Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[John777]

Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?

[snav]

Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?

Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает.

[John777]

Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает.

Не понял.
Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше?

[snav]

Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше?

Вы меня сильно озадачили.
Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре.

Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n...

Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму...