(-1)^(2/4) Опции

[SlvBuz]

Я уже давно закончил школу и институт, кое что подзабыл.
Вот сижу мучаюсь...
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица.
Помогите мне пож-та.

[fiviol]

А в чем проблема? Корней четвертой степени из числа - четыре штуки.

[SlvBuz]

А в чем проблема? Корней четвертой степени из числа - четыре штуки.

А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?


Сообщение было отредактировано SlvBuz: 28.10.2017, 18:57

[fiviol]

А я почему-то не уверен.
А если степень иррациональная, то сколько корней?

Зуб даю.
Для каждого комплексного числа существует ровно n комплексных чисел, которые в n-ной степени равны этому числу - корни степени n. В частности, корнями четвертой степени из 1 являются 1, -1, i и -i.
Дальше нужно быть аккуратным в определениях - что такое степень 2/4? Если это понимать как квадраты корней четвертой степени, или корни четвертой степени из квадрата, то это 4 разных числа. Так что это вовсе не то же самое, что квадратный корень - потому что таких корней только 2.

Из этого уже понятно, что иррациональную степень для комплексного числа вообще нельзя определить по аналогии с положительными вещественными числами.

[BAS14]

Дальше нужно быть аккуратным в определениях - что такое степень 2/4? Если это понимать как квадраты корней четвертой степени, или корни четвертой степени из квадрата, то это 4 разных числа. Так что это вовсе не то же самое, что квадратный корень - потому что таких корней только 2.

Из этого уже понятно, что иррациональную степень для комплексного числа вообще нельзя определить по аналогии с положительными вещественными числами.

Степень 2/4 - это степень с показателем, равным значению выражения 2/4 (черту дроби можно рассматривать как знак деления!), т.е. с показателем, равным 1/2. Корень четвертой степени из квадрата - это не определение. Степень с дробным показателем определяется как корень из степени лишь при положительном основании. Степень с дробным показателем и отрицательным основанием в области действительных чисел не имеет смысла, но является частным случаем степени с комплексными основанием и показателем, которая определяется совсем по-другому, не через корень (а через экспоненту и логарифм) и имеет (при ненулевом основании) n значений, если показатель равен несократимой дроби m/n (m - целое ненулевое, n - натуральное) и бесконечно много значений при иррациональном или мнимом показателе. Корень n-й степени (n - натуральное) в комплексной области тоже существует и имеет n значений (если подкоренное выражение не равно нулю). √z=z^(1/2) для любого комплексного z, но это просто свойство, а не определение. И естественно, значение степени (или множество значений) ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель - 1/2, 2/4, 0,5, sin(pi/6) или как-то еще - формально мы должны это вычислить и получить в любом случае одно и то же число.

[fiviol]

И естественно, значение степени (или множество значений) ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель - 1/2, 2/4, 0,5, sin(pi/6) или как-то еще - формально мы должны это вычислить и получить в любом случае одно и то же число.

Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.

Ничего в этом зазорного нет, поскольку "ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель" - это просто фобия, возникшая от подсознательного желания, чтобы комплексные числа сохраняли все свойства действительных чисел. Но это невозможно, увы: например, привычное с детства свойство (z^x)^y = (z^y)^x, как видите, все равно не выполняется для дробных степеней комплексных чисел, и никакие эмоции типа "ни в коем случае не зависит от того..." тут не помогут.

[BAS14]

Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.

Дробную степень как функцию двух аргументов (комплексного основания и рационального показателя) нельзя определить ни так, ни так, потому что для рационального числа представление в виде дроби m/n не единственно. Ее можно определить, если наложить на m и n какое-то условие, чтобы оно было единственным, наиболее естественное условие - несократимость дроби. Но тогда (-1)^(2/4) по определению равно (-1)^(1/2) (если последнее определено). В противном случае у вас получается функция трех аргументов.

"ни в коем случае не зависит от того, в каком виде представлен его показатель" - это просто фобия, возникшая от подсознательного желания, чтобы комплексные числа сохраняли все свойства действительных чисел.

Неверно. Это логика, возникшая от сознательного желания, чтобы теория была непротиворечивой.

например, привычное с детства свойство (z^x)^y = (z^y)^x, как видите, все равно не выполняется для дробных степеней комплексных чисел, и никакие эмоции типа "ни в коем случае не зависит от того..." тут не помогут.

