Я думаю, что в букваре задания есть, а в азбуке нет.
По-моему, так:
Азбука - это сам алфавит - "Аз, Буки, Веди..."
А букварь - это книга о буквах.
Вики:
Буква́рь (азбука, буквица) — учебное пособие для обучения грамоте
А́збука (от аз и буки) — то же, что алфавит, чаще всего используется для обозначения кириллического алфавита[1].
Азбука — букварь, книга для изучения алфавита.
Т.е. это синонимы, с дополнительным значением у слова "азбука".
Интересно, как будет развиваться в дальнейшем: обычно, язык быстро избавляется от полных синонимов, добавляя им какие-то дополнительные индивидуальные оттенки значения, но тут у Азбуки с обоих концов стоят алфавит и букварь.