0.5 находится противник

Автор: 0 6.1.2012, 22:21

Ну использование самого понятия вероятности для единичного эксперимента ведь не смущает? Почему тогда смущает мат ожидание.

А вульгарную модель вроде описывают на нематематических специальностях.
Считайте что есть много вселенных которые отличаются исходами "элементарных" событий. Тогда вероятность это отношение количества вселенных в которых событие произошло к количеству всех вселенных. Ну а матожидание это среднее значение величины по всем вселенным

Автор: Brainthrust 6.1.2012, 22:36

То есть, вы хотите сказать, что если просуммировать выигрыши во всех вселенных, то их сумма будет стремиться к сумме матожиданий выигрыша в каждой вселенной? Так это неверное утверждение. Если вы такого не утверждали, что, по-вашему, "среднее значение величины"? Мне недавно предлагали абстрагироваться и это кажется хорошей идеель, раз уж выборка невелика.
Простите, если показался бараном, но мне по-прежнему непонятно, чего полезного можно извлечь из матожидания в нашем случае (я имею ввиду, полезного в плане анализа ситуации, а не уже вывода "меняем конверт")

Автор: kholodkov 7.1.2012, 0:25

А с чего вы взяли, что опираясь на значение МО можно делать вывод о том, какой конверт выбирать ? (когда выпало 4$, то в конверте может быть 2$ или 8$ с МО = 5$)
т.е. из того, что МО = $5 НЕ СЛЕДУЕТ, что выбирать надо второй конверт.

контрпример МО бросания кости = 3,5.... это же не значит, что ставить нужно только на 3 или 4... выпадение любой из граней 1...6 равновероятно. Это доказано тысячами процветающих казино.

На мой взгляд ошибочно сравнивать МО и значения Х, я могу привести еще несколько примеров, которые также абсурдны, как и пример с игральной костью

Иными словами, вывод "То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт." не очевиден и требует доказательства

Автор: UNDEFEAT 7.1.2012, 0:30

Ваш пример - не пример
Если вы поставите х рублей на 3, то матожидание вашего выигрыша кх/6 (как и если вы поставите на 4, или на 1)

Автор: kholodkov 7.1.2012, 0:38

нет, я думаю, на какую грань ставить, МО=3,5
значит согласно логике в начале темы выгоднее ставить на 4 или 3, а это не так!

Иными словами, если МО > одного из значений, в исходном примере - суммы в конверте, это СОВСЕМ НИЧЕГО НЕ ЗНАЧИТ, кроме того, факта, что это может быть моим среднив выигрышем при больших повторениях. на вероятность выпадения это НЕ ВЛИЯЕТ

утверждение "если МО=$5, то выгоднее выбирать второй конверт" нуждается в доказательстве

Автор: UNDEFEAT 7.1.2012, 0:41

Огласите, пожалуйста, правила игры в которую вы играете.

Автор: kholodkov 7.1.2012, 0:43

а по делу замечания будут?

Автор: UNDEFEAT 7.1.2012, 0:57

Замечание уже было, ваш пример не правильный.
Что бы объяснить ошибку в ваших рассуждениях более понятным для вас образом, я попросил вас расписать правила игры.

Автор: snav 7.1.2012, 9:30

Парадокс видится в том, что с помощью наших рассуждений мы приходим к двум противоречивым выводам:
1. Первый конверт априори выгоднее второго конверта.
2. Второй конверт априори выгоднее первого конверта.

Автор: kholodkov 7.1.2012, 9:33

мой пример настолько же неправильный, как и пример приведенный в начале темы. Это называется контрпример, когда приводится явно абсурдный пример по правилам основного примера.

я попросил доказать утверждение, попросил 2 раза. этого никто не сделал. и все упорно игнорируют. почему?

Автор: snav 7.1.2012, 9:51

Просто не хочется отвечать на один и тот же вопрос много раз. Мы уже говорили об этом выше. Используется модель ожидаемой ценности (математического ожидания выигрыша), наиболее распространенная в теории принятия решений. Мы решаем задачу в рамках аксиоматики данной модели. Нравится она или нет — это уже другой вопрос. (Многим не нравится теория относительности, но это не мешает с успехом пользоваться ее формулами и разрешать возникающие в ней парадоксы).

Критерий взят не с потолка, а исходя из статистической целесообразности, так же как и понятие вероятности события. Естественно, модель/критерий не гарантируют выигрыша в отдельном случае, так же как и высокая вероятность события не гарантирует, что событие действительно произойдет в одном опыте.

Автор: kholodkov 7.1.2012, 11:08

изначальную задачу можно переформулировать следующим образом
в 1 конверте 2$ в другом 8$, на руках имеем 4$. оцените целесообразность выбора.
изначальные вероятности выбора 1/2
путем вычисления МО = $5 мы приходим к целесообразости выбрать 1 из конвертов, т.к. МО =$5 > $4 (на руках)

таким образом, путем подмены слова "вероятность" на слово "разумнее" мы приходим к выводу, что P($8) > P($2), хотя изначально они были равны.

узкое место в этом рассуждении:
Подмена понятий. В данном случае возможность применения постулата "статистической целесообразности" недоказана. Пример подобного ее неправильного применения я привел с угадываением выпадающей грани кости, когда МО и значения граней сравниваются напрямую, как и в исходном примере.



п.с. я честно перечитал первые 2 и последние 2 страницы обсуждения, прежде чем задавать этот вопрос. я читал ваш посыл к "постулатам теории принятия решений", однако обоснованости их применения не углядел

Автор: 0 7.1.2012, 11:12

А где мы к этому пришли?
Мы рассуждали исключительно об условных мат ожиданиях.

То есть если открыть первый конверт и посмотреть то заметим что нам выгоднее поменять.
А если открыть второй (не открывая первый) то тоже заметим что выгоднее поменять.
В этом нет парадокса так как мы попадаем в разные ситуации и обладаем разной информацией для принятия решения.

Перенос принятия решения на момент "до открывания конверта" надо обосновать.
Если переносить не решение а только критерий то получим два бесконечных МО которые сравнить не выйдет.

Автор: snav 7.1.2012, 11:28

Мы показали, что если в первом конверте число 10, конверт выгодно поменять. Если 100, конверт тоже выгодно поменять. Аналогичные рассуждения справедливы для любой конкретной суммы A в первом конверте. Отсюда следует, что первый конверт выгодно поменять, какая бы сумма в нем ни была. Поэтому в конверт можно даже не заглядывать (от этого все равно ничего не зависит). В свою очередь, это означает, что еще до вскрытия первого конверта (т.е. априори) первый конверт выгодно поменять.

Применяя аналогичные рассуждения ко второму конверту, мы приходим к противоположному выводу.

Таким образом, мы имеем два взаимоисключающих вывода - противоречие! В этом и состоит парадокс.
С точки зрения логики это означает, что либо в наших рассуждениях ошибка (тогда ее нужно найти), либо используемая модель рационального выбора противоречива.

Автор: 0 7.1.2012, 14:44

Нельзя не заглядывать.
Какую бы сумму мы не увидели нам выгоднее поменять конверт. - Это верное утверждение и может быть проверено статистически при желании.
Но нам выгоднее поменять конверт не открывая его - это не просто не является следствием предыдущего, это вообще неверное утверждение.

Автор: snav 7.1.2012, 15:47

Второе утверждение выведено из первого. Если вы считаете, что этот вывод сделан неправильно, покажите, в каком месте ошибка.

Автор: 0 7.1.2012, 17:43

Я не вижу вывода, как я могу показать ошибка?
Вероятностное пространство разбито на бесконечное число групп исходов. На каждой группе высказывание верно. Верно ли оно на всем пространстве без разбиения?

Автор: snav 7.1.2012, 18:05

Вы счастливый человек.
К сожалению, мне повезло меньше - я отношусь к той горстке несчастных, которые вывод видят и не могут найти в нем изъяна.

Автор: 0 7.1.2012, 18:13

Так приведите

Автор: snav 7.1.2012, 18:18

http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=54348
http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=54382
Ничего нового добавить не могу.

Автор: idler_ 7.1.2012, 18:45

Не подскажешь, сейчас обсуждается классический парадокс или твоя модификация с устранением проблемы функции распределения?

Автор: 0 7.1.2012, 18:54

То есть вы уверены что любое утверждение P, которое верно на каждом из множеств Ai, верно также на объединении всех множеств Ai ?

Автор: nik_vic 7.1.2012, 19:20

Похоже, Вы не различаете объект и множество, единственным элементом которого является этот объект.

Автор: 0 7.1.2012, 19:24

Я различаю, но причем тут это?

Автор: snav 7.1.2012, 20:35

Модификация. С исходной версией вроде бы всё более-менее понятно.


Естественно, это неверно. Я так не считаю и нигде такого допущения не применяю.
Я считаю другое: если утверждение P верно для каждого элемента множества A, то оно верно для всех элементов множества A, т.е. не существует элемента, на котором данное утверждение не выполняется.

Автор: nik_vic 7.1.2012, 21:18

Никаких "если". "Для каждого..." - полный синоним "для всех...".
Штоп речь была разнообразнее

Автор: 0 7.1.2012, 21:27

С помощью этого утверждения перехода не получится.
Все что сможешь получить из него - то что не найдется такой суммы увидев которую стоило бы оставить конверт. Нужны более веские обоснования обобщения.

Назовем случайную величину X предсказуемой если она равна своему матожиданию с вероятностью 1.
Рассмотрим значение игральной кости в качестве случайной величины X.
Посчитаем условное мат ожидание Х при условии Х=1 .. 6.
Невероятно но факт E { X | X=1 } = 1 и при этом P { X=1 | X=1 } = 1
E { X | X=2 } = 2 и P { X=2 | X=2 } =1 и т.д.
То есть при любом значении X получим что X предсказуема.
.... барабанная дробь ....
Получаем что X предсказуема то есть P { E{ X } = X } =1

Автор: nik_vic 7.1.2012, 21:44

Ну, это простой передёрг: вместо исходного определения, в котором фигурирует матожидание, берётся нечто другое, условное матожидание.

Автор: 0 7.1.2012, 22:17

Именно это и делается в оригинальной задаче.
Показано что "выгодно менять" при любом содержимом открываемого конверта и предлагается поверить что из этого следует выгодность безотносительно этого содержимого.

Автор: snav 7.1.2012, 22:22

Это очень расплывчатые формулировки, по сути - ни о чем. Давайте говорить конкретно. У нас есть цепочка рассуждений:
1. Если в первом конверте находится число 10, конверт выгодно поменять.
2. Аналогичные рассуждения справедливы для любой конкретной суммы A в первом конверте.
3. Отсюда следует, что первый конверт выгодно поменять, какая бы сумма в нем ни была.
4. Поэтому в конверт можно даже не заглядывать (от этого все равно ничего не зависит).
5. В свою очередь, это означает, что еще до вскрытия первого конверта (т.е. априори) первый конверт выгодно поменять.

В каком конкретно пункте здесь ошибка? И на основании чего вы считаете этот пункт ошибочным?

Автор: nik_vic 7.1.2012, 22:31

На мой взгляд, там другой "логический" переход: в качестве выгодности берётся некое верное для всех Х соотношение. Вариант синицы в руках и журавля в небе.

Автор: 0 7.1.2012, 22:53

Какие расплывчатые формулировки? Все абсолютно конкретно.
Некорректен переход от набора условных событий к безусловному.
То есть из того что чтобы мы не увидели в конверте нам стоит выбрать другой не следует что можно не открывать конверт. Я не знаю основываясь на чем вы считаете что следует.

Автор: snav 7.1.2012, 23:01

А какой смысл открывать конверт, если факт выгодности обмена не зависит от того, какую сумму мы увидим в конверте?

Автор: nik_vic 7.1.2012, 23:08

Две стратегии эквивалентны, если во всех случаях их выгрыши одинаковы.
Стратегия "открыть и поменять" приводит ровно к тому же выигрышу, что стратегия "поменять".

Автор: 0 7.1.2012, 23:37

Не зависит. Но выгодность обмена будет только после открытия конверта.
Да сумма особо не важна - закрытый конверт будет стоить дороже.

Автор: Доцент 7.1.2012, 23:53

Извиняюсь за вторжение. На всякий случай.


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D1%85

Автор: nik_vic 8.1.2012, 14:47

Предлагаю задачку. Имеется мешок с N пакетами 1...N, в каждом из которых 2 конверта с суммами a(i) и 2*a(i), матожидание М(а) = М.
Игроку дают "случайный" пакет, он берёт из него "случайный" (в данном случае - через орёл/решку) конверт. Чему равно матожидание суммы в конверте?
А во втором???

Автор: nik_vic 9.1.2012, 11:54

Доведу-ка дело до конца.

0)Если для Х в первом конверте вероятности удвоения и уполовиниваения суммы при вскрытии второго конверта равны, то матожидание суммы во втором конверте = 1.25*Х.

Это - начало "парадокса".

1) Не существует такого распределения вероятностей для "младшего конверта", что вероятности удвоения и уполовиниваения суммы при вскрытии второго конверта равны - для всех возможных значений Х в первом конверте.

Это - конец парадокса

2) Если матожидание суммы в младшем конверте пакета существует и равно М, то матожидания суммы в первом и втором конверте пакета существуют и равны 1.5*М.

3) В силу 2), стратегии "не менять конверт" и "поменять конверт" равноценны.

4) Если распределение младших конвертов известно и имеет матожидание М, то существует стратегия, обеспечивающая выигрыш с матожиданием более 1.5*М.
Однако получить более 2*М ну никак не удастся...

Автор: 0 9.1.2012, 14:54

Лучше бы до начала довести. А то мат ожидание фиксировано еще до того как описана случайная величина.
Да в общем-то и непонятно к чему все это было сказано

Автор: nik_vic 9.1.2012, 15:06

Есть ли возражения по поводу 0)...4) ?

Полным описанием случайной величины является её т.н. интегральная функция - произвольная неубывающая функция F(x) с известными пределами (0 и 1) на бесконечностях. Наличие матожидания = сходимости интеграла x*dF.