Да, не выполняется в общем случае, но при чем тут это? ((-1)^(1/4))^2 и ((-1)^2)^(1/4) не обязаны быть равны. А (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) обязаны (если определены) - при условии, что знаком ^ обозначена некая функция двух аргументов, а остальные знаки в этих выражениях имеют общепринятый смысл.

[fiviol]

Дробную степень как функцию двух аргументов (комплексного основания и рационального показателя) нельзя определить ни так, ни так, потому что для рационального числа представление в виде дроби m/n не единственно. Ее можно определить, если наложить на m и n какое-то условие, чтобы оно было единственным, наиболее естественное условие - несократимость дроби. Но тогда (-1)^(2/4) по определению равно (-1)^(1/2) (если последнее определено). В противном случае у вас получается функция трех аргументов.
Неверно. Это логика, возникшая от сознательного желания, чтобы теория была непротиворечивой.
Да, не выполняется в общем случае, но при чем тут это? ((-1)^(1/4))^2 и ((-1)^2)^(1/4) не обязаны быть равны. А (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) обязаны (если определены) - при условии, что знаком ^ обозначена некая функция двух аргументов, а остальные знаки в этих выражениях имеют общепринятый смысл.

Новый круг того же самого пустого разговора: обязаны - не обязаны. Кому обязаны и с какой стати, кроме того, что вам там хочется?

[BAS14]

Новый круг того же самого пустого разговора: обязаны - не обязаны. Кому обязаны и с какой стати, кроме того, что вам там хочется?

С такой стати, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число. Это не чья-то прихоть, это логика. Причем логика не субъективная практическая (чтобы кому-то было удобно), а строгая математическая (чтобы в теории не было противоречий).
Другими словами, имеется 3 утверждения:
1. 2/4=1/2.
2. Если f(x) - произвольная функция одного числового аргумента х, а - некоторое число, входящее в область определения этой функции и а=b, то f(a)=f(b ) (для многозначных функций равенство означает, что обе части принимают один и тот же набор значений).
3. Степень - некоторая функция двух числовых аргументов - основания и показателя (если основание зафиксировать, то одного аргумента - показателя). Заметьте, что здесь не важно, как именно вы определяете степень, лишь бы это была функция двух аргументов.
С каким из трех утверждений не согласны? Если со всеми согласны, то автоматически должны согласиться и с тем, что (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) либо равны, либо оба не определены. Точно так же, как соглашаясь с тем, что все люди смертны и Иванов - человек, вы автоматически соглашаетесь с тем, что Иванов смертен. Логика.

Кстати, еще добавлю по поводу этого:

Да, можно так определить дробную степень: z^(m/n) = (z^(1/n))^m (то есть это целая m-тая степень корня n-ной степени из z - понятия, определяемые в учебниках по комплексным числам). Тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - одно и то же, и тогда можно использовать обозначение (-1)^0,5.

А можно определить по-другому: z^(m/n) = (z^m)^(1/n). Ничем не более "неправильно". Но тогда (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) - разные вещи, а (-1)^0,5 - по-прежнему не определенное выражение.

Между прочим обозначение 0,5 - это на самом деле не что иное, как условная сокращенная запись дроби 5/10. И мы даже произносим это именно как "(ноль целых) пять десятых", но нечасто в это вдумываемся, и это особо не надо - потому что если с этим числом нужно далее производить какие-то действия, то имеет значение лишь величина этого числа, а не то, в результате каких действий оно появилось - хоть деления 1 на 2, хоть 5 на 10, хоть вообще не деления, а чего-то другого. Но если вы все же считаете, что важно, что на что делили, то извольте - (-1)^0,5 это вообще-то (-1)^(5/10) и по вашему второму определению это нужно трактовать как корень 10-й степени из -1, коих, естественно, в комплексной области имеется 10 штук. Интересно получается с таким определением, да? Запутаться можно в два счета, и почему? Да потому что это определение функции не двух аргументов, а трех, и если в записи (-1)^(2/4) еще можно при большом желании увидеть функцию трех аргументов -1, 2 и 4 (сославшись на то, что типа знак степени тут означает не совсем то, что обычно, и черта дроби не совсем черта дроби, но ведь такое определение тоже имеет право на существование, да?), то попытка замаскировать этот факт и выдать это определение все-таки за определение функции двух аргументов (чтобы создать впечатление, что оно может служить определением степени), впихнув два аргумента в один (путем замены обыкновенной дроби на десятичную, не осознавая, что десятичная - это просто такая форма записи некоторой обыкновенной дроби), только обессмысливает выражение.

Сообщение было отредактировано BAS14: 1.11.2017, 23:40