Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

John777
В данном случае безусловного матожидания не существует, поэтому говорить о такой сходимости нельзя. Но сам по себе факт отсутствия безусловного матожидания еще не означает отсутствие сходимости среднего по выборке к среднему арифметическому условных матожиданий. Простейший пример: пусть в первый конверт всегда кладется меньшая сумма, а во второй - большая, закон распределения считаем прежним. M(X)=M(Y)=бесконечность, несмотря на это, выгодно каждый раз брать второй конверт и в этом случае средний выигрыш в серии игр будет стремиться к среднему арифметическому условных матожиданий (которое не равно бесконечности).

4i3
Парадокс двух конвертов состоит в том, что конверт нужно менять ВСЕГДА, независимо от содержания конвертов. В вашем примере этого нет. Если в конверте обнаружится 1, менять не нужно.

[4i3]

4i3
Парадокс двух конвертов состоит в том, что конверт нужно менять ВСЕГДА, независимо от содержания конвертов. В вашем примере этого нет. Если в конверте обнаружится 1, менять не нужно.

Но в случае, если в конверте НЕ 1, обмен не может быть выгоден обоим игрокам, а по матожиданию выходит, что может..

[snav]

4i3
Выгодность обмена определяется фактической суммой, которую получает игрок, а не матожиданием. Большее матожидание не гарантирует, что вы получите большую сумму. Поэтому в этой ситуации нет ничего парадоксального.

[0]

Но в случае, если в конверте НЕ 1, обмен не может быть выгоден обоим игрокам

Почему вы считаете что не может? Таких примеров куча.

[4i3]

4i3
Выгодность обмена определяется фактической суммой, которую получает игрок, а не матожиданием. Большее матожидание не гарантирует, что вы получите большую сумму. Поэтому в этой ситуации нет ничего парадоксального.

Да, точно. протупил я
Это всё от желания уйти от бесконечностей. Ведь со времен книжки Гарднера помню классический вариант и классическое же объяснение. И тут читаю пресловутое сообщение №9 - и мир рухнул!
Хотелось увидеть в новом распеределении тот же изъян. Отсюда и попытки изобрести "не-совсем-функцию", описывающую бесконечно малую плотность вероятности на всей числовой полуоси.
Всё-таки до конца не мог поверить, что если функция распределения может быть описана, а матожидания нет, то такое распределение законно и имеет право на существование. По крайней мере бОльшее право на существование, чем бесконечно-равномерное распределение.

Правильно ли я понял суть? Представим себе организаторов этого аттракциона невиданной щедрости. Все что им нужно, это положить суммы 10^n и 10^(n+1) в конверты, для чего сгенерировать число n, используя дискретное экспоненциальное (геометрическое) распределение (1/2)^n. По сути, логарифм от денег в конверте имеет вполне конечное МО. А тот факт, что им прийдется класть в конверты не логарифмы, а баксы, это их проблемы

[Browdy]

Вот одна из многих статей на эту тему: http://www.syverson.org/2env.pdf

Авторы не считают парадоксом то, что в каких-то случаях (например в случае бесконечного матожидания) всегда выгодно менять конверт.

Парадоксом считается случай, когда одновременно можно доказать, что конверт нужно менять и что его не нужно менять.

Что касается игры в Сообщении 9, там действительно необходимо менять конверт в любом случае, т.к.

E(Х|Y = a) = 102a/30,

Парадоксом кажется то, что E(E(Х|Y)) = E(X) = 102E(Y)/30, а E(E(Y|X)) = E(Y) = 102E(X)/30, но тут нет ничего удивительного, т.к. E(X) и E(Y) бесконечны.

Мне кажется, предыдущее утверждение и является математической формулировкой фразы, что, даже не открывая конверты, нам выгодно менять Х на Y, а Y на Х, т.к., не открывая конверты, мы можем рассуждать только в таких терминах как E(E(Х|Y)).

То есть смущающая фраза по идее должна звучать так.

Если мы не будем открывать конверт, то в среднем (в смысле ожидания):

- условное матожидание величины денег во втором конверте будет в k раз больше величины денег в первом конверте

и одновременно

- условное матожидание величины денег в первом конверте будет в k раз больше величины денег во втором конверте

Противоречия нет, т.к. в среднем все эти величины равны бесконечности.