Автор: 0 9.1.2012, 15:47

В первом сообщении не сказано что случайно а что выбрано. Если опишите эксперимент полностью можно будет говорить о чем-то дальше.

Автор: nik_vic 9.1.2012, 16:02

Вы про это ?

Автор: 0 10.1.2012, 12:58

Возможно. Но я не смог склеить из ваших четырех последних постов что-то что можно понять. Может другим удастся.

Автор: nik_vic 10.1.2012, 15:07

Если для увиденного Х про вероятности для х2=Х/2 и х2=2Х известно достаточно, чтобы было М(х2) > X либо М(х2) < X, то смена целесообразна либо, соответственно, нецелесообразна..
Однако ни к какому парадоксу это не приводит. Во всяком случае, для обсуждаемого варианта - когда эти вероятности =0.5 для любого возможного Х. Ну нет такого "мешка с пакетами"....

В остальных случаях руководствуйтесь чем-то другим. Например, нра/не нравится Вам пересчитывать деньги
===
Вот простенький пример с известным распределением. В мешке всего два конверта, (1,2) и (2,4).
Оптимальная стратегия - менять 1 и 2, не менять 4.

Автор: 0 10.1.2012, 16:17

Ну так это вроде пройденный этап - договорились же что уже рассматриваем модифицированную задачу с вероятностями 2^-n и суммами 10^n

Хотя и с равновероятными исходами не все так однозначно.
Равномерного распределения на R конечно нет, но что делать если распределение неизвестно?
Вот например организаторы генерируют случайное положительное число по какому-то закону и кладут в первый конверт, потом кидают монетку умножить или поделить и соответственно умножают или делят на 2 и кладут во второй конверт.
Ясно что начиная с какого-то X0 P( X<X0 ) > P( X>=X0 ) но испытуемый то этого не может знать

Автор: nik_vic 10.1.2012, 18:39

Есть исходная "классика" - её и смотрю.

Второй вариант, когда х2 выбирается монеткой фактически после х1, не содержит никаких проблем - меняй.
Если же конверты после этого ещё и перемешиваются, то Ваше утверждение, кстати, просто неверно. Например, "закон" может выбирать между 10 и 660 - получаются 2 "несвязанных" куска.

Нет ничего особенного в том, что априорное знание улучшает полезные возможности.

Автор: 0 10.1.2012, 19:21

Ну испытуемый разумеется видит два запечатанных конверта и не знает какой из них первый а какой второй.
Закон может быть какой угодно беда в том что испытуемый его не знает

Автор: nik_vic 10.1.2012, 19:26

Тады ой - и никакого парадокса.
Всё-таки по условию один конверт вскрывется (какой - через монетку). Если нет никаких вероятностей для увиденного, то и вычислять\опровергать нечего.

Автор: 0 10.1.2012, 20:56

Ладно понятно одно - мы друг друга не понимаем.
Тогда оставим вопрос закрытым - все вроде смирились с тем что значения случайной величины не могут быть одновременно равновероятными и неограниченными.

Если snav вернется может расскажет где парадокс

Автор: sergeip 11.1.2012, 15:09

Возможно, коллегам будет интересно обсудить как соотносится парадокс двух конвертов с недавно опубликованной задачей "больше/меньше"?

Автор: snav 11.1.2012, 17:06

На мой взгляд, это разные задачи.
1. В парадоксе приводится конкретная цепь рассуждений и требуется найти ошибку. В задаче "Больше/меньше" никакой ошибки искать не надо, а требуется придумать стратегию.
2. В парадоксе оптимизируется матожидание выигрыша, а в задаче "Больше/меньше" - вероятность выигрыша.

Автор: Brainthrust 16.1.2012, 17:41

А если с такой стороны подойти
В конверте 100 баксов - это мы уже знаем. Во втором конверте 1000 или 10 со своей вероятностью. МО денег во втором конверте ~400. Вопрос - выгодно ли менять конверт? Да, выгодно. Можете даже экспериментально проверить. Но парадокса нету. Почему нету? Потому что при повторении эксперимента в первом конверте должно быть 100 баксов. Ну ведь оно же такое и условие - конверт открыли и количество денег там известно. А раз известно, то при повторении эксперимента, копировании вселенной, ещё бог знает чего 100$ так и останутся. А вот содержимое второго конверта уже может измениться. Где парадокс? Нет парадокса.
Другое дело, если первый конверт не вскрывать - то в нем своя случайная деньга. Со своим матожиданием, которое нужно ещё учесть. И деньги во втором конверте потеряют свою независимость. Но это другая задача. Требует дополнительных исследований.

Автор: nik_vic 16.1.2012, 18:03

Да уж не скрывайте - с какой? А то ведь ничего нельзя сказать о МО.

И наоборот. Если МО ~400, значит, 1/оно есть, 2/вероятность для 1000 ~0.4. С какой стати????

Автор: Brainthrust 16.1.2012, 22:00

Я этого не скрывал, не скрываю и не буду скрывать. Из цитированного вами когда-то мною написанного поста. Простая копипаста
P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3
Матожидание 1000*1/3 + 10 * 2/3 = 340. 340 ~ 490, какая разница? Главное, что больше 100.
От куда вероятности взял понятно? Вроде, когда в свое время считал его, возражений не возникало

Автор: nik_vic 16.1.2012, 22:02

Я не смотрел. С потолка?

Автор: Brainthrust 16.1.2012, 22:05

спорьте сами с собой
При том, что X = 100 с вероятностью 1

вот и какие вопросы тогда?

Автор: snav 17.1.2012, 17:13

В общем, в решении парадокса из сообщения #9 при однократной игре я склонился к точке зрения, что причина парадокса в некорректном использовании доминантного перехода. Впервые эта мысль была озвучена Чалмерсом в 2002 году (D.Chalmers, "The St. Petersburg Two-Envelope Paradox", 2002). Спустя два года к такому же выводу пришли Дитрих и Лист (F.Dietrich, Ch.List, "The Two-Envelope Paradox: An Axiomatic Approach", 2004). Мне показалось, что это наиболее убедительные рассуждения из тех, что довелось читать.

Подробнее о сути проблемы см. в следующем сообщении...

Автор: snav 22.1.2012, 10:25

Скажу еще несколько слов, чтобы уточнить суть парадокса (напомню, мы рассматриваем исправленную версию из http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=27892). Парадокс состоит в кажущемся противоречии между двумя бесспорными фактами:
(1) симметрия конвертов до открытия;
(2) заведомо известная предпочтительность обмена конвертов после открытия.

В чем конкретно видится это противоречие? Исследователи парадокса ссылаются на интуитивно очевидный принцип доминирования. Суть этого принципа в следующем. Пусть имеются две альтернативы A и B, а также полная группа несовместных событий E. Принцип доминирования гласит, что если B строго предпочтительнее A в случае наступления любого события из множества E, то B строго и безусловно предпочтительнее A. (Разные авторы по-разному формулируют и называют этот принцип, но суть одна и та же).

Принцип доминирования вместе с фактом (2) вступают в конфликт с соображением (1). Действительно, какая бы сумма ни лежала в первом конверте, наш критерий принятия решения устанавливает отношение строгого предпочтения второго конверта над первым. Это является достаточным условием для применения принципа доминирования. Применяя указанный принцип, мы приходим к выводу о безусловной (априорной) предпочтительности второго конверта над первым. Но это противоречит априорной симметрии конвертов.

Принцип доминирования выглядит очень правдоподобно. Тем не менее, в данном случае он ложен. Чтобы убедиться в этом, достаточно задаться вопросом: какой фактический смысл мы вкладываем в понятие "предпочтительность", говоря об условной предпочтительности и о безусловной.

Автор: nik_vic 22.1.2012, 12:17

Принцип доминирования остаётся незыблемым. Обнаружив в первом конверте 22, для второго имеем 11 либо 44, и в первом случае менять-то не следует.
"Парадокс" возникает из-за расширенного комплекса блондинки - ну, той, которая приписывает равные вероятности противоположным событиям. Случайно обозначив конверты как А и В, мы действительно имеем "симметрию" для К(А)>K(В) и К(А)<K(В). Однако это не означает, что симметрия сохраняется для апостериорных вероятностей, когда появляется Х=К(А).

Автор: snav 22.1.2012, 17:40

1. Мы не можем обнаружить 22, 11 или 44, там могут быть только 1, 10, 100, 1000 и т.д.
2. Существуют разные виды доминирования. Вы говорите о доминировании стратегии с точки зрения фактического выигрыша. Этот принцип доминирования действительно не нарушается, но к парадоксу он не имеет отношения. Нас интересует доминирование стратегии с точки зрения рациональности принятия решения в условиях риска, когда предпочтительность решения в каждом отдельном случае определяется ожидаемой ценностью. Возможно, я не достаточно четко расписал это в предыдущем посте, поэтому немного его подкорректировал (надеюсь, теперь будет понятнее).


Это относится к исходной версии парадокса, которую мы уже не рассматриваем.

Автор: nik_vic 22.1.2012, 21:53

И где же здесь парадокс? Кстати, можно обойтись и без распределения. Такой сюжет вполне эквивалентен предложению сыграть в "кривую орлянку", если в конверте обнаружилось более 1уе. С вероятностью 1/3 сумма удесятиряется, 2/3 - уменьшается в 10 раз. И что?

[Отредактировал сообщение. Причина редактирования - оверквотинг (чрезмерное цитирование).]

Автор: snav 24.1.2012, 18:40

Обозначим суммы в конвертах А и B. Парадоксальность ситуации состоит в том, что (1) мы заранее, даже не открывая конверт A, точно знаем, что открыв A, в любом случае предпочтем B, и в то же время (2) пока мы не откроем A, мы не вправе предпочесть B. Обратите внимание, речь идет не о количественном сравнении альтернатив, а лишь об установлении отношении предпочтения между ними (т.е. лишь о знании факта предпочтения B над A), которое не требует количественной оценки. Поразительно, что даже отношение предпочтения мы не можем перевести из апостериорного в априорное. Не знаю как вам, а мне это обстоятельство кажется очень удивительным даже сейчас.


Это совсем не то.

Автор: snav 24.1.2012, 19:21

Дитрих и Лист (F.Dietrich, Ch.List) приводят очень убедительный, на мой взгляд, контрпример. Они показывают, что парадокс не связан ни с бесконечным матожиданием, ни с критерием максимума ожидаемой ценности. Аналогичный парадокс может возникать с разными критериями выбора, причем даже в реальной игре (где количество денег в банке организаторов ограниченно).

Многим не нравится критерий выбора по ожидаемой ценности. Хорошо, заменим этот критерий на максимин (синица в руке), т.е. из двух альтернатив будем выбирать вариант с наибольшим минимально гарантированным выигрышем. Пусть суммы в конвертах A и B являются независимыми случайными величинами с одинаковым распределением, причем 0<A<1000 и 0<B<1000. Конверт А у нас в руках. Нужно решить: оставляем мы его себе или меняем на другой. Соображение симметрии указывает на равнозначность конвертов, а максимин после открытия конверта всегда говорит о предпочтительности A. Как видим, парадокс снова имеет место, несмотря на то, что матожидание сумм в конвертах теперь конечно. Если применить другой критерий выбора — максимакс, то снова получим парадокс, только с предпочтением второго конверта.

Автор: De_Bill 26.1.2012, 15:57

Минимакс и максимакс совсем уж неестественные способы принятия решений(пример это иллюстрирует). А если взять матожидание то с этим примером все кок.

Автор: snav 26.1.2012, 17:22

Пример иллюстрирует совсем другое: что парадокс может возникать с разными критериями принятия решения и не обусловлен бесконечным матожиданием. А насколько естественны упомянутые критерии - это уже к делу не относится. Кстати, в условиях неопределенности (т.е. когда неизвестны вероятности исходов) максимин используется довольно часто.


Никто и не обещал, что с матожиданием здесь будут проблемы. Пример был специально адаптирован авторами под максимин.

Автор: 0 26.1.2012, 22:18

Вы опять вертитесь вокруг стратегий. Но проблема ( а точнее отсутствие ее ) не в стратегиях.
Выбирая конверт нам сразу становится выгоднее его поменять.
Но дело не в самом выборе а в информации которую мы получаем из выбора.
Эта информация разная в каждом конверте и негативна по отношению к выбранному конверту.
Что парадоксального в том что получая разную информацию мы делаем разные выводы?
Да мы заранее знаем что информацию которую мы получим будет негативна, но из множества возможных информаций нельзя выбрать наименее плохую.

Автор: Loban 16.2.2012, 13:02

Нерешенная задача "Больше/меньше" заставила обратиться, как мне кажется, к "первоисточнику". Не могу сказать, что многое из прочитанного понятно, но ответы Snav'a на заданный вопрос привели в ступор.
Как по мне, так играть очень даже стоит, а предложенная задача гораздо проще исходной. МО удачи = 0.5*N-0.5*N/2=0.25*N. В рулетку играют с много меньшими шансами на успех. Может я что-то не так понимаю?
Вопрос поднимался более 2-х лет назад, с тех пор что-то изменилось? Как по мне, так ТВ не та наука, в которой это возможно.

Автор: Loban 16.2.2012, 15:44

Давайте попробуем. Как? В задаче "Больше/меньше" предлагают зафиксировать конверты, сотне ММ сделать выбор. "А дальше устремляем СТО к плюс бесконечности и смотрим на предел отношения." Поехали!
В одном конверте в 10 раз больше, чем в другом. Пусть 10 и 100.
1. N ММ случайным образом выбирают конверт и меняют его. Средний выигрыш = 55.
2. N ММ случайным образом выбирают конверт и не меняют его. Средний выигрыш = 55.
Вывод: менять конверт совсем не обязательно. Если найденное ранее МО, подсказывает иначе, то давайте вспомним о том, что практика - критерий истины.

Ошибка в п.1. МО, подсказывающее замену конверта найдено для игры Powered by Java. Парадокс двух конвертов - другая задача. Для выигрыша в ней МО надо считать иначе. Не спрашивайте как, но не так.

Автор: OlegCh 24.2.2012, 9:45

Теория относительности. Два летящих навстречу космонавта меряются пиписьками. Вот где парадокс так парадокс!


