Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[0]

или так: мы увидели конверт, в котором 4 бакса, например. значит мы имеем дело с парой 4-8 или 4-2. в случае, когда мы бы натыкались на пару 4-8 мы в среднем выигрывали бы 6 баксов, независимо от того, меняли бы выбор или нет. аналогично, наткнувшись на 2ю пару, мы выигрывали бы 3 бакса, независимо от того, меняли бы выбор или нет. т.к. эти два случая равновероятны, то мы бы выигрывали в среднем 4.5
бакса независимо от того, меняли бы выбор или нет.

если за x принимать сумму в меньшем конверте, то матожидание будет 1.5x. и это матожидание относится к любому выбору.

Забавно!

Напомнили рассуждения одного булгаковского персонажа об Энгельсе с Каутским

Если что-то взять и поделить то это не всегда будет матожиданием.
Понимаете матожидание всегда определяется для случайной величины.
Так вот сначала формулируете где у вас случайная величина и какая информация вам известна и только потом считаете МО. Тогда не придется искать среднее арифметическое матожиданий и искать зависимость неизвестно чего от суммы в меньшем конверте.

[cmtx]

=) кот Шрёдингера какой-то получается)
вобщем, я считаю, что менять выбор нет смысла.
допустим, мы проведём много опытов и будем всегда в них менять решение. среди этих опытов можно выделить бесконечное множество классов. опыты, в которых в первый раз мы увидели 4 бакса, мы относим к одному классу. доля опытов в каждом классе будет различной. наша ошибка в том, что мы считаем матожидание в контексте каждого класса. где смена нашего выбора всегда будет улучшать результат. если считать матожидание в контексте всех классов, т.е. всех возможных опытов, то смена выбора не даст результата.
проблема в том, что в условии задачи опыт одновременно принадлежит и своему классу и всему множеству. когда мы начинаем считать вероятность для класса данных опытов, мы забываем про изначальное распределение, что ведёт к ошибке в рассуждениях.

[Доцент]

вобщем, я считаю, что менять выбор нет смысла.

Уже было

Возможно, коллегам будет интересно обсудить как соотносится парадокс двух конвертов с недавно опубликованной задачей "больше/меньше"?

На мой взгляд, это разные задачи.
1. В парадоксе приводится конкретная цепь рассуждений и требуется найти ошибку. В задаче "Больше/меньше" никакой ошибки искать не надо, а требуется придумать стратегию.
2. В парадоксе оптимизируется матожидание выигрыша, а в задаче "Больше/меньше" - вероятность выигрыша.

Но, тем не менее. Если существует стратегия, позволяющая угадать с вероятностью больше 50% большая или меньшая сумма в другом конверте, то почему бы ее и не применить? Т.е. иногда следует и поменять выбор.

[Azol]

ИМХО, здесь проблема в следующем: вопрос испытания - выигрыш или проигрыш в деньгах при выборе второго конверта и, понятно, вероятность любого исхода равна 50%.
Попытка посчитать матожидание суммы во втором конверте исходит из необоснованного предположения, что у нас есть два испытания - с суммами х*2 и х/2. Испытание же у нас только одно (в одну реку дважды не войдешь) - открытие второго конверта. Поэтому матожидание здесь вообще считать некорректно.

[UNDEFEAT]

ИМХО, здесь проблема в следующем: вопрос испытания - выигрыш или проигрыш в деньгах при выборе второго конверта и, понятно, вероятность любого исхода равна 50%.
Попытка посчитать матожидание суммы во втором конверте исходит из необоснованного предположения, что у нас есть два испытания - с суммами х*2 и х/2. Испытание же у нас только одно (в одну реку дважды не войдешь) - открытие второго конверта. Поэтому матожидание здесь вообще считать некорректно.

А матожидание числа выпавшего на кубике тоже посчитать нельзя?
Эксперимент же 1, а не 6

[Azol]

Угу, только кубик можно кидать сколько угодно раз, а "второй" конверт по условию только один - его два раза не откроешь.

[UNDEFEAT]

Угу, только кубик можно кидать сколько угодно раз, а "второй" конверт по условию только один - его два раза не откроешь.

