Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
snav |
26.11.2009, 10:04
Сообщение
#2
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером.
Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта. Таким образом, смена конверта не может увеличить среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения. |
Powered by Java |
26.11.2009, 13:23
Сообщение
#3
|
Активный участник Группа: Модераторы BrainGames Сообщений: 544 Регистрация: 9.6.2008 Пользователь №: 8 397 |
John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситуации еще одним примером. Кладем деньги в конверты (в один конверт - в два раза больше, чем в другой), тщательно перемешиваем конверты и кладем их на стол. Теперь приглашаем двух человек. Один заглядывает в левый конверт и приходит к выводу, что ему выгоднее взять правый конверт. Другой участник смотрит в правый конверт и приходит к выводу, что выгоднее взять левый. Каждый меняет конверт и получается, что в среднем они оба выигрывают!!! Надеюсь, вы согласитесь, что такое невозможно. Иначе придется признать, что при большом числе испытаний они вместе выиграют больше денег, чем за всё это время было положено в оба конверта. Таким образом, смена конверта не увеличивает среднестатистический выигрыш, т.е. менять или не менять конверт - не имеет значения. Первый и второй участник находятся перед разным выбором. И говорить, что они выиграли или проиграли при смене конверта одинаково нельзя! Давайте построим все таки модели испытаний, из которых будут очевидны плюсы и минусы принятия решения, и определимся, что мы сравниваем. Модель 1. Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с конвертом в котором больше денег? Описываем эксперимент: Выбираем случайное число X на каждом испытании и в 2 конверта раскладываем X и X*2 денег. Случайным образом выбираем первый конверт. Суммируем кол-во угаданных с первого раза за стратегию оставить первый, не угаданных за стратегию взять второй. Сравниваем и получаем, что шансы равны. И симметричность и мат ожидание скажут, что нам все равно. Ведь тут мат ожидание не конкретной суммы денег, а угадать конверт. Модель 2. Формулируем вопрос: Как поступить, чтобы уйти с бОльшим кол-вом денег, если сумма в конвертах выбирается случайным образом для всех испытаний? Описываем эксперимент: Каждый раз выбираем случайное число X. Раскладываем деньги, делаем выбор, суммируем полученные деньги и сравниваем суммы у игроков... Постойте! А как можно сравнить выигрыш в 1$ и в 10$ и проигрыш в 0.5$ и 5$? Нужна норма! -- Модель 2.а, нормируем случайное число х. Таким образом получим, что пара будет выбираться каждый раз одна. В такой формулировке и мат ожидание и симметричность скажут, что нам все равно, какой конверт выбирать. Условия задачи допускают много трактовок. Если первоначальную сумму в конвертах считать заданной, а факт обнаружения в конверте конкретной суммы игнорировать (т.е. утверждать, что игрок обнаружит фиксированные значения X и X*2 с вероятностью 50х50), то получим вполне законный и обоснованный результат. А можно ли так трактовать? Конечно да Данная задача не описывает конкретную модель, которая может/не может быть применима. Именно эта модель должна быть использована в в примере из цитаты svan. Бесспорно, что и мат ожидание такой модели выдаст 50х50 и противоречий не возникнет. -- Модель 2.б, нормируем открытую сумму из первого конверта. Тогда получим, что в конвертах может быть либо X и X*2, либо X и X/2 с равной вероятность, где X - деньги из первого открытого конверта, на которые нормируем. Эта модель и позволяет говорить о бОльшем мат ожидании во втором конверте и отсутствии симметричности. Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм. А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства. |
tatunya |
26.11.2009, 14:22
Сообщение
#4
|
Участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 225 Регистрация: 4.9.2008 Пользователь №: 9 774 |
.... Можно ли модель 2.б применить к этой задаче? Вполне. Задача, опять же, не имеет четко-заданных ограничений на применимость обеих норм. А в чем ошибка док-ва, которую следует найти? В том, что использованы две разные и не совместимые модели для доказательства. Как много букв, но может этот парадокс и пытаются разрешить, что при разных моделях (подходах) разный результат. И в моем понимании, чтобы разрешить парадокс, надо найти причину для неприменимости какой-либо модели. Что такое ожидание? Это некая величина, которая будет в среднем в бесконечном кол-ве испытаний. Именно ее мы и ищем. А есть ли это бесконечное число испытаний после открытия первого конверта? Как здесь надо трактовать матожидание и почему им можно руководствоваться? |
Powered by Java |
26.11.2009, 15:38
Сообщение
#5
|
Активный участник Группа: Модераторы BrainGames Сообщений: 544 Регистрация: 9.6.2008 Пользователь №: 8 397 |
Как много букв, но может этот парадокс и пытаются разрешить, что при разных моделях (подходах) разный результат. И в моем понимании, чтобы разрешить парадокс, надо найти причину для неприменимости какой-либо модели. В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах. Это и позволяет нам строить 2 разные по сути и решению модели. Если конкретизировать модель тем или иным образом, парадокс исчезнет сам собой. Давайте поясню на примере парадокса Монти-Холла, который не вызывает сомнений. В оригинале, ведущий всегда открывает дверь с козой. Это в нашем случае аналогично модели 2.б. Представим себе, что в условии было: ведущий всегда открывает 3-ю дверь (даже если там авто или игрок выбрал именно третью дверь). И вот ситуация, игрок выбрал первую дверь, а ведущий открыл 3-ю и за ней коза. Стоит ли ему менять выбор? В такой трактовке - все равно. Это аналогично модели 2.а. Все споры вокруг задачи двух конвертов в том, что ограничения на обе модели а и б нет! И каждый начинает трактовать условия в пользу одного либо другого подхода, а некоторые, в пользу обеих сразу и получают парадокс. Мое личное мнение (аргументированное), обе модели корректны в рамках поставленных условий и парадокса нет. А вот условие задачи - не полное. |
tatunya |
26.11.2009, 16:05
Сообщение
#6
|
Участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 225 Регистрация: 4.9.2008 Пользователь №: 9 774 |
В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах. Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью (я рассматриваю именно корректную вероятностную модель, приведенную snavом в комментариях). В оригинале, ведущий всегда открывает дверь с козой. Представим себе, что в условии было: ведущий всегда открывает 3-ю дверь Это уже просто две абсолютно разные задачи, а тут одна задача, корректная и жизненная, по моему личному мнению она не может быть не полной. Лично вы будете менять конверт? |
Powered by Java |
26.11.2009, 16:17
Сообщение
#7
|
Активный участник Группа: Модераторы BrainGames Сообщений: 544 Регистрация: 9.6.2008 Пользователь №: 8 397 |
Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью (я рассматриваю именно корректную вероятностную модель, приведенную snavом в комментариях). Если вероятностная модель известна, то парадокса быть не может! Весь парадокс основан на отсутствии именно этой информации. Это уже просто две абсолютно разные задачи, а тут одна задача, корректная и жизненная, по моему личному мнению она не может быть не полной. Лично вы будете менять конверт? Пусть я открыл конверт и там 4$. Если мне гарантируют, что в конверт могла попасть пара 2-4 с той же вероятностью, что и пара 4-8, то да. Если не гарантируют, то буду субъективен. |
Упрощённая версия | Сейчас: 25.4.2024, 20:40 |