Здрасьте! Тут уже 10 страниц все друг друга только и спрашивают - КАК?

Автор: cmtx 12.6.2012, 22:05

онтоле звонить не пробовали? :trollface:

попробую для кого-то подлить масла в огонь, а для кого-то приоткрыть занавес)
допустим в одном конверте x денег, а в другом - 2x
если мы открыли первый конверт, то мы не понимаем, x там или 2x, но определённо, что-то одно из двух с вероятностью 50%
так же мы знаем, что матожидание количества денег во втором конверте 1.5x
с вероятностью 50% x = 2 а так же c вероятностью 50% x = 4. тогда матожидание количества денег во втором конверте с вероятностью 50% будет 3, и так же с вероятностью 50% будет 6, а в среднем 4.5, что является ровно половиной матожидания суммы денег в двух конвертах (4+8 или 4+2). так как матожидание суммы равно сумме матожиданий то очевидно, что среднее матожидание для первого конверта будет тоже 4.5. дело в том, что когда мы открываем один конверт, то в нём с вероятностью 50% будет меньше денег, чем 4.5 а значит во втором матожидание будет больше. и фишка в том, что всегда, когда мы открываем первый конверт и видим 4, мы принимаем за аксиому то, что там денег меньше, чем 4.5, т.к. их там действительно меньше и всегда будет меньше, но вероятность 50% =)
другими словами если мы предложим миллионам людей 2 конверта и разрешим менять выбор, а другой такой же по размеру группе предложим те же конверты и не будем разрешать, то обе группы в среднем у нас заберут одинаковое количество денег. с другой стороны, если перед нами миллионы пар конвертов, причём в каждом первом конверте будет лежать одна и та же сумма, то надо всегда выбирать второй конверт где с вероятностью 50% будет в 2 раза больше денег, а с вероятностью 50% - в 2 раза меньше. если сумма каждый раз случайная то менять выбор по большому счёту не имеет смысла, т.к. матожидание суммы денег во вторых конвертах стремится к матожиданию суммы в первых. этим и объясняется абсурдность замены решения в случае, когда мы не знаем, сколько денег в одном из конвертов.

Автор: 0 12.6.2012, 23:52

Ну уже в первом абзаце вы обсчитались и неправильно нашли матожидание 1.5х а должно быть 1.25х
В следующем вы вообще потеряли неизвестную и соответственно весь абзац не имеет смысла.
Последний абзац у вас неожиданно не связан с предыдущими и поэтому и ошибки там независимые:
ваша ключевая фраза "матожидание ... стремится к матожиданию ..." бессмысленна т.к. матожидание это число оно никуда не стремится.

А вообще лучше прочесть предыдущие страницы - там говорилось например о невозможности положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.

Автор: cmtx 13.6.2012, 0:17

это как? если с вероятностью 50% x и с вероятностью 50% 2x, то 0.5*x+0.5*2x = 1.5x

не понимаю, о какой неизвестной идёт речь.

я оговорился. предел суммы (матожидание) денег в первых конвертах равен пределу суммы денег во вторых конвертах при количестве конвертов, стремящемуся к бесконечности.

возможно. при конечном числе конвертов.
повторюсь, что:
1. наша задача в случае, когда мы увидели один конверт, и хотим поменять своё решение, эквивалентна задаче в случае, когда перед нами бесконечное (или ограниченное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт с одной и той же суммой. тогда мы всегда должны менять решение.
2 случай, когда мы не знаем, сколько денег в каком конверте, то менять выбор заранее не имеет смысла, так как этот случай эквивалентен тому, когда перед нами бесконечное (только бесконечное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт со случайной суммой. тогда менять выбор будет бессмысленно, так как предел суммы в первых конвертах будет равен пределу суммы во вторых.

это логически следует из того, что я сказал. хотя, вроде бы это следует из самого условия (т.е. более понятно)

Автор: 0 13.6.2012, 17:40

С вероятностью 50% это меньший конверт и во втором вдвое больше, и с такой же вероятностью это больший конверт и во втором вдвое меньше 50%*2x+50%x/2.

Пропущенная неизвестная - сумма увиденная в первом конверте.

И еще раз! Нельзя положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.
Конвертов тут два. Про какое конечное число конвертов вы хотели сказать я не знаю.

Автор: cmtx 13.6.2012, 19:01

в конверте лежит всего две суммы. одну можно обозначить за x, а другую за 2x.
этих переменных достаточно

я имел в виду конечное число опытов.

сегодня мне пришли в голову ещё кое-какие мысли.
например.
мы выбрали первый конверт. но на самом деле не важно, выбрали ли мы его изначально или перешли к нему от второго конверта, независимо от суммы, которая там лежала. аналогично мы двумя путями могли открыть второй конверт. поэтому, в среднем мы будем получать одинаковое количество денег, независимо от того, будем мы менять выбор или нет.
или так: мы увидели конверт, в котором 4 бакса, например. значит мы имеем дело с парой 4-8 или 4-2. в случае, когда мы бы натыкались на пару 4-8 мы в среднем выигрывали бы 6 баксов, независимо от того, меняли бы выбор или нет. аналогично, наткнувшись на 2ю пару, мы выигрывали бы 3 бакса, независимо от того, меняли бы выбор или нет. т.к. эти два случая равновероятны, то мы бы выигрывали в среднем 4.5 бакса независимо от того, меняли бы выбор или нет. интуитивно можно подумать, раз сейчас в конверте 4 бакса, а наше матожидание в любом случае больше, то почему бы не поменять выбор? однако, мы сейчас могли бы оказаться в ситуации, когда уже поменяли выбор, расчитывая на повышение результата. как мы понимаем, такое действие приводит к поглощению нашего возможного выигрыша в матожидании. аналогично, симметричная ситуация (т.е. наша) будет приводить к такому же поглощению.
повторюсь, уже в какой раз, правда, немного в другой форме. когда перед нами 2 закрытых конверта, мы полагаем, что там возможны все возможные варианты пар сумм денег. поэтому матожидание от выбора или смены выбора будет одним и тем же, если вообще будет определено. когда же мы открываем один конверт, то все возможные варианты усекаются до двух случаев. если бы мы изначально знали, что будут именно эти два случая, то мы бы точно знали заранее, когда нужно менять выбор, а когда нет. то есть, в корне меняется условие.
в частности, в сообщении №9 предложено экспоненциальное распределение. пока мы не вскрыли ни один конверт, матожидание одно. и его можно подсчитать. когда мы вскрываем, то матожидание другое. однако, при вскрытии большого числа пар конвертов с таким распределением мы получим в среднем изначальное матожидание, независимо от того, меняли мы выбор или нет.

зы. в задаче требуется найти ошибку в рассуждениях. она известна вообще кому-нибудь, хотя бы топик стартеру?

Автор: SusAnna 13.6.2012, 19:31

Вы открываете конверт и видите там 100 р. Значит в другом конверте может быть либо 200 либо 50р, мат ожидание 250/2 = 125р = 1,25*х

Автор: cmtx 13.6.2012, 19:35

это если за x мы принимаем сумму в первом конверте.
если за x принимать сумму в меньшем конверте, то матожидание будет 1.5x. и это матожидание относится к любому выбору.

кажется, имеет место такая вещь. что при, например, экспоненциальном распределении мы чаще всего увидим сумму, меньшую, чем матожидание для этого распределения. поэтому, матожидание для суммы в другом конверте должно быть больше, чем в первом, однако меньше, чем матожидание самого распределения. таким образом, поменяв выбор мы повысим своё матожидание только в относительном плане, но не в абсолютном. т.е. проведя множество опытов мы так и не сможем улучшить своё общее матожидание.

Автор: 0 13.6.2012, 21:02

Забавно!

Напомнили рассуждения одного булгаковского персонажа об Энгельсе с Каутским

Если что-то взять и поделить то это не всегда будет матожиданием.
Понимаете матожидание всегда определяется для случайной величины.
Так вот сначала формулируете где у вас случайная величина и какая информация вам известна и только потом считаете МО. Тогда не придется искать среднее арифметическое матожиданий и искать зависимость неизвестно чего от суммы в меньшем конверте.

Автор: cmtx 13.6.2012, 21:41

=) кот Шрёдингера какой-то получается)
вобщем, я считаю, что менять выбор нет смысла.
допустим, мы проведём много опытов и будем всегда в них менять решение. среди этих опытов можно выделить бесконечное множество классов. опыты, в которых в первый раз мы увидели 4 бакса, мы относим к одному классу. доля опытов в каждом классе будет различной. наша ошибка в том, что мы считаем матожидание в контексте каждого класса. где смена нашего выбора всегда будет улучшать результат. если считать матожидание в контексте всех классов, т.е. всех возможных опытов, то смена выбора не даст результата.
проблема в том, что в условии задачи опыт одновременно принадлежит и своему классу и всему множеству. когда мы начинаем считать вероятность для класса данных опытов, мы забываем про изначальное распределение, что ведёт к ошибке в рассуждениях.

Автор: Доцент 13.6.2012, 21:56

Уже было





Но, тем не менее. Если существует стратегия, позволяющая угадать с вероятностью больше 50% большая или меньшая сумма в другом конверте, то почему бы ее и не применить? Т.е. иногда следует и поменять выбор.

Автор: Azol 24.10.2012, 21:12

ИМХО, здесь проблема в следующем: вопрос испытания - выигрыш или проигрыш в деньгах при выборе второго конверта и, понятно, вероятность любого исхода равна 50%.
Попытка посчитать матожидание суммы во втором конверте исходит из необоснованного предположения, что у нас есть два испытания - с суммами х*2 и х/2. Испытание же у нас только одно (в одну реку дважды не войдешь) - открытие второго конверта. Поэтому матожидание здесь вообще считать некорректно.

Автор: UNDEFEAT 24.10.2012, 21:35

А матожидание числа выпавшего на кубике тоже посчитать нельзя?
Эксперимент же 1, а не 6

Автор: Azol 25.10.2012, 17:39

Угу, только кубик можно кидать сколько угодно раз, а "второй" конверт по условию только один - его два раза не откроешь.

Автор: UNDEFEAT 25.10.2012, 17:44

Конверт можно открывать сколько хочешь раз, каждый раз заново повторяя эксперимент.

Автор: Azol 25.10.2012, 18:04

Только сумма в конверте может быть "либо-либо".
Кидая кубик с матожиданием 3,5 ты 3,5 никогда не выкинешь, т.к. на кубике нет такого числа.
Имея два неоткрытых конверта матожидание выигрыша равно 3/2 * х при выборе случайного конверта.
Если вводится условие возможности открытия второго конверта, то вариантов 3:
1 - оставляем себе сумму из первого конверта, второй не открываем (выигрыш х)
2 - открываем второй конверт и получаем 2х из него
3 - открываем второй конверт и получаем 0,5х из него.

Здесь решение принимается случайным образом - открываем второй конверт или нет (50-50). Варианты исхода 2 или 3 равновероятны, т.е. 25-25.
Матожидание этого безобразия (если я еще не сошел с ума в конце дня) = х/2 + (0,5х + 2х)/2 = 1,75х.

Тот факт, что во втором случае матожидание повысилось относительно первого случая (1,5х), показывает, что условия эксперимента изменились и в него заложена вероятность того, что во втором конверте может оказаться большая сумма, чем в первом.

Не вижу тут никакого парадокса.

Автор: UNDEFEAT 25.10.2012, 18:13

Это вообще к чему?
Возьмите кубик 2 4 6 8 10 18. Тут матожидание 8.
Можете вообще не кубик взять.

Автор: Azol 25.10.2012, 20:22

Так со всем остальным Вы согласны?
(А насчет кубика воспринимайте как лирическое отступление.)

Автор: UNDEFEAT 25.10.2012, 21:48

Вы не внимательно читали первый пост.
ВОПРОС: где ошибка в рассуждениях?

А чему равно х?




Где здесь? Почему равновероятно? Вы, видимо, не внимательно читали первый пост.

Автор: Azol 26.10.2012, 10:23

Я-то читал внимательно:

"По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$"

Т.е автор поста посчитал это матожидание, исходя из равной вероятности обоих исходов (коэффициенты 1/2).

А теперь давайте так: эта задача подается как парадокс: есть ситуация, должно вроде быть "результат А" а на деле оказывается "результат Б".

Сформулируйте, пожалуйста, для меня своими словами "результат А" - что ожидается и "результат Б" - что имеем на деле.

Потому что я парадокса в описанной задаче не вижу и подозреваю, что и Вы его описать не сможете.

Автор: UNDEFEAT 26.10.2012, 11:55

В первом посте вы перешли по ссылке на "Сообщение 9" схожей темы? Почитайте там дальше.

Автор: Azol 26.10.2012, 15:00

Да забудьте про кубик.
Я сформулировал вопрос (вполне законный) - в чем, на Ваш взгляд, состоит парадокс задачи? В первом топике есть слова "Но это противоречит интуитивной симметрии задачи", при этом не поясняется, что такое "интуитивная симметрия" и пр. Я никакой "интуитивной симметрии" здесь не вижу, и никакого противоречия тоже.
Давайте тогда уж к словам автора задачи придеремся, а не к моим? Потому что если задача сформулирована неудачно (ссылки на интуицию автора), то чего Вы ожидаете от ответов? Парадокс задачи в том, что интуиция автора подвела

Автор: UNDEFEAT 26.10.2012, 17:22

Я забыл про кубик давно.
Повторяю: ознакомьтесь с темой разговора.

Автор: snav 27.10.2012, 9:39

Azol
Возможно, вам будет более понятна такая формулировка:

Перед вами два одинаковых запечатанных конверта. Вам сообщили, что в обоих конвертах находятся деньги и что в одном конверте сумма в два раза больше, чем в другом, однако где именно больше — вы не знаете. Вам разрешено взять любой из этих конвертов и оставить себе всю сумму, которую вы в нем найдете. Вы наугад берете в руки один из конвертов, но, прежде чем вы его откроете, ваш спонсор предоставляет вам право поменять конверт. Как вам лучше поступить: оставить себе выбранный конверт или согласиться на обмен?