Конверт можно открывать сколько хочешь раз, каждый раз заново повторяя эксперимент.

[Azol]

Только сумма в конверте может быть "либо-либо".
Кидая кубик с матожиданием 3,5 ты 3,5 никогда не выкинешь, т.к. на кубике нет такого числа.
Имея два неоткрытых конверта матожидание выигрыша равно 3/2 * х при выборе случайного конверта.
Если вводится условие возможности открытия второго конверта, то вариантов 3:
1 - оставляем себе сумму из первого конверта, второй не открываем (выигрыш х)
2 - открываем второй конверт и получаем 2х из него
3 - открываем второй конверт и получаем 0,5х из него.

Здесь решение принимается случайным образом - открываем второй конверт или нет (50-50). Варианты исхода 2 или 3 равновероятны, т.е. 25-25.
Матожидание этого безобразия (если я еще не сошел с ума в конце дня) = х/2 + (0,5х + 2х)/2 = 1,75х.

Тот факт, что во втором случае матожидание повысилось относительно первого случая (1,5х), показывает, что условия эксперимента изменились и в него заложена вероятность того, что во втором конверте может оказаться большая сумма, чем в первом.

Не вижу тут никакого парадокса.

[UNDEFEAT]

Только сумма в конверте может быть "либо-либо".
Кидая кубик с матожиданием 3,5 ты 3,5 никогда не выкинешь, т.к. на кубике нет такого числа.

Это вообще к чему?
Возьмите кубик 2 4 6 8 10 18. Тут матожидание 8.
Можете вообще не кубик взять.

[Azol]

Так со всем остальным Вы согласны?
(А насчет кубика воспринимайте как лирическое отступление.)

[UNDEFEAT]

Вы не внимательно читали первый пост.
ВОПРОС: где ошибка в рассуждениях?

Имея два неоткрытых конверта матожидание выигрыша равно 3/2 * х при выборе случайного конверта.

А чему равно х?

Здесь решение принимается случайным образом - открываем второй конверт или нет (50-50).
Варианты исхода 2 или 3 равновероятны, т.е. 25-25.

Где здесь? Почему равновероятно? Вы, видимо, не внимательно читали первый пост.

[Azol]

Я-то читал внимательно:

"По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$"

Т.е автор поста посчитал это матожидание, исходя из равной вероятности обоих исходов (коэффициенты 1/2).

А теперь давайте так: эта задача подается как парадокс: есть ситуация, должно вроде быть "результат А" а на деле оказывается "результат Б".

Сформулируйте, пожалуйста, для меня своими словами "результат А" - что ожидается и "результат Б" - что имеем на деле.

Потому что я парадокса в описанной задаче не вижу и подозреваю, что и Вы его описать не сможете.

[UNDEFEAT]

Я-то читал внимательно:

"По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$"

Т.е автор поста посчитал это матожидание, исходя из равной вероятности обоих исходов (коэффициенты 1/2).

А теперь давайте так: эта задача подается как парадокс: есть ситуация, должно вроде быть "результат А" а на деле оказывается "результат Б".

Сформулируйте, пожалуйста, для меня своими словами "результат А" - что ожидается и "результат Б" - что имеем на деле.

Потому что я парадокса в описанной задаче не вижу и подозреваю, что и Вы его описать не сможете.

В первом посте вы перешли по ссылке на "Сообщение 9" схожей темы? Почитайте там дальше.

[Azol]

Да забудьте про кубик.
Я сформулировал вопрос (вполне законный) - в чем, на Ваш взгляд, состоит парадокс задачи? В первом топике есть слова "Но это противоречит интуитивной симметрии задачи", при этом не поясняется, что такое "интуитивная симметрия" и пр. Я никакой "интуитивной симметрии" здесь не вижу, и никакого противоречия тоже.
Давайте тогда уж к словам автора задачи придеремся, а не к моим? Потому что если задача сформулирована неудачно (ссылки на интуицию автора), то чего Вы ожидаете от ответов? Парадокс задачи в том, что интуиция автора подвела