При этом эти рассуждения не решают парадокса в общем виде. В приведенной статье указываются другие распределения, при которых парадокс действует.

[nik_vic]

Если мы не будем открывать конверт, то в среднем (в смысле ожидания):

1/- условное матожидание величины денег во втором конверте будет в k раз больше величины денег в первом конверте

и одновременно

2/- условное матожидание величины денег в первом конверте будет в k раз больше величины денег во втором конверте

Противоречия нет, т.к. 3/ в среднем все эти величины равны бесконечности.

Противоречия нет по иной причине: 1/ и 2/ являются бессмыслицей из-за 3/.

[Kuna]

Было бы противоречие не было бы парадокса.

[Kantemir]

"Противоречия нет по иной причине: 1/ и 2/ являются бессмыслицей из-за 3/. "

Главное, что все поняли


Послушайте, а разве такой опыт является чистым, если открыть 1 конверт?

(Сам в тер.вере. несилен, но "кипит наш разум возмущенный" - точнее чувствую неправильность в этом)

[сапер]

Послушайте, а разве такой опыт является чистым, если открыть 1 конверт?

(Сам в тер.вере. несилен, но "кипит наш разум возмущенный" - точнее чувствую неправильность в этом)

Чище не бывает. Или у вас есть претензии об открытии сразу двух конвертов?
Да в нем(в теорвере) все не сильны до момента полного фиаско... Кто это проходил(реально), тот в конце концов понимает и нанимает аналитиков, просчитывающих всевозможные теории рисков
Приходилось иметь дело с мастером... Я ему: "Рассчитай", - а он: "да рассчитать не вопрос, но вот ни кто не знает как завтра плотность распределения изменится.
п.с. теорвер - гиблое дело. Всегда приходится опираться лишь на заданную плотность распределения... Либо решать более сложную задачу, включающую и моментальное изменение данных по ее(плотности) изменению.

Сообщение было отредактировано сапер: 7.3.2014, 15:52

[Kantemir]

Ясно)

[Aquapura]

Кто это проходил(реально), тот в конце концов понимает и нанимает аналитиков, просчитывающих всевозможные теории рисков

Всего не просчитаешь

теорвер - гиблое дело

Верно мыслите, товарищ. Они все до не знаю какой точности просчитали, а потом что-то такое случилось, чего никто из яйцеголовых считалкиных и предвидеть не мог. А отвечать за последствия кому? То-то

[SlvBuz]

"...Значит, поменяв конверт, я в среднем выиграю 125 долларов" - вот она ошибка в рассуждениях.
Мат ожидание не равно "в среднем выйграю" для расходящихся рядов.
Будем рассматривать случай из поста №9. (1 10 100 1000 ...)
Допустим первый человек всегда меняет выбор, а второй нет. Запишем все случаи в виде ряда.
Например 1ый увидел 10р тогда его чистый выигрыш есть 90р и в 2 раза более вероятен чистый проигрыш -9р и -9р. У второго (который не меняет) идет 2 раза выигрыш +9 и +9р и один раз проигрыш -90р.
Далее они видят 100р (этот случай в 2 раза менее вероятен, чем увидеть 10р (3/8 против 3/4)) тогда
1ый +900 -90 -90 2ой +90 +90 -900.
Составим такой (расходящийся) ряд: будем брать чистый выигрыш 1-го и вычитать из него чистый выигрыш 2-го, если сумма ряда положительна, то стратегия 1-го лучше, если сумма=0, то у них одинаковые стратегии.
Итак +90 -9 -9 -(-90 +9 +9) + 1/2 (900 -90 -90 -(-900 +90 +90)) +1/4(9000 -900-900 -(-9000 +900 +900))...
Чему равна сумма?
Теория принятия решений, а также интуитивная симметричность задачи говорит нам складывайте по 6 слагаемых, как вот они идут, так и складывайте. Мы складываем 180-4*9+1800-4*90+18000-4*900=144+1440+14400... - сумма ряда положительна, значит 1ый молодец.
Но можно сложить и по другому: посмотрим на вторую шестерку: 4 раза по - 90 взаимоуничтожатся с двумя +90 из первой шестерки, а 2 раза по полюс 900 из второй шестерки взаимоуничтожатся в 4 раза по -900 из третьей шестерки, и так далее :- сумма рада = 0 (если пренебречь краевыми эффектами).
Иными словами: первый, конечно если увидит 10 рублей один раз из трех выиграет, но 100, НО второй, не "рискуя" если увидит 100 р два раза из трех эту сотню в карман положит (правда сотню в конверте он в 2 раза реже увидит, чем 10ку), так что то на то и выйдет.
Все зависит от того, как считать сумму расходящегося ряда, а мы люди умные и на провокации про расходящиеся ряды не поддаемся. Ну и эта задача - не исключение.

