С математической? Ок. Но сначала, snav, скажите, в усиленном варианте парадокса
а) какое будет среднее значение суммы в том первом конверте, который мы берем?
б) мы первый конверт открываем до того, как делаем выбор между первым и вторым конвертом?

semiSvetik
а) Если вы имеете в виду безусловное матожидание, то оно бесконечно (ряд расходится к бесконечности).
б) Существуют два варианта рассуждений: 1) мы реально открываем первый конверт, а затем делаем выбор, 2) мы мысленно представляем, что открыли первый конверт, но на самом деле оба конверта закрыты. По сути это эквивалентные задачи. Лично мне больше нравится второй вариант (там парадоксальность более наглядна), но можно решать любой.

Я не зря задала именно эти два вопроса. Если мы конверт не открываем, то усреднять содержимое второго конверта нужно не по "некоторому фиксированному" значению перового, а по усредненному (т.е. усреднять по всем возможным элементарным следствиям), но тогда мы сравниваем две бесконечности, и говорить, что одна больше, чем другая, смысла нет.
Если мы открываем первый конверт, то в нем уже фиксированная сумма, которую мы видим, и именно с ней будем сравнивать среднее значение во втором конверте. Тогда вывод вполне логичный о том, что менять надо.
Никаких парадоксов
Да нет, я, конечно понимаю, что следующим Вашим вопросом, snav, будет ... или не будет?

Я же не проверяющий, чтоб задавать вопросы. Не хотите вникать в суть задачи - воля ваша.

Если бы не хотела - не продолжала бы эту тему. Я имела в виду, что два мои предыдущие ответа с одной стороны "полностью" объясняют этот парадокс, но с другой стороны есть один-единственный вопрос, который может показать "несостоятельность" этих моих объяснений. Без этого вопроса парадокс как-бы исчерпан Вопрос звучит так: если конверт не открываем, то нет смысла менять конверт, если открываем, то обязательно меняем конверт, НО почему меняем, если это не зависит от того, чтО увидим в конверте (слово "обязательно" в этом предложении), т.е. должно быть аналогично тому, что мы не открывали конверт, а для неоткрытого менять не надо? Вот об этом вопросе я говорила. Логика общего ответа (как я его вижу) такова: если не знаем, от чего отказываемся, то нет смысла менять шило на мыло, а если знаем, то можем принимать уже осмысленное решение, т.е. есть с чем сравнивать. Т.е. как только мы открыли первый конверт, мы уже рассматриваем другую оптимизационную задачу (т.е. целевая функция осталась, но условия поменялись). Если конверт не открыт, то максимум может быть достигнут с равными вероятностями к в первом, так и во втором конверте, а если открыт, то вероятности уже не равные. Мы же в парадоксе, не открывая первый конверт, на самом деле делаем вид, что открываем его, делая предположение "представим, что в выбранном первом конверте 10^n денег" (тем самым меняем условие задачи на лету). А потом говорим, что во втором конверте "в среднем" больше денег. Больше при каком условии? При фиксированном n, а если n неизвестно, то усреднять нужно и по нему тоже - в результате получим, что мы сравниваем две бесконечности (это все равно, что сказать, что целых ненулевых чисел больше, чем натуральных, в два раза). Просто так их сравнивать нельзя.
Многа букафф получилось, т.к. я пыталась тремя разными способами выразить одну и ту же мысль в надежде, что одна из формулировок окажется более понятной.

Посмотрите с этой точки зрения на разные стратегии двух "счастливчиков" в условиях, когда (неизвестное) распределение лишено неприятностей, связанных с бесконечностью. Первый смотрит и потом принимает решение поменять, второй меняет, не открывая.

Именно, в мешке - конечное число пакетов, каждый содержит два конверта с суммами, отличающимися в два раза.

Ваши рассуждения напомнили мне Лису Алису, когда она делила с Котом Базилио пять золотых: "Пять на два не делится. Попробуем разделить на пять. Получается один. Получай, Базилио, свой золотой". Так же и у вас: "В среднем больше при фиксированном n. Но n мы не знаем. Давайте усредним по всем числам. Получаем бесконечность. Бесконечности сравнивать нельзя. Парадокс исчерпан". ))))

Нет, не "давайте усредним", а "нужно усреднять". А это, как говорят в Одессе, - две большие разницы.

semiSvetik
Разумеется, я немного утрировал ваши слова. Я просто хотел сказать вам, что в ваших рассуждениях не видно логики.