[UNDEFEAT]

Да забудьте про кубик.
Я сформулировал вопрос (вполне законный) - в чем, на Ваш взгляд, состоит парадокс задачи? В первом топике есть слова "Но это противоречит интуитивной симметрии задачи", при этом не поясняется, что такое "интуитивная симметрия" и пр. Я никакой "интуитивной симметрии" здесь не вижу, и никакого противоречия тоже.
Давайте тогда уж к словам автора задачи придеремся, а не к моим? Потому что если задача сформулирована неудачно (ссылки на интуицию автора), то чего Вы ожидаете от ответов? Парадокс задачи в том, что интуиция автора подвела

Я забыл про кубик давно.
Повторяю: ознакомьтесь с темой разговора.

[snav]

Azol
Возможно, вам будет более понятна такая формулировка:

Перед вами два одинаковых запечатанных конверта. Вам сообщили, что в обоих конвертах находятся деньги и что в одном конверте сумма в два раза больше, чем в другом, однако где именно больше — вы не знаете. Вам разрешено взять любой из этих конвертов и оставить себе всю сумму, которую вы в нем найдете. Вы наугад берете в руки один из конвертов, но, прежде чем вы его откроете, ваш спонсор предоставляет вам право поменять конверт. Как вам лучше поступить: оставить себе выбранный конверт или согласиться на обмен?

Вы можете рассуждать следующим образом: "Предположим, что мне разрешили заглянуть в конверт, находящийся у меня в руках, и я обнаружил в нем 100 долларов. Поскольку я выбрал этот конверт случайным образом, то в другом конверте с равной вероятностью может оказаться 50 или 200 долларов. Поэтому математическое ожидание второго конверта составляет 50/2 + 200/2 = 125 долларов. Значит, поменяв конверт, я в среднем выиграю 125 долларов, а сохранив свой первоначальный выбор — только 100 долларов. Поэтому конверт лучше поменять. Аналогичные рассуждения я могу повторить для любой суммы, которая гипотетически может оказаться в моем конверте, и приду к тому же выводу, что замена конверта увеличивает математическое ожидание выигрыша на 25%. Получается, что, какая бы сумма ни находилась в моем конверте, я должен согласиться на обмен. А раз так, то для принятия решения мне не требуется узнавать, сколько на самом деле денег у меня в конверте. Я в любом случае должен взять другой конверт". Таким образом, вы приходите к выводу, что конверт нужно поменять. Но это явный абсурд, ведь имеющаяся у вас информация о конвертах идентична. Где ошибка в рассуждениях?

Это классический вариант парадокса. Усиленный вариант (см. сообщение #9) отличается тем, что задано априорное распределение, по которому формируются конверты, и там матожидания имеют другие значения.

[semiSvetik]

Snav все время делает упор на "найдите ошибку"

Вы можете рассуждать следующим образом: "Предположим, что мне разрешили заглянуть в конверт, находящийся у меня в руках, и я обнаружил в нем 100 долларов. Поскольку я выбрал этот конверт случайным образом, то в другом конверте с равной вероятностью может оказаться 50 или 200 долларов.

Ошибка вот в этом самом "...то в другом конверте с равной вероятностью...". Нет, не с равной вероятностью. Если коротко, то условное распределение не обязано должно совпадать с безусловным. Если детальнее (вернее, поплярнее), то можно рассмотреть примеры конкретных вероятностных схем, на которых этот логический переход и не работает.

Пример 1. Дискретная схема. Пусть (только для упрощения рассуждений) у нас есть всего три возможных монеты (1, 2 и 4 мегарубля) и монеты настолько большие, что в конверт помещается только одна монета. Согласно условию в двух конвертах равновозможны такие пары: (1,2), (2,4). Открываем первый конверт... думаю, продолжение очевидно - мы точно будем знать, что во втором конверте, и нужно ли нам менять выбор. Этот же вывод легко обобщается на случай любого числа любых монет и любого их возможного количества в каждом из конвертов.

Пример 2. Непрерывная модель. Если общая сумма всех денег конечна и деньги можно делить на любые дробные части (копейка, 1/10 копейки, 1/100 и т.д.), то случайные величины X, Y (суммы денег в двух конвертах) образуют случайный вектор (X,Y) с некоторым непрерывным распределением на квадрате [0;M]x[0;M] (М - сумма всех возможных денежных средств на планете). Если быть совсем точными, то [0;M]x[0;M] - это не совсем область возможных значений вектора (так называемый носитель распределения), ведь по условию все возможные точки (X,Y) должны быть расположены на двух прямых: y=2x и x=2y, т.е. носителем распределения будут два отрезка: OA и OB, где O(0,0), A и В - точки пересечения прямых y=2x и x=2y с прямой x+y=M. Дальше все то же самое: информация о сумме в первом конверте (каким бы ни было упомянутое безусловное распределение на отрезках ОА и ОВ) меняет информацию (условное распределение) о сумме во втором конверте.

В любых смешанных моделях будет этот же эффект: если в первом открытом конверте обнаружена сумма, близкая к бюджету страны (или, скажем, к денежной массе всей планеты), то эта информация МЕНЯЕТ распределение денежной массы во втором конверте - там ТОЧНО БУДЕТ МЕНЬШЕ. И наоброт, если в первом конверте сумма близка к нулю (1 копейка, например), то во втором конверте ТОЧНО БУДЕТ БОЛЬШЕ.

[semiSvetik]

По поводу сообщения № 9, на которое ссылается snav как на более продвинутый вариант условия. Условие неверное. Если наборы сумм (1,10), (10,100), (100,1000)... бесконечны, то имеем проблему конечности общей денежной массы, а если наборы конечны, например (1,10), (10,100), (100,1000) с соответствующими вероятностями 1/2, 1/4 и 1/4, то при обнаружении в первом конверте 1 или 1000 вывод о смене конверта делается однозначный. Не намного сложнее и с обнаружением 10 и 100. Никакого парадокса, никаких проблем

[semiSvetik]

И последнее. Если кто-то и сможет придумать стохастичесикй эксперимент, максимально соответствующий условию про 50/50 во втором конверте после выбора первого, то это будет что-то, эквивалентное тому, что после того, как взят в руки первый конверт, во второй положат или половину, или в два раза больше того, что лежит в уже выбранном конверте. Но тогда парадоксальность пропадет автоматически, т.к. снова-таки будет ясно, как лучше поступить. А уж каким критерием каждый будет пользоваться (считать матожидание, надеясь часто играть в эту игру, или просто взвесит для себя ценность возможной потери и сравнит ее с ценностью возможной дополнительной выручки) - это личное дело игрока

[snav]

Ошибка вот в этом самом "...то в другом конверте с равной вероятностью...". Нет, не с равной вероятностью.

Да, это первая ошибка. Но есть и другая. И эта другая ошибка приводит нас к усиленному варианту парадокса в сообщении #9.

По поводу сообщения № 9, на которое ссылается snav как на более продвинутый вариант условия. Условие неверное. Если наборы сумм (1,10), (10,100), (100,1000)... бесконечны, то имеем проблему конечности общей денежной массы...

semiSvetik, это не финансовая задача из реальной жизни, а логико-математический парадокс. Постарайтесь абстрагироваться от второстепенных деталей и взглянуть на проблему с чисто математической точки зрения. Процитирую Чалмерса: "Некоторое затруднение, не существенное для парадокса, но отвлекающее внимание, происходит из-за того факта, что в реальном мире деньги существуют в дискретных количествах (доллары и центы, фунты и пенсы) и что известны пределы мировых денежных ресурсов. Мы можем устранить это затруднение, условившись, что для целей парадокса суммы в конвертах могут быть любым положительным действительным числом".

P.S.
Кстати, давно собирался исправить ошибку в сообщении #9, но лень было. Сейчас переписал всю первую часть. Раньше было написано, что, приняв допущение о равенстве апостериорных вероятностей, мы тем самым посчитали распределение сумм в конвертах равномерным на множестве положительных чисел. Это неверно. При равномерном распределении (если бы оно существовало) апостериорные вероятности не были бы равны 1/2.