Вы можете рассуждать следующим образом: "Предположим, что мне разрешили заглянуть в конверт, находящийся у меня в руках, и я обнаружил в нем 100 долларов. Поскольку я выбрал этот конверт случайным образом, то в другом конверте с равной вероятностью может оказаться 50 или 200 долларов. Поэтому математическое ожидание второго конверта составляет 50/2 + 200/2 = 125 долларов. Значит, поменяв конверт, я в среднем выиграю 125 долларов, а сохранив свой первоначальный выбор — только 100 долларов. Поэтому конверт лучше поменять. Аналогичные рассуждения я могу повторить для любой суммы, которая гипотетически может оказаться в моем конверте, и приду к тому же выводу, что замена конверта увеличивает математическое ожидание выигрыша на 25%. Получается, что, какая бы сумма ни находилась в моем конверте, я должен согласиться на обмен. А раз так, то для принятия решения мне не требуется узнавать, сколько на самом деле денег у меня в конверте. Я в любом случае должен взять другой конверт". Таким образом, вы приходите к выводу, что конверт нужно поменять. Но это явный абсурд, ведь имеющаяся у вас информация о конвертах идентична. Где ошибка в рассуждениях?

Это классический вариант парадокса. Усиленный вариант (см. http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=27892) отличается тем, что задано априорное распределение, по которому формируются конверты, и там матожидания имеют другие значения.

Автор: semiSvetik 14.12.2012, 20:44

Snav все время делает упор на "найдите ошибку"

Ошибка вот в этом самом "...то в другом конверте с равной вероятностью...". Нет, не с равной вероятностью. Если коротко, то условное распределение не обязано должно совпадать с безусловным. Если детальнее (вернее, поплярнее), то можно рассмотреть примеры конкретных вероятностных схем, на которых этот логический переход и не работает.

Пример 1. Дискретная схема. Пусть (только для упрощения рассуждений) у нас есть всего три возможных монеты (1, 2 и 4 мегарубля) и монеты настолько большие, что в конверт помещается только одна монета. Согласно условию в двух конвертах равновозможны такие пары: (1,2), (2,4). Открываем первый конверт... думаю, продолжение очевидно - мы точно будем знать, что во втором конверте, и нужно ли нам менять выбор. Этот же вывод легко обобщается на случай любого числа любых монет и любого их возможного количества в каждом из конвертов.

Пример 2. Непрерывная модель. Если общая сумма всех денег конечна и деньги можно делить на любые дробные части (копейка, 1/10 копейки, 1/100 и т.д.), то случайные величины X, Y (суммы денег в двух конвертах) образуют случайный вектор (X,Y) с некоторым непрерывным распределением на квадрате [0;M]x[0;M] (М - сумма всех возможных денежных средств на планете). Если быть совсем точными, то [0;M]x[0;M] - это не совсем область возможных значений вектора (так называемый носитель распределения), ведь по условию все возможные точки (X,Y) должны быть расположены на двух прямых: y=2x и x=2y, т.е. носителем распределения будут два отрезка: OA и OB, где O(0,0), A и В - точки пересечения прямых y=2x и x=2y с прямой x+y=M. Дальше все то же самое: информация о сумме в первом конверте (каким бы ни было упомянутое безусловное распределение на отрезках ОА и ОВ) меняет информацию (условное распределение) о сумме во втором конверте.

В любых смешанных моделях будет этот же эффект: если в первом открытом конверте обнаружена сумма, близкая к бюджету страны (или, скажем, к денежной массе всей планеты), то эта информация МЕНЯЕТ распределение денежной массы во втором конверте - там ТОЧНО БУДЕТ МЕНЬШЕ. И наоброт, если в первом конверте сумма близка к нулю (1 копейка, например), то во втором конверте ТОЧНО БУДЕТ БОЛЬШЕ.

Автор: semiSvetik 14.12.2012, 20:55

По поводу сообщения № 9, на которое ссылается snav как на более продвинутый вариант условия. Условие неверное. Если наборы сумм (1,10), (10,100), (100,1000)... бесконечны, то имеем проблему конечности общей денежной массы, а если наборы конечны, например (1,10), (10,100), (100,1000) с соответствующими вероятностями 1/2, 1/4 и 1/4, то при обнаружении в первом конверте 1 или 1000 вывод о смене конверта делается однозначный. Не намного сложнее и с обнаружением 10 и 100. Никакого парадокса, никаких проблем

Автор: semiSvetik 14.12.2012, 21:06

И последнее. Если кто-то и сможет придумать стохастичесикй эксперимент, максимально соответствующий условию про 50/50 во втором конверте после выбора первого, то это будет что-то, эквивалентное тому, что после того, как взят в руки первый конверт, во второй положат или половину, или в два раза больше того, что лежит в уже выбранном конверте. Но тогда парадоксальность пропадет автоматически, т.к. снова-таки будет ясно, как лучше поступить. А уж каким критерием каждый будет пользоваться (считать матожидание, надеясь часто играть в эту игру, или просто взвесит для себя ценность возможной потери и сравнит ее с ценностью возможной дополнительной выручки) - это личное дело игрока

Автор: snav 15.12.2012, 15:05

Да, это первая ошибка. Но есть и другая. И эта другая ошибка приводит нас к усиленному варианту парадокса в сообщении #9.


semiSvetik, это не финансовая задача из реальной жизни, а логико-математический парадокс. Постарайтесь абстрагироваться от второстепенных деталей и взглянуть на проблему с чисто математической точки зрения. Процитирую Чалмерса: "Некоторое затруднение, не существенное для парадокса, но отвлекающее внимание, происходит из-за того факта, что в реальном мире деньги существуют в дискретных количествах (доллары и центы, фунты и пенсы) и что известны пределы мировых денежных ресурсов. Мы можем устранить это затруднение, условившись, что для целей парадокса суммы в конвертах могут быть любым положительным действительным числом".

P.S.
Кстати, давно собирался исправить ошибку в сообщении #9, но лень было. Сейчас переписал всю первую часть. Раньше было написано, что, приняв допущение о равенстве апостериорных вероятностей, мы тем самым посчитали распределение сумм в конвертах равномерным на множестве положительных чисел. Это неверно. При равномерном распределении (если бы оно существовало) апостериорные вероятности не были бы равны 1/2.

Автор: semiSvetik 15.12.2012, 19:23

С математической? Ок. Но сначала, snav, скажите, в усиленном варианте парадокса
а) какое будет среднее значение суммы в том первом конверте, который мы берем?
б) мы первый конверт открываем до того, как делаем выбор между первым и вторым конвертом?

Автор: snav 15.12.2012, 19:37

semiSvetik
а) Если вы имеете в виду безусловное матожидание, то оно бесконечно (ряд расходится к бесконечности).
б) Существуют два варианта рассуждений: 1) мы реально открываем первый конверт, а затем делаем выбор, 2) мы мысленно представляем, что открыли первый конверт, но на самом деле оба конверта закрыты. По сути это эквивалентные задачи. Лично мне больше нравится второй вариант (там парадоксальность более наглядна), но можно решать любой.

Автор: semiSvetik 15.12.2012, 20:45

Я не зря задала именно эти два вопроса. Если мы конверт не открываем, то усреднять содержимое второго конверта нужно не по "некоторому фиксированному" значению перового, а по усредненному (т.е. усреднять по всем возможным элементарным следствиям), но тогда мы сравниваем две бесконечности, и говорить, что одна больше, чем другая, смысла нет.
Если мы открываем первый конверт, то в нем уже фиксированная сумма, которую мы видим, и именно с ней будем сравнивать среднее значение во втором конверте. Тогда вывод вполне логичный о том, что менять надо.
Никаких парадоксов
Да нет, я, конечно понимаю, что следующим Вашим вопросом, snav, будет ... или не будет?

Автор: snav 16.12.2012, 4:59

Я же не проверяющий, чтоб задавать вопросы. Не хотите вникать в суть задачи - воля ваша.

Автор: semiSvetik 16.12.2012, 17:47

Если бы не хотела - не продолжала бы эту тему. Я имела в виду, что два мои предыдущие ответа с одной стороны "полностью" объясняют этот парадокс, но с другой стороны есть один-единственный вопрос, который может показать "несостоятельность" этих моих объяснений. Без этого вопроса парадокс как-бы исчерпан Вопрос звучит так: если конверт не открываем, то нет смысла менять конверт, если открываем, то обязательно меняем конверт, НО почему меняем, если это не зависит от того, чтО увидим в конверте (слово "обязательно" в этом предложении), т.е. должно быть аналогично тому, что мы не открывали конверт, а для неоткрытого менять не надо? Вот об этом вопросе я говорила. Логика общего ответа (как я его вижу) такова: если не знаем, от чего отказываемся, то нет смысла менять шило на мыло, а если знаем, то можем принимать уже осмысленное решение, т.е. есть с чем сравнивать. Т.е. как только мы открыли первый конверт, мы уже рассматриваем другую оптимизационную задачу (т.е. целевая функция осталась, но условия поменялись). Если конверт не открыт, то максимум может быть достигнут с равными вероятностями к в первом, так и во втором конверте, а если открыт, то вероятности уже не равные. Мы же в парадоксе, не открывая первый конверт, на самом деле делаем вид, что открываем его, делая предположение "представим, что в выбранном первом конверте 10^n денег" (тем самым меняем условие задачи на лету). А потом говорим, что во втором конверте "в среднем" больше денег. Больше при каком условии? При фиксированном n, а если n неизвестно, то усреднять нужно и по нему тоже - в результате получим, что мы сравниваем две бесконечности (это все равно, что сказать, что целых ненулевых чисел больше, чем натуральных, в два раза). Просто так их сравнивать нельзя.
Многа букафф получилось, т.к. я пыталась тремя разными способами выразить одну и ту же мысль в надежде, что одна из формулировок окажется более понятной.

Автор: nik_vic 17.12.2012, 20:37

Посмотрите с этой точки зрения на разные стратегии двух "счастливчиков" в условиях, когда (неизвестное) распределение лишено неприятностей, связанных с бесконечностью. Первый смотрит и потом принимает решение поменять, второй меняет, не открывая.

Именно, в мешке - конечное число пакетов, каждый содержит два конверта с суммами, отличающимися в два раза.

Автор: snav 19.12.2012, 18:47

Ваши рассуждения напомнили мне Лису Алису, когда она делила с Котом Базилио пять золотых: "Пять на два не делится. Попробуем разделить на пять. Получается один. Получай, Базилио, свой золотой". Так же и у вас: "В среднем больше при фиксированном n. Но n мы не знаем. Давайте усредним по всем числам. Получаем бесконечность. Бесконечности сравнивать нельзя. Парадокс исчерпан". ))))

Автор: semiSvetik 23.12.2012, 23:56

Нет, не "давайте усредним", а "нужно усреднять". А это, как говорят в Одессе, - две большие разницы.

Автор: snav 24.12.2012, 16:28

semiSvetik
Разумеется, я немного утрировал ваши слова. Я просто хотел сказать вам, что в ваших рассуждениях не видно логики.

Автор: 4i3 16.4.2013, 0:42

Для любителей искать физический смысл матожидания обычно объясняют так: это средний результат для большого числа экспериментов. Для кубика 3,5 соответствует тому, что сумма очков при большом количестве бросаний будет примерно такой же, как если бы на всех гранях было 3,5.

В обновленном варианте (сообщение #9) устранено несуществующее равномерное распределение на бесконечном промежутке, но осталась "несуществующая" (абстактно-математическая) случайная величина с бесконечным матожиданием. Т.е. при большом количестве экспериментов (не важно, в параллельных вселенных или повторенных последовательно бесконечно богатыми организаторами) в среднем в первом конверте будет бесконечно баксов. Поэтому бессмысленно менять эту бесконечность на пол-бесконечности или бесконечность*2.

"Обнаружив в первом конверте совершенно конкретную конечную сумму..." СТОП! если существует этот самый бесконечно щедрый орг, то в первом конверте вы должны регулярно (ну хотя бы иногда) обнаруживать бесконечную суму, иначе вас дурят .

Расходимость в новом условии обеспечивается более быстрм ростом экспоненты 10^n по сранению с убыванием вероятности (1/2)^n. Вероятность обнаружить бесконечную сумму бесконечно мала, но при этом матожидание бесконечно (=ожидаем в среднем накопить бесконечность при повторении опытов).

В этом мне видится противоречие в условии (даже обновленном). Так же как не имеет смысла "бесконечно-равномерное распределение", не имеет право на существования случайная величина с бесконечным МО (согласен с alan'ом по поводу пересмотреть акиоматику)

Вопрос выгодно/невыгодно можно разрешить, только повторяя экспериминт многократно. Т.е. статистически проверить можно теоретические выкладки (на миллионе участников - обоготятся или нет, меняя по сравнению с контрольным миллионом, которые не меняют). Но эксперимент даст сравнение бесконечности с бесконечностью, если честно провести его строго с условием задачи, и предположив, что данная случайная величина и неограниченная финансами всепленная существуют.

ИМХО: парадокс отсутствует, поскольку:
- или не существует такой случайной величины (если постулировать это)
- или, если все же существует, в первом конверте (иногда) бесконечность, поэтому сравнивать со вторым с точки зрения выгоды бессмысленно.

Автор: 4i3 16.4.2013, 7:45

И еще подумал: В новом варианте по сравнению с классическим денежная масса бесконечна, но дискретна.
Т.е. продолжение "право" есть (1и 10, 10 и 1000, ...), а "влево" нету (0,1 и 1, 0,01 и 0,1 ....) - иначе суммарная вероятность не сойдется к 1. Если продолжить влево, то вероятность каждой пары должна стремиться к нулю, как и в случае с несуществующим равномерным распределением на бесконечном промежутке.
Таким образом, в новом варианте стратегии "по-любому менять" или "менять-вообще-не-глядя" совсем не то же самое, что стратегия "Открыть конверт и менять, только если там 1 доллар". Ведь 1 доллар увидят в среднем 25% игроков.
В популярном варианте парадокса с двумя игроками, которые могут поменяться только по ОБОЮДНОМУ согласию, если оба все время меняются, никто не в плюсе в силу симметрии, а если один используют стратегию "менять только 1 доллар", а второй "не менять вообще и не смотреть вообще, потому как все равно симметрия", то первый вроде как подымется. Т.е. "менять всегда" работает только благодаря этому случаю, когда видим 1 доллар (а случай при заданном распределении не такой уж и редкий)

Автор: OlegCh 16.4.2013, 7:50

Мне кажется, пора установить истину практикой, ибо она критерий её... ))
Почему бы не смоделировать эксперимент на компе с двумя участниками - один будет постоянно менять конверты, другой нет. Ну и посмотреть кто в итоге окажется богаче при миллиарде (к примеру) таких операций...

Автор: John777 16.4.2013, 8:05

Ды, хоть при миллиарде миллиардов операций результат будет случайным (он будет отличаться от одной серии генераций к другой), т.к. заданная случайная величина не имеет мат. ожидания. Среднее по выборке сходится к мат. ожиданию, только если оно существует! (где ты, Капитан Очевидность? )

Автор: snav 16.4.2013, 19:12

Строго говоря, это неверно. Отчасти именно благодаря этому заблуждению существует данный парадокс. ))


Не совсем так. Рассмотрим статистическую версию парадокса, которую рассматриваете вы (игра повторяется много раз). Пусть X и Y - количество денег в первом и втором конверте в отдельном раунде игры. Когда мы говорим о выгодности обмена, мы должны сравнивать не математические ожидания M(X) и M(Y), а фактические суммы, которые вы получите на руки при разных стратегиях поведения. Ведь согласитесь, что как игрока вас интересует не абстрактное математическое ожидание выигрыша, а реальное количество денег, которое вы унесете с собой по сумме всех игр. В каждой отдельной игре случайные величины X и Y принимают некоторые конкретные значения x и y. Эти значения являются обычными натуральными числами, т.е. в конверты каждый раз кладутся вполне определенные (конечные) суммы денег. Иногда ошибочно думают, что числа x и y могут быть бесконечно большими. Но это не так. В классической математике, которой мы пользуемся, нет понятия "бесконечно большое число", так же как нет понятия "конечное число". Числа могут быть сколь угодно большими и сколь угодно малыми, но они всегда остаются нормальными числами, с которыми можно выполнять все обычные математические операции. Бесконечными и конечными бывают множества чисел, но к парадоксу двух конвертов они не имеют отношения. Что же касается бесконечности математических ожиданий M(X) и M(Y), то это лишь формальный термин, под которым подразумевается расходимость соответствующих рядов.

Таким образом, в каждой игре в конверты закладываются некоторые суммы x и y. По совокупности n игр мы получим n пар чисел: (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn). Очевидно, что если мы будем в каждой игре оставлять себе конверт X, наш суммарный выигрыш составит Sx = x1+x2+...+xn долларов. Соглашаясь на обмен, мы получим Sy = y1+y2+...+yn долларов. Здесь Sx и Sy — это суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых является натуральным числом, поэтому с математической точки зрения нет никаких препятствий к тому, чтобы посчитать эти суммы и сравнить их между собой, узнав, выгоден был обмен или нет. Таким образом, несмотря на то, что математические ожидания M(X) и M(Y) равны бесконечности, мы вполне можем сравнивать стратегии друг с другом.

Статистический парадокс утверждает, что при достаточно большом числе игр среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y будет больше среднего арифметического наблюдавшихся значений X, т.е. Sy/n > Sx/n, а следовательно, Sy > Sx. Другими словами, получается, что при использовании стратегии "всегда соглашаться на обмен" ваш фактический суммарный выигрыш должен быть больше. Заметьте, в наших расчетах нигде не фигурируют значения M(X) и M(Y), поэтому их бесконечность не могла повлиять на корректность полученного результата.

Ошибка в другом. В своих рассуждениях мы неявно опираемся на свойство статистической устойчивости среднего арифметического значения случайных величин, а именно: "для большого числа независимых случайных величин среднее арифметическое наблюдавшихся значений этих случайных величин приблизительно равно среднему арифметическому их математических ожиданий". В теории вероятностей это положение носит название закона больших чисел. Однако не все случайные величины подчиняются закону больших чисел, и как раз в нашем случае это закон не выполняется (это можно доказать). Поэтому с ростом числа испытаний сумма Sy не будет стабилизироваться около суммы условных матожиданий (как это имело бы место при выполнении закона больших чисел), а будет совершать неограниченные флуктуации в большую или меньшую сторону. Поэтому неверно, что в долгосрочной перспективе стратегия "всегда брать второй конверт" является более выгодной. Руководствуясь этой стратегией, мы можем по сумме игр как выиграть, так и проиграть.

Именно в этом разгадка статистической версии парадокса. Есть еще другая интерпретация парадокса - с позиции теории принятия решений при однократной игре. Там другое решение.


John777, в данном случае речь идет не о сходимости к безусловному матожиданию (которого не существует), а о сходимости к среднему арифметическому условных матожиданий (они то как раз существуют). В этом смысле все четко.


Истина очевидна и без эксперимента. Вопрос был в том, где ошибка в рассуждениях.
Мне казалось, что все уже разобрались.

P.S.
Несколько раз порывался написать подробный разбор разных версий этого парадокса, но у меня нет литературных способностей, поэтому ничего путевого не выходит. В итоге забросил эту затею.

Автор: 4i3 16.4.2013, 19:36

Жаль! Было бы здорово.

По поводу версии из сообщения #9 хотелось бы услышать, например, чем заданное распределение (с бесконечным матожиданием=расходящейся суммой) лучше равномерного распределения на бесконечном отрезке. Он посему считается несуществующим? матожидание тоже бесконечно и к тому же вероятность каждого исхода бесконечно мала. Ну и что? Представим себе такой закон - эдакакя дельта-функция Дирака, лежащая на боку, бесконечно узкая и бесконечно длинная, с интегралом=1 Такое распределенее не болеее "нереально", чем и в версии №9.

Автор: snav 16.4.2013, 20:22

1. С точки зрения решения парадокса не имеет значения, существует ли равномерное распределение на бесконечной полуоси или нет, поскольку ключевая ошибка не в распределении, а в неправильном применении закона больших чисел.

2. Между равномерным распределением (назовем его R(x)) и дельта-функцией есть существенное отличие. Дельта-функция не равна нулю при x=0, поэтому интеграл может быть отличен от нуля. Функция R(x) везде равна 0. Сумма нулей всегда равна нулю, поэтому интеграл не может быть равен 1.

3. Дельта-функция, строго говоря, тоже не является функцией. Правда, это не мешает физикам активно использовать ее в вычислениях и получать правильные результаты. )))) Можно ли получить правильные результаты, используя неправильное распределение R(x) ?... К счастью, нам нет нужды гадать на эту тему, поскольку существуют математически корректные распределения, при которых парадокс сохраняет силу. Поэтому имеет смысл рассматривать парадокс именно с такими распределениями. )))

Автор: 4i3 16.4.2013, 20:31

Распределение, может, и корректное, но уж больно "нереальное". По выражению одного из участников "с некрасивым матожиданием". Ну и назовем его "неудобным", поскольку ЗБЧ не выполняется и, как следствие, рушатся стандартные подходы к принятию решений.

Можно ли вообще обойтись без расходящихся распределений и бесконечных матожиданий? Например, сдделать увеличение суммы денег по экспоненте не 10^n, а с основанием, меньше 2. Тогда все будет нормально и "физически" реализуемо. В этом случае, правда, матожидание при обмене будет меньше суммы Х в первом конверте. Ну и пусть: переформулируем сюжет так, что игрок должен выплатить увиденную сумму и будем минимизировать убытки.

с вероятностью 1/2 в конвертах лежат 1 и 1,4 долларов
с вероятностью 1/4 в конвертах лежат 1,4 и 1,96 долларов
................
с вероятностью (1/2)^n в конвертах лежат 1.4 1.4^(n-1) и 1.4^n долларов

Тогда матожидание суммы во втором конверте около 94% от суммы в 1-ом. Т.е. выгодно менять, чтобы уменьшить расход (кроме случая, когда в 1-ом оказывается 1 доллар)

и никаких кувырков с неограничено большими флуктуациями

Автор: snav 16.4.2013, 20:40

Если на то пошло, в математике вообще нет ни одного реального объекта. Только абстракции... ))
Вас же не смущает, что у нормального распределения область возможных значений тоже уходит в бесконечность, что нереально. И в вашем примере возможны сколь угодно большие числа. ))


В статистической версии парадокса - нельзя. Парадокс возникает только при M(X)=M(Y)=бесконечность.
В версии на основе теории принятия решений можно. Выше я приводил http://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=55153.

А в вашем последнем примере нет парадокса. ))

Автор: 4i3 16.4.2013, 21:07

как нет?
...пусть в первом конверте оказалось 1,4^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 1,4^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 1,4^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание количества денег во втором конверте равно ~0,94*1.4^n, т.е. меньше суммы в первом. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять (для минимизации расходов). Для пущего драматизма рассматриваем версию с двумя игроками. Они, убедившись, что у них больше 1 доллара, радостно меняются конвертами в полном убеждении, что на 6% (в среднем) уменьшают свои расходы. Причем каждый.

Автор: John777 16.4.2013, 21:53

Хм, по формуле полного мат. ожидания среднее условных мат. ожиданий должно бы сходиться к безусловному мат. ожиданию... Так что разницы я не вижу.

Автор: snav 17.4.2013, 5:05

John777
В данном случае безусловного матожидания не существует, поэтому говорить о такой сходимости нельзя. Но сам по себе факт отсутствия безусловного матожидания еще не означает отсутствие сходимости среднего по выборке к среднему арифметическому условных матожиданий. Простейший пример: пусть в первый конверт всегда кладется меньшая сумма, а во второй - большая, закон распределения считаем прежним. M(X)=M(Y)=бесконечность, несмотря на это, выгодно каждый раз брать второй конверт и в этом случае средний выигрыш в серии игр будет стремиться к среднему арифметическому условных матожиданий (которое не равно бесконечности).

4i3
Парадокс двух конвертов состоит в том, что конверт нужно менять ВСЕГДА, независимо от содержания конвертов. В вашем примере этого нет. Если в конверте обнаружится 1, менять не нужно.

Автор: 4i3 17.4.2013, 6:30

Но в случае, если в конверте НЕ 1, обмен не может быть выгоден обоим игрокам, а по матожиданию выходит, что может..

Автор: snav 17.4.2013, 18:11

4i3
Выгодность обмена определяется фактической суммой, которую получает игрок, а не матожиданием. Большее матожидание не гарантирует, что вы получите большую сумму. Поэтому в этой ситуации нет ничего парадоксального.

Автор: 0 17.4.2013, 18:26

Почему вы считаете что не может? Таких примеров куча.

Автор: 4i3 17.4.2013, 23:41

Да, точно. протупил я
Это всё от желания уйти от бесконечностей. Ведь со времен книжки Гарднера помню классический вариант и классическое же объяснение. И тут читаю пресловутое сообщение №9 - и мир рухнул!
Хотелось увидеть в новом распеределении тот же изъян. Отсюда и попытки изобрести "не-совсем-функцию", описывающую бесконечно малую плотность вероятности на всей числовой полуоси.
Всё-таки до конца не мог поверить, что если функция распределения может быть описана, а матожидания нет, то такое распределение законно и имеет право на существование. По крайней мере бОльшее право на существование, чем бесконечно-равномерное распределение.

Правильно ли я понял суть? Представим себе организаторов этого аттракциона невиданной щедрости. Все что им нужно, это положить суммы 10^n и 10^(n+1) в конверты, для чего сгенерировать число n, используя дискретное экспоненциальное (геометрическое) распределение (1/2)^n. По сути, логарифм от денег в конверте имеет вполне конечное МО. А тот факт, что им прийдется класть в конверты не логарифмы, а баксы, это их проблемы

Автор: Browdy 25.2.2014, 23:28

Вот одна из многих статей на эту тему: http://www.syverson.org/2env.pdf

Авторы не считают парадоксом то, что в каких-то случаях (например в случае бесконечного матожидания) всегда выгодно менять конверт.

Парадоксом считается случай, когда одновременно можно доказать, что конверт нужно менять и что его не нужно менять.

Что касается игры в Сообщении 9, там действительно необходимо менять конверт в любом случае, т.к.

E(Х|Y = a) = 102a/30,

Парадоксом кажется то, что E(E(Х|Y)) = E(X) = 102E(Y)/30, а E(E(Y|X)) = E(Y) = 102E(X)/30, но тут нет ничего удивительного, т.к. E(X) и E(Y) бесконечны.

Мне кажется, предыдущее утверждение и является математической формулировкой фразы, что, даже не открывая конверты, нам выгодно менять Х на Y, а Y на Х, т.к., не открывая конверты, мы можем рассуждать только в таких терминах как E(E(Х|Y)).

То есть смущающая фраза по идее должна звучать так.

Если мы не будем открывать конверт, то в среднем (в смысле ожидания):

- условное матожидание величины денег во втором конверте будет в k раз больше величины денег в первом конверте

и одновременно

- условное матожидание величины денег в первом конверте будет в k раз больше величины денег во втором конверте

Противоречия нет, т.к. в среднем все эти величины равны бесконечности.

При этом эти рассуждения не решают парадокса в общем виде. В приведенной статье указываются другие распределения, при которых парадокс действует.

Автор: nik_vic 6.3.2014, 12:09

Противоречия нет по иной причине: 1/ и 2/ являются бессмыслицей из-за 3/.

Автор: Kuna 6.3.2014, 22:51

Было бы противоречие не было бы парадокса.

Автор: Kantemir 7.3.2014, 12:46

"Противоречия нет по иной причине: 1/ и 2/ являются бессмыслицей из-за 3/. "

Главное, что все поняли


Послушайте, а разве такой опыт является чистым, если открыть 1 конверт?

