Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате
Форум Игры разума [braingames] _ Разминка для мозгов _ Песочные часы
Автор: SinsI 6.4.2018, 7:09
Как вы думаете, если песочные часы во время использования немного наклонить (грудусов на 15-20), то что произойдёт с отмеряемым ими временем - уменьшится, увеличится или останется неизменным?
Автор: alan 6.4.2018, 8:13
Ну если наклонить на 90 градусов, то песок вовсе перестанет течь = часы будут отменять 0 секунд - время уменьшится.
Если наклонить на очень маленький угол, то весь песок по преднему будет перетекать туда и назад, но сила тяжести уменьшится - время увеличится.
Т.е. зависимость не монотонная,а 20 градусов - это промежуточный угол и он будет зависеть от формы часов.
Автор: Owen 6.4.2018, 12:13
С песком есть сложности, давайте я отвечу про клепсидру, водяные часы, полный аналог песочных, только рабочее тело иное.
Расход воды из дырочки пропорционален сечению дырочки, сечению свободной поверхности и давлению сверху (это легко понять, если записать, скажем, закон сохранения энергии). Если считать, что сверху полусфера, то все сечения при наклоне остаются неизменными, но давление падает как 1-cosA. То есть время в таких часах течет медленнее. В пределе, когда часы кладут на бок, оно замедляется бесконечно.
Если же форма более хитрая, то и изменение скорости будет более хитрым.
Интересно, кстати, прикинуть, какой должна быть форма часов, чтобы истечение воды было равномерным (при вертикальных часах), но лень даже в уме это делать =)
Автор: BuPTy03 6.4.2018, 15:06
Вселенная достала экономить на мне ресурсы: буквально полчаса назад читал о том как многие математики решали задачу о том какой должна быть форма сосуда для достаточно равномерного вытекания )
Автор: Owen 6.4.2018, 16:02
Кинь ссылку! Кажется, что там простой диффур получается. И важна только зависимость сечения от высоты, больше ничего.
Автор: Nikita146 6.4.2018, 16:21
Да речь, скорее всего, про сосуд Мариотта. А тот, о котором ты говоришь, вроде находили как-то на теорфизе, там что-то получается в духе асимптотически суживающегося сосуда, т.е. на практике не сделать
Вроде было решение в Ландавшице
Автор: BAS14 6.4.2018, 18:08
Не 0, а бесконечность.
...
Автор: Nikita146 6.4.2018, 18:37
Баллон запаян — давление над поверхностью уменьшается. Можешь как раз почитать про сосуд Мариотта
Автор: BAS14 6.4.2018, 18:46
А, точно, протупил, почему-то представил себе сосуд открытым
Автор: BuPTy03 6.4.2018, 19:36
Статья была про историю часов, а не математику, так что никаких уравнений там не было, только упоминание нескольких известных людей, занимавшихся этой проблемой )
Автор: Loban 6.4.2018, 21:07
Много умных и незнакомых слов.
Поясните для дилетанта:
Пусть песчинка - это шар, горловина часов = диаметру шара.
1. десяток шаров расположены вертикально.
2. десяток шаров расположены на плоскости под углом 45 градусов.
В 1-ом случае шары упадут быстрее?
Автор: Owen 6.4.2018, 23:34
На этот вопрос нет ответа, пока не решили, что делать с трением. Если, скажем, его нет, то все шары движутся сами по себе, равноускоренно с ускорением gcosA. Пройти им надо (2n-1)RcosA, так что время, когда последний покинет верхнюю половину - sqrt(2R(2n-1)/g), от угла не зависит, пока часы не лежат горизонтально.
При этом на дно последний шар упадет тем раньше, чем вертикальнее часы, т.к. начальная скорость при прохождении горловины выше.
Автор: SinsI 7.4.2018, 17:34
При этом на дно последний шар упадет тем раньше, чем вертикальнее часы, т.к. начальная скорость при прохождении горловины выше.
Трение есть, и оно играет ключевую роль - песок сыплется достаточно равномерно, а не равноускоренно...
Автор: Loban 7.4.2018, 22:06
А кто сказал, что песок сыплется равноускоренно?
Равноускоренно движутся шары из моего вопроса.
Увы, но похоже, он оказался не совсем в тему...
А вот ключевая роль трения вызывает сомнение.
Автор: Owen 7.4.2018, 23:59
Ну, трение важно, нельзя им пренебрегать. Но можно еще упростить дело, если частички песка много меньше отверстия, тогда песок можно с некоторыми оговорками считать жидкостью. А если еще нет трения между стеклом и песчинками, то, кажется, и оговорок толком не останется.
Автор: Loban 13.4.2018, 4:30
Расход воды из дырочки пропорционален сечению дырочки, сечению свободной поверхности и давлению сверху (это легко понять, если записать, скажем, закон сохранения энергии).
Песочные часы - это измерительный прибор, показания которого подчиняются некоторым принципам.
Для определённости будем считать, что объём песка в часах 4V и часы отмеряют 4 минуты.
1. Ровно за 4 минуты через горловину часов просыпется весь песок объёмом 4V.
2. Пусть за 1 минуту через горловину часов просыпется песок объёмом v. Перевернём часы. Ровно за 1 минуту весь песок объёмом v через горловину часов вернётся обратно.
Вывод: за 1 минуту через горловину часов просыпется песок объёмом v, независимо от того сколько песка над горловиной 4V или v. Значит, расход песка не зависит от давления сверху.
Автор: Owen 14.4.2018, 11:15
> Перевернём часы. Ровно за 1 минуту весь песок объёмом v через горловину часов вернётся обратно.
Обоснуйте это утверждение, пожалуйста.
Автор: Nikita146 14.4.2018, 11:19
Обоснуйте это утверждение, пожалуйста.
Странно, что этот вопрос не возник применительно к задачам на сайте!
Автор: Loban 14.4.2018, 17:43
Спасибо. Таки да
Как мне кажется, на этом принципе построены решения практически всех задач о песочных часах.
Автор: SlvBuz 15.4.2020, 0:08
А мне казалось, что скорость истечения зависит от столба воды над дыркой и не зависит от формы часов