[msuhunter]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Пусть в одном конверте X рублей, а во втором 2X рублей

Вся ошибка в рассуждениях основывается на том, что увидав, что в конверте Y денег мы считаем, что равновероятно следующее событие - либо 1/2Y либо 2Y, а на самом деле Y и X в задаче не есть одно и то же.

Формула 1/2*1/2Y+1/2*2Y не применима, так как Y у нас не фиксированное число.
В нашем случае открывание второго конверта это не случай Y/2 или 2*Y, а случай Y+X или Y-X
В этом случае имеет следующее матожидание: 1/2(Y-X)+1/2(Y+X)=Y, то есть без разницы, какой конверт выбрать

Другими словами если в конверте 2 и 4 рубля, то при выборе второго конверта у нас 2 ситуации - мы либо получим на 2 рубля больше, либо на 2 рубля меньше, то есть в общем случае наш выбор ничего не изменит. так как оставив первый конверт в общем случае мы вытащим либо на 2 рубля больше, чем во втором, либо на 2 рубля меньше, т.е. случаи равновероятны и не зависят от суммы, которую мы увидали в первом конверте.

[Сократил объем цитаты. Пожалуйста, избегайте оверквотинга.]

Сообщение было отредактировано snav: 30.8.2014, 9:08

[snav]

Формула 1/2*1/2Y+1/2*2Y не применима, так как Y у нас не фиксированное число.

Вы открываете конверт и видите там 4 доллара — это фиксированное число.

В нашем случае открывание второго конверта это не случай Y/2 или 2*Y, а случай Y+X или Y-X
В этом случае имеет следующее матожидание: 1/2(Y-X)+1/2(Y+X)=Y, то есть без разницы, какой конверт выбрать

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
M(Z) = p1*z1 + p2*z2 + ... + pN*zN,
где z1, z2, ..., zN — все возможные значения случайной величины Z (т.е. фиксированные числа), а p1, p2, ..., pN — вероятности появления соответствующих значений (т.е. вероятности событий Z=z1, Z=z2, ..., Z=zN).

Допустим, вы увидели 8 долларов (Y=8). Если следовать вашим рассуждениям, то количество денег в другом конверте либо Z=(8-x1), либо Z=(8+x2), где x1=4, x2=8. То есть x1 и x2 — это два разных числа, которые вы, почему-то, обозначили одной и той же буквой X. Затем вы подставляете букву X в формулу расчета матожидания так, словно x1=x2. Это некорректно.

[Breghnev]

Не даёт мне покоя эта тема. В исследованиях бесконечностей я, признаться, слабоват. Поэтому хочу разобраться хотя бы с конечным вариантом задачи. Скажите, можно ли поставить её следующим образом?

Существует некоторое конечное количество пар конвертов таких, что в одном из конвертов пары сумма ровно в два раза больше, чем в другом. При этом в первой паре конвертов (с наименьшими суммами) лежат 1 и 2 рубля, во второй - 2 и 4 рубля, в третьей - 4 и 8 рублей и т.д. Вам неизвестно, какие суммы могут лежать в конвертах (известно только первое условие про соотношение сумм в конвертах).
Случайным образом выбирается пара конвертов (с равной вероятностью для каждого), после чего вам позволено выбрать и открыть один из двух конвертов на выбор и пересчитать в нём деньги. После этого вы должны решить: взять себе этот конверт или обменять его на второй (без возможности повторного обмена). Что делать: менять конверт или нет?