(Сам в тер.вере. несилен, но "кипит наш разум возмущенный" - точнее чувствую неправильность в этом)

Автор: сапер 7.3.2014, 15:27

Чище не бывает. Или у вас есть претензии об открытии сразу двух конвертов?
Да в нем(в теорвере) все не сильны до момента полного фиаско... Кто это проходил(реально), тот в конце концов понимает и нанимает аналитиков, просчитывающих всевозможные теории рисков
Приходилось иметь дело с мастером... Я ему: "Рассчитай", - а он: "да рассчитать не вопрос, но вот ни кто не знает как завтра плотность распределения изменится.
п.с. теорвер - гиблое дело. Всегда приходится опираться лишь на заданную плотность распределения... Либо решать более сложную задачу, включающую и моментальное изменение данных по ее(плотности) изменению.

Автор: Kantemir 7.3.2014, 17:13

Ясно)

Автор: Aquapura 7.3.2014, 20:37

Всего не просчитаешь Верно мыслите, товарищ. Они все до не знаю какой точности просчитали, а потом что-то такое случилось, чего никто из яйцеголовых считалкиных и предвидеть не мог. А отвечать за последствия кому? То-то

Автор: SlvBuz 2.4.2014, 15:02

"...Значит, поменяв конверт, я в среднем выиграю 125 долларов" - вот она ошибка в рассуждениях.
Мат ожидание не равно "в среднем выйграю" для расходящихся рядов.
Будем рассматривать случай из поста №9. (1 10 100 1000 ...)
Допустим первый человек всегда меняет выбор, а второй нет. Запишем все случаи в виде ряда.
Например 1ый увидел 10р тогда его чистый выигрыш есть 90р и в 2 раза более вероятен чистый проигрыш -9р и -9р. У второго (который не меняет) идет 2 раза выигрыш +9 и +9р и один раз проигрыш -90р.
Далее они видят 100р (этот случай в 2 раза менее вероятен, чем увидеть 10р (3/8 против 3/4)) тогда
1ый +900 -90 -90 2ой +90 +90 -900.
Составим такой (расходящийся) ряд: будем брать чистый выигрыш 1-го и вычитать из него чистый выигрыш 2-го, если сумма ряда положительна, то стратегия 1-го лучше, если сумма=0, то у них одинаковые стратегии.
Итак +90 -9 -9 -(-90 +9 +9) + 1/2 (900 -90 -90 -(-900 +90 +90)) +1/4(9000 -900-900 -(-9000 +900 +900))...
Чему равна сумма?
Теория принятия решений, а также интуитивная симметричность задачи говорит нам складывайте по 6 слагаемых, как вот они идут, так и складывайте. Мы складываем 180-4*9+1800-4*90+18000-4*900=144+1440+14400... - сумма ряда положительна, значит 1ый молодец.
Но можно сложить и по другому: посмотрим на вторую шестерку: 4 раза по - 90 взаимоуничтожатся с двумя +90 из первой шестерки, а 2 раза по полюс 900 из второй шестерки взаимоуничтожатся в 4 раза по -900 из третьей шестерки, и так далее :- сумма рада = 0 (если пренебречь краевыми эффектами).
Иными словами: первый, конечно если увидит 10 рублей один раз из трех выиграет, но 100, НО второй, не "рискуя" если увидит 100 р два раза из трех эту сотню в карман положит (правда сотню в конверте он в 2 раза реже увидит, чем 10ку), так что то на то и выйдет.
Все зависит от того, как считать сумму расходящегося ряда, а мы люди умные и на провокации про расходящиеся ряды не поддаемся. Ну и эта задача - не исключение.

Автор: msuhunter 27.8.2014, 20:37

Пусть в одном конверте X рублей, а во втором 2X рублей

Вся ошибка в рассуждениях основывается на том, что увидав, что в конверте Y денег мы считаем, что равновероятно следующее событие - либо 1/2Y либо 2Y, а на самом деле Y и X в задаче не есть одно и то же.

Формула 1/2*1/2Y+1/2*2Y не применима, так как Y у нас не фиксированное число.
В нашем случае открывание второго конверта это не случай Y/2 или 2*Y, а случай Y+X или Y-X
В этом случае имеет следующее матожидание: 1/2(Y-X)+1/2(Y+X)=Y, то есть без разницы, какой конверт выбрать

Другими словами если в конверте 2 и 4 рубля, то при выборе второго конверта у нас 2 ситуации - мы либо получим на 2 рубля больше, либо на 2 рубля меньше, то есть в общем случае наш выбор ничего не изменит. так как оставив первый конверт в общем случае мы вытащим либо на 2 рубля больше, чем во втором, либо на 2 рубля меньше, т.е. случаи равновероятны и не зависят от суммы, которую мы увидали в первом конверте.

[Сократил объем цитаты. Пожалуйста, избегайте оверквотинга.]

Автор: snav 30.8.2014, 9:34

Вы открываете конверт и видите там 4 доллара — это фиксированное число.


Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
M(Z) = p1*z1 + p2*z2 + ... + pN*zN,
где z1, z2, ..., zN — все возможные значения случайной величины Z (т.е. фиксированные числа), а p1, p2, ..., pN — вероятности появления соответствующих значений (т.е. вероятности событий Z=z1, Z=z2, ..., Z=zN).

Допустим, вы увидели 8 долларов (Y=8). Если следовать вашим рассуждениям, то количество денег в другом конверте либо Z=(8-x1), либо Z=(8+x2), где x1=4, x2=8. То есть x1 и x2 — это два разных числа, которые вы, почему-то, обозначили одной и той же буквой X. Затем вы подставляете букву X в формулу расчета матожидания так, словно x1=x2. Это некорректно.

Автор: Breghnev 13.8.2015, 21:35

Не даёт мне покоя эта тема. В исследованиях бесконечностей я, признаться, слабоват. Поэтому хочу разобраться хотя бы с конечным вариантом задачи. Скажите, можно ли поставить её следующим образом?

Существует некоторое конечное количество пар конвертов таких, что в одном из конвертов пары сумма ровно в два раза больше, чем в другом. При этом в первой паре конвертов (с наименьшими суммами) лежат 1 и 2 рубля, во второй - 2 и 4 рубля, в третьей - 4 и 8 рублей и т.д. Вам неизвестно, какие суммы могут лежать в конвертах (известно только первое условие про соотношение сумм в конвертах).
Случайным образом выбирается пара конвертов (с равной вероятностью для каждого), после чего вам позволено выбрать и открыть один из двух конвертов на выбор и пересчитать в нём деньги. После этого вы должны решить: взять себе этот конверт или обменять его на второй (без возможности повторного обмена). Что делать: менять конверт или нет?

Корректна ли постановка задачи? Сходна ли она с классической? Есть ли место парадоксу в такой формулировке?
У меня есть твёрдое мнение на этот счёт, но я бы хотел сначала услышать что-то от вас.

Автор: 0 13.8.2015, 23:47

Нет не схожа.
Если конвертов N то
с вероятностью 1/2N получишь гарантированный выигрыш при смене конвертов,
с вероятностью 1-1/N получишь равные шансы удвоиться или ополовиниться (в среднем выигрывая по деньгам)
и с вероятностью 1/2N гарантированно потеряешь от смены и потеряешь как раз столько сколько выигрываешь в остальных случаях

Автор: Breghnev 14.8.2015, 8:59

Получается, если критерием выбора является матожидание, то парадокс существует только при условии бесконечного матожидания для закрытых конвертов? И классический случай, и пример из сообщения #9 именно такую ситуацию описывают, верно?
С равнозначностью начального выбора вроде бы всё ясно, в обоих конвертах бесконечность, да и вообще они неразличимы между собой. После вскрытия конверта выгодность обмена тоже кажется очевидной, потому что отсутствует пара конвертов, один из которых содержит максимально возможную сумму: тот, который менять невыгодно, ведь именно его обмен по стратегии "всегда менять" компенсирует все дополнительные выигрыши для всех других пар конвертов.
Проблема заключается в том, каким образом выбрать из бесконечного набора пар конвертов.
а) С одной стороны, мы, похоже, задали корректную математическую модель (сообщение #9), которая описывает бесконечное количество пар конвертов, в которых может находиться любая (бесконечно большая) сумма денег.
б) С другой стороны, мы утверждаем, что в любой выбранной паре конвертов содержится конечная сумма денег.
С обывательской точки зрения выглядит противоречиво. Как выразился один из участников форума, в конверт хотя бы иногда должны класть бесконечное количество денег, что бы это ни значило Я, как обыватель и неспециалист в математике, не буду утверждать, что здесь есть ошибка, просто делюсь наблюдениями. Мне интересно, для математиков в порядке вещей совмещение "а" и "б"? Как выбрать конкретный элемент из бесконечного набора элементов? Как можно подбросить n-гранный кубик при n стремящемся к бесконечности?

Автор: snav 15.8.2015, 7:48

Верно только для сообщения #9. В исходном (классическом) варианте парадокса распределение не задано, поэтому априорное матожидание там неизвестно. Существуют также варианты парадокса с конечным математическим ожиданием, но там используется другой критерий принятия решения. То есть в общем случае, парадокс двух конвертов не связан с бесконечностью матожиданий, как иногда ошибочно считают.


Представьте, что ваш спонсор бросает монету. Если выпадает орел, монета бросается снова. Если опять выпадает орел, монета бросается еще раз и так далее, пока не выпадет решка. Затем в конверты кладутся 10^k и 10^(k+1) долларов, где k — количество выпадений орла.
Разумеется, монета — это математическая абстракция. В реальном мире никакая монета не даст идеальную вероятность 1/2.


По поводу "бесконечного количества денег" писал здесь:
https://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=73001

Автор: 0 18.8.2015, 12:57

В классическом варианте просто ошибочно посчитано условное матожидание для принятия решения.

То если если не задано распределение то посчитать нельзя не только априорное матожидание но и после открытия конвертов.
Либо матожидание бесконечно и тогда действительно выгоднее поменять конверт.

Автор: snav 18.8.2015, 22:12

0, это не совсем так. В ситуации, когда точные значения вероятностей неизвестны, теория принятия решений разрешает заменять неизвестные вероятности их субъективным оценками. Под субъективными вероятностями понимают меру внутренней уверенности лица, принимающего решение, в наступлении того или иного события. При этом на практике часто пользуются эвристическим правилом Лапласа, которое гласит, что в условиях полной неопределенности события можно считать равновероятными.

Если наши субъективные вероятности будут сильно отличаться от статистических вероятностей, это приведет лишь к тому, что наши теоретические выводы не совпадут с эмпирическими данными, однако даже в этом случае мы не должны приходить к противоречию в самих наших теоретических выводах. Между тем, в парадоксе мы как раз приходим к противоречию.

Так вот, наша первая ошибка состоит в том, что в своих рассуждениях мы незаметно вышли за пределы аксиоматики теории вероятностей. Если бы мы ограничились предположением, что при некоторой конкретной сумме в первом конверте вероятности большей и меньшей суммы во втором конверте равны, в этом не было бы ничего противоречивого. Но мы предположили большее: мы предположили, что указанные вероятности равны при всех значениях сумм в первом конверте, а это уже невозможно ни при каком законе распределения. Другими словами, первая ошибка состоит в том, что не существует закона распределения, который бы удовлетворял нашему предположению.

Автор: ars 19.8.2015, 11:06

А кто-нибудь может пояснить корректность этой формулировки (из сообщ. № 9)?

Если быть точным, то меня интересует не соотношение этих вероятностей, а правомочность использования понятия "вероятность" в этом случае.

Дело в том, что мы говорим о событии уже свершившемся (сколько денег изначально положили в конверты) и от нашего действия/бездействия не зависит сколько денег там окажется. К этому моменту ситуация детерминирована (просто нам это неизвестно). Это не одно и то же с ситуацией, когда деньги во второй конверт кладутся после принятия нами решения - по-моему, имеет смыл считать вероятности и матожидания только в этом случае.

Это чем-то напоминает следующую ситуацию:
прошел футбольный матч, результата мы не знаем (знаем только, что ничьей не было), и нам предлагают сделать ставку на одну из команд. Мы ставим на одну из них. И тут нам говорят, что поменяв ставку, мы можем получить с вероятностью 2/3 в 10 раз меньше или с вероятностью 1/3 в 10 раз больше. Но нам безбожно врут! =) Событие уже свершилось, поэтому исход смены выбора известен организатору заранее. И нас попросту вводят в заблуждение, используя эти значения вероятностей (на самом деле вероятности 1 и 0).

Другое дело было бы, если б команды играли, после принятия нами решения о смене ставки. И вот тут кажущаяся симметричность задачи пропадает - гарантированный выигрыш не равновыгоден вероятному его увеличению/уменьшению.

Автор: snav 19.8.2015, 15:25

ars, вероятность события не является абсолютной инвариантной величиной. Значение вероятности может быть разным для разных людей, в зависимости от объема данных, которым они располагают. Вероятность - это просто численная мера возможности появления события с точки зрения конкретного индивида. Так, организаторы игры точно знают суммы в конвертах, поэтому для них вероятности исходов равны 0 и 1. Но с точки зрения игрока возможны оба исхода с вероятностями 1/3 и 2/3.

Автор: Breghnev 20.8.2015, 7:17

ars, вспомните, как вероятности с точки зрения игрока меняются в парадоксе Монти Холла

Автор: ars 20.8.2015, 9:33

Если snav не против, то восстановлю:

А зачем сохранять парадокс? Мы же стараемся от него избавиться вроде?
Может быть как раз тут и кроется решение: в соотношении вероятностей и распределения денег по конвертам?

Автор: ars 20.8.2015, 9:47

Тогда, отвечая на вопрос, поставленный в первом сообщении: "где ошибка в рассуждениях?" - можно сказать, что в "интуитивной симметрии задачи".
По первоначальному условию мы равновероятно увеличиваем/уменьшаем выигрыш в 2 раза, хотя для сохранения симметрии должны тогда и выполнить условие сохранения отношений вероятностей 1:2.
В общем получается зависимость: вероятность увеличения выигрыша в n раз должна быть в n раз меньше вероятности уменьшения выигрыша в n раз. Только в этом случае вопрос выбора действительно становится равнозначным (матожидания равны).

Автор: 0 20.8.2015, 18:34

Ужас какой. Искать объяснение парадоксов в гуманитарных "науках".
Мера внутренней уверенности в чем измеряется? Ну и как все знают крокодила либо встретишь либо нет так что вероятность 1/2.

На самом деле то что вероятность проигрыша и выигрыша равны оправдывается не выходя за рамки теории вероятности. Игрок выбирает случайным образом один конверт из предложенных двух так что вероятность что он выберет меньший равна 1/2. Вот только нас интересует не сам факта выигрыша а сумма. И чтобы ее узнать надо для начала открыть конверт. И как только конверт открыт мы уже находимся в другом пространстве возможностей и ответ на вопрос какова вероятность выигрыша становится нетривиальным.
И тот кто утверждает что 1/2 не прав. Правильный ответ "Неизвестно. Это зависит от начального распределения". Можете пользоваться чем угодно на практике и даже использовать степень уверенности в победе игромана перед выдачей ему кредита, но к математике это отношения не имеет.


Да. Вышли тогда когда решили игнорировать факт который не смогли интерпретировать.


А если бы существовал то что?! Ваше предположение осталось бы предположением таким же безосновательным как и сейчас. Разница только в том что если бы оно существовало то сформулировали бы другой парадокс с заданным распределением, в котором равенство вероятностей обосновывается не сомнительными теориями, а выводится из распределения. И вообщем-то это и было сделано, только с равенством не вышло вышло с другим отношением, но приводящему к тому же результату.

Автор: Breghnev 21.8.2015, 16:37

Кстати, можно подробнее про варианты парадокса с конечным матожиданием? Я так понимаю, речь идёт о критериях выбора типа максимина?
Если честно, мне не кажется очевидным вывод, что в общем случае парадокс не связан с бесконечным матожиданием. Пока не вижу, что здесь уместно говорить об общем случае.
Что же касается классической задачи, то, на мой взгляд, очевидно, что парадокс заключен именно в бесконечности матожиданий. Это косвенно подтверждается и тем, что все варианты задачи с конечным матожиданием (где критерием выбора, по-прежнему, является максимизация матожидания), которые были рассмотрены, не содержат парадокса. Я бы сказал, что задача парадоксальна ровно настолько, насколько парадоксально само понятие бесконечности.

Автор: snav 21.8.2015, 20:07

Да, именно о них.
https://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=55153


Смотря что вы подразумеваете под словами "парадокс заключен в бесконечности матожиданий". Если вы имеете в виду, что "для риск-нейтрального игрока (т.е. игрока, который принимает решение исходя из критерия ожидаемой ценности) при известном законе распределения противоречие возникает только в случае бесконечного матожидания" - да, это так. Но даже в этом случае первопричиной противоречия все-таки является не бесконечность матожидания, а допущенная нами ошибка в рассуждениях.

Автор: Breghnev 22.8.2015, 18:06

Можете ещё раз её сформулировать?

Автор: snav 22.8.2015, 22:32

Попробую, но заранее прошу прощения за корявое изложение и возможные неточности. В виду большого объема материала, разбил его на несколько сообщений.

Напомню, мы сейчас рассматриваем задачу для одного испытания с законом распределения, указанным в сообщении #9. Содержимое конвертов я буду рассматривать как случайные величины X и Y. Фактические (наблюдаемые) значения случайных величин X и Y буду обозначать строчными буквами x и y соответственно.
Чтобы не повторяться, условимся считать доказанным, что при заданном распределении M(Y|X=x) > x для любого возможного значения x.

Для начала дадим более четкую формулировку условия парадокса.

Постановка задачи
Вам показали два конверта X и Y и сказали, что в обоих конвертах находятся деньги, причём количество денег в конвертах подчиняется закону распределения, указанному в сообщении #9. Это всё, что вам известно. Вам разрешено взять любой из этих конвертов и оставить себе все деньги, которые вы в нём найдете. Вы наугад взяли конверт X. Но прежде чем вы его откроете, ваш спонсор предоставляет вам право изменить ваше первоначальное решение и поменять конверт. Как вам лучше поступить: оставить себе конверт X или согласиться на обмен и взять конверт Y? Игра проводится только один раз.

Парадоксальные рассуждения
Вы можете рассуждать двумя способами:
1-й способ. Моя информация о содержимом конвертов идентична, поэтому по соображениям симметрии выбор конверта безразличен.
2-й способ. Пусть конверт X содержит x долларов. Для любого возможного х условное математическое ожидание конверта Y будет больше x. Следовательно, если я открою конверт X и увижу его содержимое, то, руководствуясь принципом максимизации математического ожидания выигрыша, я предпочту обмен. Этот вывод не зависит от значения x и справедлив для любого x. Таким образом, мне заранее известно, что, узнав значение X, я предпочту взять конверт Y. Поэтому в открывании конверта X нет необходимости и я должен предпочесть конверт Y, даже не зная X.

1-е пояснение по условию
Прежде чем приступить к непосредственному решению парадокса, давайте сначала разберемся с одним вопросом, который здесь неоднократно звучал: на каком основании мы говорим о предпочтительности конверта с бОльшим математическим ожиданием. Это действительно важный вопрос. И чтобы на него ответить, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию принятия решений (ТПР).

Итак, по условию задачи игра проводится только один раз. В такой ситуации ни одна из стратегий поведения не может гарантировать нам получение большей суммы денег, т.е. при любом выборе мы можем как выиграть, так и проиграть. Апеллировать к математической статистике здесь бесполезно. Максимум, что мы можем сделать — это постараться принять наиболее рациональное решение исходя из имеющейся у нас информации. Решением подобных задач как раз и занимается ТПР.

С точки зрения ТПР задача о двух конвертах классифицируется как выбор в условиях риска и неопределенности. Под «риском» в ТПР понимается ситуация, когда точные результаты возможных вариантов действий заранее не известны, но имеется информация о вероятностях возможных исходов при каждом варианте действия. Если же вероятности исходов тоже неизвестны, говорят о выборе в условиях неопределенности.

Когда мы решаем задачи с заранее предсказуемым исходом, критерием принятия решения является получаемый результат (выигрыш/проигрыш). Однако в условиях риска и неопределенности сравнивать варианты действия по их будущему результату невозможно, поскольку результат нам еще не известен. Тем не менее, это не означает, что все варианты выбора равнозначны для человека, принимающего решение. Для того чтобы упорядочить варианты выбора по степени их желательности, ТПР применяет отношения предпочтения. Различают отношения предпочтения трех видов:
— строгое предпочтение (вариант А строго предпочтительнее варианта B);
— нестрогое предпочтение (вариант А не хуже варианта B);
— безразличие (А ~ B).

Отношения предпочтения должны удовлетворять некоторым естественным требованиям, например свойству транзитивности (если A > B и B > C, то A > C) и свойству рефлексивности (A ~ A).

Обратите внимание, что отношения предпочтения не содержат в себе никакой количественной оценки. Например, строгое предпочтение лишь утверждает, что вариант А более предпочтителен, чем вариант B, но ничего не говорит о том, на сколько один вариант предпочтительнее другого.

Еще одним важным обстоятельством, на которое стоит обратить внимание, является то, что отношения предпочтения зависят от конкретного индивида. То решение, которое является предпочтительным для одного человека, может оказаться неприемлемым для другого. Это связано с тем, что разные люди по-разному относятся к рискованному выбору и своей готовности пойти на риск. В ТПР условно выделяют три типа людей: «склонный к риску», «не склонный к риску» и «нейтральный к риску». Нейтральным к риску называется человек, который безразличен к выбору между получением фиксированной денежной суммы и получением возможного рискового дохода, математическое ожидание которого равно данной фиксированной сумме. Например, пусть стоит выбор между гарантированным получением 100 долларов и участием в игре, по итогам которой можно с равной вероятностью выиграть 200 долларов или не выиграть ничего. Не склонный к риску человек выберет 1-й вариант, склонный к риску — 2-й вариант, а для риск-нейтрального игрока оба варианта будут одинаково привлекательны.

Считается, что в реальной жизни большинство людей не склонны к риску. Однако в задаче о двух конвертах рассматривается вымышленный персонаж, который нейтрален в отношении риска. Для такого персонажа сравнительная предпочтительность альтернатив определяется критерием ожидаемой ценности. Суть этого критерия такова: в условиях риска, когда есть несколько возможных вариантов действия, более предпочтительным является тот вариант, при котором величина ожидаемой ценности результата (математического ожидания выигрыша) будет максимальна. Другими словами, нейтральное отношение к риску можно считать неявно подразумеваемой частью условия задачи, и все рассуждения выполняются с точки зрения риск-нейтрального игрока.

2-е пояснение по условию
Еще один момент условия, который мне бы хотелось уточнить, это бесконечность математических ожиданий. Как мы уже говорили выше, безусловные математические ожидания M(X) и M(Y) в нашем распределении равны бесконечности. В связи с этим у многих людей возникает соблазн «списать» парадокс на бесконечное количество денег в конвертах. Признаться, я и сам одно время так думал. Однако это неверно.

Хотя математические ожидания M(X) и M(Y) бесконечны, тем не менее, сами случайные величины X и Y принимают в игре некоторые конкретные значения x и y. Эти значения являются обычными натуральными числами, поэтому конверты в любом случае будут содержать вполне определенные (конечные) суммы денег. Иногда ошибочно думают, что числа x и y могут быть бесконечно большими. Это не так. В традиционной математике (которой мы все пользуемся) нет такого понятия «бесконечно большое число», так же как нет понятия «конечное число». Числа, какими бы большими они ни были, всегда остаются нормальными числами, с которыми можно выполнять все обычные математические действия. Бесконечными бывают множества чисел. Например, множество натуральных чисел бесконечно, но любой элемент этого множества все равно остается обычным числом. Что же касается бесконечности математических ожиданий M(X) и M(Y), то это лишь формальный термин, под которым подразумевается расходимость ряда.

Таким образом, при любом значении x мы делаем выбор между двумя конкретными суммами. Поэтому бесконечность M(X) и M(Y) никоим образом не нарушает корректность наших рассуждений.

Продолжение в следующем сообщении...

Автор: snav 22.8.2015, 22:43

Предполагаемое решение парадокса
Наиболее известное и, пожалуй, единственное удовлетворительное решения данного варианта парадокса было предложено http://consc.net/papers/stpete.html в 2002 году. Спустя два года к аналогичному выводу пришли https://pdfs.semanticscholar.org/dbcc/1dc8eb90b098376d8ea7c4c6cfaeaf9135eb.pdf.

Для того чтобы уяснить суть их решения, сформулируем еще раз коротко цепочку наших умозаключений:
1) До открывания конверта выбор безразличен (этот вывод основывается на принципе симметрии).
2) После открывания конверта обмен является строго предпочтительным, независимо от того какая сумма находится в открытом конверте (этот вывод следует из принципа максимизации ожидаемой ценности).
3) Так как предпочтительность обмена в случае вскрытия конверта известна заранее, то открывать конверт нет необходимости и следует предпочесть обмен, даже не открывая конверт.
4) Получаем противоречие с пунктом 1.

Рассуждения выглядят безупречными. Мы знаем, что принцип максимизации ожидаемой ценности справедлив только для риск-нейтрального игрока, но принцип симметрии является общим фундаментальным принципом, который должен работать во всех случаях, независимо от отношения игрока к риску. Поэтому принцип симметрии должен сохранять силу и для риск-нейтрального игрока тоже. Почему же тогда два указанных принципа приводят нас к несовместным выводам?

Ответ состоит в том, что помимо двух упомянутых принципов мы неявно используем в своих рассуждениях еще одно дополнительное предположение, которое Чалмерс назвал "unrestricted dominance pinciple", а Дитрих и Лист - "event-wise dominance principle". Я буду называть его эвентуальным принципом доминирования. Суть этого подразумеваемого принципа в следующем. Допустим, имеются две альтернативы A и B, а также полная группа несовместных событий E. Тогда если A предпочтительнее B при условии наступления любого события из множества E, то A предпочтительнее B безусловно.

Эвентуальный принцип доминирования в соединении с фактом 2 вступает в конфликт с фактом 1. Действительно, рассмотрим события: X=1, X=2, X=4 и так далее. Предпочтительность обмена конвертов в случае знания значения X означает не что иное, как предпочтительность конверта Y при условии наступления любого из указанных событий. Это обстоятельство является достаточным основанием для применения эвентуального принципа доминирования. Используя последний, мы приходим к выводу о безусловной предпочтительности конверта Y над конвертом X, но это противоречит априорной симметрии конвертов. В то же время, без применения эвентуального принципа доминирования противоречие между фактами 1 и 2 не возникает.

Эвентуальный принцип доминирования выглядит очень правдоподобно. Тем не менее, вышеупомянутые авторы сходятся во мнении, что он ложен.

Причина интуитивной привлекательности данного принципа кроется в том, что в некоторых частных случаях доминантные рассуждения успешно работают. Так, в теории принятия решений известен и широко применяется стандартный принцип доминирования, который гласит, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы B, если при любом варианте развития ситуации альтернатива А дает лучший результат, чем альтернатива B. Можно видеть, что эвентуальный принцип доминирования фактически вмещает стандартный принцип в качестве частного случая и пытается распространить его действие на более широкие исходные условия.

Чтобы проиллюстрировать различие между стандартным и эвентуальным принципами, рассмотрим их на примере парадокса двух конвертов. Вариантами развития ситуации в нашем случае являются все возможные пары значений величин X и Y: {1, 2}, {2, 1}, {2, 4}, {4, 2}… (назовем эти пары состояниями конвертов). События — это более крупные группы фактов: каждое событие может включать в себя одно или несколько состояний конвертов. Например, событию X=1 соответствует лишь одно состояние {2, 1}, а событию X=2 — два состояния: {2, 1} и {2, 4}. Мы принимаем решение о предпочтительности обмена при условии наступления события X=2. Однако если бы у нас была более полная информация и мы бы знали, в каком состоянии находятся конверты при этом событии, то в случае состояния {2, 1} мы бы все-таки отказались от обмена. Таким образом, располагая информацией о состоянии конвертов, мы бы при одних состояниях предпочли взять конверт X, а при других — конверт Y, поэтому стандартный принцип доминирования, в отличие от эвентуального, не дает нам оснований для вывода о безусловной предпочтительности обмена.