Корректна ли постановка задачи? Сходна ли она с классической? Есть ли место парадоксу в такой формулировке?
У меня есть твёрдое мнение на этот счёт, но я бы хотел сначала услышать что-то от вас.

Сообщение было отредактировано Breghnev: 13.8.2015, 21:37

[0]

Корректна ли постановка задачи? Сходна ли она с классической? Есть ли место парадоксу в такой формулировке?

Нет не схожа.
Если конвертов N то
с вероятностью 1/2N получишь гарантированный выигрыш при смене конвертов,
с вероятностью 1-1/N получишь равные шансы удвоиться или ополовиниться (в среднем выигрывая по деньгам)
и с вероятностью 1/2N гарантированно потеряешь от смены и потеряешь как раз столько сколько выигрываешь в остальных случаях

[Breghnev]

Получается, если критерием выбора является матожидание, то парадокс существует только при условии бесконечного матожидания для закрытых конвертов? И классический случай, и пример из сообщения #9 именно такую ситуацию описывают, верно?
С равнозначностью начального выбора вроде бы всё ясно, в обоих конвертах бесконечность, да и вообще они неразличимы между собой. После вскрытия конверта выгодность обмена тоже кажется очевидной, потому что отсутствует пара конвертов, один из которых содержит максимально возможную сумму: тот, который менять невыгодно, ведь именно его обмен по стратегии "всегда менять" компенсирует все дополнительные выигрыши для всех других пар конвертов.
Проблема заключается в том, каким образом выбрать из бесконечного набора пар конвертов.
а) С одной стороны, мы, похоже, задали корректную математическую модель (сообщение #9), которая описывает бесконечное количество пар конвертов, в которых может находиться любая (бесконечно большая) сумма денег.
б) С другой стороны, мы утверждаем, что в любой выбранной паре конвертов содержится конечная сумма денег.
С обывательской точки зрения выглядит противоречиво. Как выразился один из участников форума, в конверт хотя бы иногда должны класть бесконечное количество денег, что бы это ни значило Я, как обыватель и неспециалист в математике, не буду утверждать, что здесь есть ошибка, просто делюсь наблюдениями. Мне интересно, для математиков в порядке вещей совмещение "а" и "б"? Как выбрать конкретный элемент из бесконечного набора элементов? Как можно подбросить n-гранный кубик при n стремящемся к бесконечности?

[snav]

Получается, если критерием выбора является матожидание, то парадокс существует только при условии бесконечного матожидания для закрытых конвертов? И классический случай, и пример из сообщения #9 именно такую ситуацию описывают, верно?

Верно только для сообщения #9. В исходном (классическом) варианте парадокса распределение не задано, поэтому априорное матожидание там неизвестно. Существуют также варианты парадокса с конечным математическим ожиданием, но там используется другой критерий принятия решения. То есть в общем случае, парадокс двух конвертов не связан с бесконечностью матожиданий, как иногда ошибочно считают.

Проблема заключается в том, каким образом выбрать из бесконечного набора пар конвертов.

Представьте, что ваш спонсор бросает монету. Если выпадает орел, монета бросается снова. Если опять выпадает орел, монета бросается еще раз и так далее, пока не выпадет решка. Затем в конверты кладутся 10^k и 10^(k+1) долларов, где k — количество выпадений орла.
Разумеется, монета — это математическая абстракция. В реальном мире никакая монета не даст идеальную вероятность 1/2.

Как выразился один из участников форума, в конверт хотя бы иногда должны класть бесконечное количество денег, что бы это ни значило

По поводу "бесконечного количества денег" писал здесь:
https://www.braingames.ru/forum/index.php?s...indpost&p=73001

[0]

Верно только для сообщения #9. В исходном (классическом) варианте парадокса распределение не задано, поэтому априорное матожидание там неизвестно. Существуют также варианты парадокса с конечным математическим ожиданием, но там используется другой критерий принятия решения. То есть в общем случае, парадокс двух конвертов не связан с бесконечностью матожиданий, как иногда ошибочно

В классическом варианте просто ошибочно посчитано условное матожидание для принятия решения.

То если если не задано распределение то посчитать нельзя не только априорное матожидание но и после открытия конвертов.
Либо матожидание бесконечно и тогда действительно выгоднее поменять конверт.