Вообще, тема доминирования весьма болезненна в теории принятия решений. Даже стандартный принцип, который кажется предельно убедительным и несокрушимым, в определенных ситуациях дает сбой. Это, конечно, не имеет прямого отношения к обсуждаемому вопросу, но поскольку данный факт интересен и познавателен, я позволю себе сделать небольшое отступление и рассмотреть пример, позаимствованный у Джеймса Джойса.

Предположим, вы только что припарковались в захолустном районе. К вам подходит человек и предлагает за 10 долларов «защищать» ваш автомобиль от повреждения. Вы понимаете, что это вымогательство, и слышали, что люди, которые отказываются от «защиты», часто по возвращении находят свое ветровое стекло разбитым. Те кто платят, находят свои автомобили неповрежденными. Вы не можете припарковаться больше нигде, потому что опаздываете на важную встречу. Замена ветрового стекла стоит 400 долларов. Нужно ли вам купить «защиту»?

Стандартный принцип доминирования, говорит, что не нужно. Действительно, представим последствия ваших решений в виде таблицы.

Строки соответствуют вашим действиям, колонки — вариантам развития ситуации. В каждой колонке значение в последней строке больше, чем в предпоследней, поэтому альтернатива «не платить» доминирует альтернативу «заплатить». Конечно, с точки зрения здравого смысла это абсурд. Если вы откажетесь платить, вероятность того, что вам придется ремонтировать автомобиль, резко возрастает, поэтому лучше отдать вымогателю 10 долларов, чтобы не потерять 400. Неувязка происходит из-за того, что ваш выбор оказывает непосредственное влияние на развитие ситуации. В подобных случаях стандартный принцип доминирования не применяется.

Пример с вымогателем дает нам дополнительную возможность убедиться, что доминантные рассуждения, несмотря на их кажущуюся простоту и очевидность, весьма коварны и что интуитивность в этом вопросе не очень надежный союзник.

Чтобы несостоятельность эвентуального принципа доминирования стала еще более наглядна, Дитрих и Лист приводят любопытный https://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=55153, в котором показывают, что парадокс двух конвертов может возникать не только с критерием ожидаемой ценности, но и с другими критериями принятия решения. Их пример особенно интересен тем, что на этот раз суммы в конвертах ограниченны и имеют конечные математические ожидания. Таким образом Дитрих и Лист опровергают распространенное заблуждение, будто корень проблемы прячется в бесконечности математических ожиданий или неограниченности возможных выплат.

Подведем итог. Основной причиной, которая приводит к возникновению парадокса двух конвертов в теории принятия решений, является незаконное использование доминантных рассуждений. Несмотря на то, что при определенных условиях доминантные рассуждения могут быть верными, в условиях задачи о двух конвертах они недействительны.

Автор: Breghnev 23.8.2015, 0:30

Это всё, конечно, интересно. И спасибо за цитирование специалистов в рассматриваемом вопросе. Но всё же мне бы хотелось услышать от вас объяснение в более простой форме и вашими словами.
На сегодняшний день наиболее правдоподобным объяснением для меня является то, что мы неправомерно используем принципы теории вероятностей в рамках этой задачи. Ещё раз "по-простому" опишу то, что происходит.
Наш первоначальный выбор, очевидно, ничего не решает. Нам всё равно, какой конверт выбрать, ведь мы не владеем никакой информацией, дающей предпочтение тому или иному конверту.
При повторном выборе нам выгодно менять конверт всегда, основываясь на том, что "в среднем" мы получим больше, поменяв конверт.
Проблема заключается в том, что нашего "среднего" не существует. И не существует его именно потому, что сумма в конвертах не ограничена. Принципиально важно, что "среднего" нет не только для игрока, но и для ведущего. Потому что если "среднее" существует, пусть даже оно неизвестно игроку, парадокс исчезает.

Автор: snav 23.8.2015, 6:29

Пардон, мы не нарушили ни одного принципа теории вероятности. Все вероятностные расчеты безупречны. Нарушения лежат в другой области — в области ТПР, которая является самостоятельной дисциплиной по отношению к теории вероятностей (вы не найдете в теории вероятностей ни принципа максимизации ожидаемой ценности, ни отношений предпочтения — всё это чистая ТПР).

Возможно, вы пытаетесь смешивать два принципиально разных парадокса: статистический парадокс (многократные испытания) и парадокс принятия решения (однократное испытание). Это разные задачи с разным решением. Статистический парадокс действительно имеет решение в рамках теории вероятностей. Я рассматривал его https://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=73001.


Вот вы пишете "выгодно поменять всегда". Это неверно. Критерием выгодности является фактическое получение большей суммы денег. Если в конверте Y находится больше денег — менять выгодно, если меньше — то менять невыгодно. Однако при однократной игре сделать априорное заключение о выгодности обмена невозможно, так как мы не знаем, где больше денег. По этой причине ТПР говорит не о выгодности обмена, а лишь о его предпочтительности с точки зрения некоего критерия рациональности. Выгода и предпочтительность — не одно и то же. Выгода означает гарантированное получение выигрыша, а предпочтительный вариант может привести как к выигрышу, так и к проигрышу.

Далее, вы говорите "в среднем мы получим больше". Это высказывание из области статистики. Но у нас только одно испытание, и в среднем мы получим ровно столько, сколько по факту лежит во втором конверте. А это значение нам не известно.


Здесь вы незаметно перешли от условного матожидания к безусловному, но продолжаете говорить так, словно речь идет об одном и том же.


Да, при конечном матожидании парадокс исчезает, и что? Где решение парадокса при бесконечном матожидании?

Автор: Breghnev 23.8.2015, 17:18

Допустим, "статистический парадокс" решен. В чем его отличие от парадокса принятия решения? Разве в случае однократного испытания игрок не руководствуется тем же самым критерием максимизации среднего выигрыша?

Разумеется, говоря "выгодно поменять всегда" я имел ввиду именно предпочтительность с точки зрения матожидания выигрыша. Пожалуй, я соглашусь с вами, что использование слова "выгодно" мной здесь не совсем корректно. Но это лишь вопрос терминологии.

Тогда как в анекдоте: либо выгодно менять, либо нет. 50/50. Так получается?

Не вижу причины, по которой я не мог сделать этого.

Парадокс в том, что матожидание получаемой величины равно бесконечности (а что такое бесконечность?), а сумма в конверте всегда равна конечному числу (а с какой стати? вы уверены в этом?).

Автор: snav 23.8.2015, 18:18

В случае однократной игры игрок руководствуется принципом максимизации математического ожидания выигрыша в одной игре. В случае многократной игры игрок руководствуется принципом максимизации фактического выигрыша в большой серии игр.


Вообще-то, парадокс совсем в другом. В чем именно - я описал выше...

Автор: Breghnev 23.8.2015, 22:22

Чем отличается максимизация матожидания выигрыша в одной игре от случая с серией игр? Если серия игр такова, что все игры независимы друг от друга, и мы не делаем никаких выводов из прошлых игр, то чтобы получить максимум матожидания в серии нам нужно получить максимум в каждой отдельно игре, не так ли?

Автор: snav 24.8.2015, 5:19

В серии игр мы максимизируем не матожидание, а фактический выигрыш. Именно это является нашей конечной целью. И хотя в обеих задачах (с одной игрой и с серией игр) наши промежуточные рассуждения апеллируют к возрастанию матожидания, наша аргументация в этих случаях существенно различается. Поэтому различаются и решения парадоксов.

Автор: Breghnev 24.8.2015, 8:20

Мне это непонятно. Можете привести эти аргументы для обоих случаев? Или дать ссылку на соответствующие сообщения форума.

Автор: snav 25.8.2015, 5:37

Ok, https://www.braingames.ru/forum/index.php?s=&showtopic=3138&view=findpost&p=94979 мы рассмотрели парадокс для однократной игры. Теперь рассмотрим ситуацию, когда игра повторяется много раз. В этом случае у нас появляется возможность использовать статистические методы для оценки суммарного выигрыша и опираться на эти расчеты при принятии решения.

Постановка задачи
Вам предлагаются два конверта с деньгами. Вы наугад берете в руки один из конвертов, после чего должны принять решение: оставить этот конверт себе или обменять его на другой конверт. Игра повторяется много раз с разными парами конвертов, причем суммы для каждой пары выбираются с помощью распределения, указанного в сообщении #9. Какой стратегии вам следует придерживаться, чтобы по совокупности всех игр выиграть больше денег?

Парадоксальные рассуждения
Рассмотрим один раунд игры. Пусть X — конверт, который вы держите в руках, Y — другой конверт. Какая бы сумма x ни находилась в конверте X, условное математическое ожидание конверта Y больше x, то есть M(Y|X=x) > x. Это значит, что в случае обмена конверта математическое ожидание вашего выигрыша увеличится, причем этот вывод не зависит от фактического значения x и справедлив для любого x. Следовательно, если ваш спонсор предоставит вам возможность сыграть достаточно много раз и вы будете каждый раз соглашаться на обмен, то в среднем за игру (по итогам всех игр) вы получите больше денег, чем если бы каждый раз сохраняли свой первоначальный выбор. Вам даже не нужно знать, чему равно x в каждой отдельной игре. Достаточно механически менять конверт и ваш суммарный выигрыш возрастет. Естественно, в некоторых раундах обмен будет вам невыгоден и вы что-то потеряете, но зато по сумме всех игр вы все равно окажитесь в плюсе!

Чтобы еще нагляднее продемонстрировать парадоксальность ситуации, представим, что в игре участвуют двое и каждый игрок получает по конверту. Повторив в уме вышеприведенные рассуждения, оба приходят к заключению, что им следует поменяться конвертами друг с другом, ведь за счет этой нехитрой манипуляции суммарный выигрыш каждого (при многократной игре) должен увеличиться. Однако очевидно, что нельзя одновременно увеличить выигрыш обоих. Где ошибка в рассуждениях?

Пояснение по условию
Как мы уже знаем, математические ожидания M(X) и M(Y) равны бесконечности. Возникает вопрос, можем ли мы в таком случае сравнивать суммы в конвертах и, вообще, говорить о выгодности обмена? Иногда можно встретить примерно такое объяснение парадокса: мы меняем один конверт с бесконечным математическим ожиданием на другой конверт с бесконечным математическим ожиданием, поэтому выгодность обмена не определена. На самом деле, когда мы говорим о выгодности обмена, мы должны сравнивать не математические ожидания M(X) и M(Y), а фактические суммы, которые мы получим на руки при разных стратегиях поведения. Другими словами, нас интересует не абстрактное математическое ожидание выигрыша, а реальное количество денег, которое мы унесем с собой.

Перед каждой игрой в конверты закладываются некоторые суммы x и y. По совокупности n игр мы получим n пар чисел: (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn). Если вы будете каждый раз забирать себе конверт X, ваш суммарный выигрыш составит Sx = x1+x2+...+xn долларов. В случае обмена вы получите Sy = y1+y2+...+yn долларов. Здесь Sx и Sy — это суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых является натуральным числом, поэтому с математической точки зрения нет никаких препятствий к тому, чтобы посчитать эти суммы и сравнить их между собой, узнав, выгоден был обмен или нет.

Статистический парадокс утверждает, что при достаточно большом числе игр среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y будет больше среднего арифметического наблюдавшихся значений X, т.е. Sy/n > Sx/n, а следовательно, Sy > Sx. Другими словами, при использовании стратегии «всегда соглашаться на обмен» ваш фактический суммарный выигрыш должен быть больше. В наших расчетах нигде не фигурируют значения M(X) и M(Y), поэтому их бесконечность не могла повлиять на корректность полученного вывода. Где же тогда ошибка?

Предполагаемое решение
Исследуем более тщательно аргументы, которые позволили нам прийти к заключению, что Sy/n > Sx/n. В данном случае мы опирались на известное свойство статистической устойчивости среднего значения случайных величин, а именно: "для большого числа независимых случайных величин среднее арифметическое наблюдавшихся значений этих случайных величин приблизительно равно (сходится к) среднему арифметическому их математических ожиданий". В теории вероятностей данное положение носит название закона больших чисел.

Так как в нашем случае M(Y) бесконечно, то говорить о сходимости Sy/n --> M(Y) не приходится. Поэтому наши рассуждения апеллируют к другой сходимости: к сходимости значения Sy/n к среднему арифметическому условных математических ожиданий Sum[M(Y|X=xi) / n]. Действительно, можно привести примеры, когда случайная величина имеет бесконечное безусловное математическое ожидание, но при этом среднее арифметическое ее наблюдаемых значений сходится к среднему арифметическому условных математических ожиданий. Например, представьте, что вам всегда дают в руки конверт X с меньшей суммой. Очевидно, что в такой ситуации вам было бы выгодно менять конверты — при обмене вы бы получили существенно больший выигрыш, причем значение Sy/n было бы в точности равно значению Sum[M(Y|X=xi) / n], то есть закон больших чисел работает и в этом случае.

Однако не все случайные величины подчиняются закону больших чисел, и как раз в нашем случае (в статистическом варианте парадокса) это закон не выполняется (это можно доказать, но я не буду приводить здесь математические выкладки). Поэтому с ростом числа испытаний сумма Sy не будет стабилизироваться около суммы условных матожиданий (как это имело бы место при выполнении закона больших чисел), а будет совершать неограниченные флуктуации в большую или меньшую сторону. Поэтому наше предположение, что с ростом числа испытаний стратегия "всегда брать второй конверт" является более выгодной, неверно. Руководствуясь этой стратегией, мы можем по сумме игр как выиграть, так и проиграть. В этом состоит решение статистического варианта парадокса.

Автор: Breghnev 25.8.2015, 11:24

Спасибо большое за детальный ответ. Действительно, не следует искать простых решений сложных проблем. К счастью, кажется, я в состоянии постичь непростое

Автор: snav 10.9.2015, 14:39

Для удобства вынес ссылки на предполагаемые решения в первое сообщение.