Для любителей искать физический смысл матожидания обычно объясняют так: это средний результат для большого числа экспериментов. Для кубика 3,5 соответствует тому, что сумма очков при большом количестве бросаний будет примерно такой же, как если бы на всех гранях было 3,5.

В обновленном варианте (сообщение #9) устранено несуществующее равномерное распределение на бесконечном промежутке, но осталась "несуществующая" (абстактно-математическая) случайная величина с бесконечным матожиданием. Т.е. при большом количестве экспериментов (не важно, в параллельных вселенных или повторенных последовательно бесконечно богатыми организаторами) в среднем в первом конверте будет бесконечно баксов. Поэтому бессмысленно менять эту бесконечность на пол-бесконечности или бесконечность*2.

"Обнаружив в первом конверте совершенно конкретную конечную сумму..." СТОП! если существует этот самый бесконечно щедрый орг, то в первом конверте вы должны регулярно (ну хотя бы иногда) обнаруживать бесконечную суму, иначе вас дурят .

Расходимость в новом условии обеспечивается более быстрм ростом экспоненты 10^n по сранению с убыванием вероятности (1/2)^n. Вероятность обнаружить бесконечную сумму бесконечно мала, но при этом матожидание бесконечно (=ожидаем в среднем накопить бесконечность при повторении опытов).

В этом мне видится противоречие в условии (даже обновленном). Так же как не имеет смысла "бесконечно-равномерное распределение", не имеет право на существования случайная величина с бесконечным МО (согласен с alan'ом по поводу пересмотреть акиоматику)

Вопрос выгодно/невыгодно можно разрешить, только повторяя экспериминт многократно. Т.е. статистически проверить можно теоретические выкладки (на миллионе участников - обоготятся или нет, меняя по сравнению с контрольным миллионом, которые не меняют). Но эксперимент даст сравнение бесконечности с бесконечностью, если честно провести его строго с условием задачи, и предположив, что данная случайная величина и неограниченная финансами всепленная существуют.

ИМХО: парадокс отсутствует, поскольку:
- или не существует такой случайной величины (если постулировать это)
- или, если все же существует, в первом конверте (иногда) бесконечность, поэтому сравнивать со вторым с точки зрения выгоды бессмысленно.

И еще подумал: В новом варианте по сравнению с классическим денежная масса бесконечна, но дискретна.
Т.е. продолжение "право" есть (1и 10, 10 и 1000, ...), а "влево" нету (0,1 и 1, 0,01 и 0,1 ....) - иначе суммарная вероятность не сойдется к 1. Если продолжить влево, то вероятность каждой пары должна стремиться к нулю, как и в случае с несуществующим равномерным распределением на бесконечном промежутке.
Таким образом, в новом варианте стратегии "по-любому менять" или "менять-вообще-не-глядя" совсем не то же самое, что стратегия "Открыть конверт и менять, только если там 1 доллар". Ведь 1 доллар увидят в среднем 25% игроков.
В популярном варианте парадокса с двумя игроками, которые могут поменяться только по ОБОЮДНОМУ согласию, если оба все время меняются, никто не в плюсе в силу симметрии, а если один используют стратегию "менять только 1 доллар", а второй "не менять вообще и не смотреть вообще, потому как все равно симметрия", то первый вроде как подымется. Т.е. "менять всегда" работает только благодаря этому случаю, когда видим 1 доллар (а случай при заданном распределении не такой уж и редкий)

Мне кажется, пора установить истину практикой, ибо она критерий её... ))
Почему бы не смоделировать эксперимент на компе с двумя участниками - один будет постоянно менять конверты, другой нет. Ну и посмотреть кто в итоге окажется богаче при миллиарде (к примеру) таких операций...

Ды, хоть при миллиарде миллиардов операций результат будет случайным (он будет отличаться от одной серии генераций к другой), т.к. заданная случайная величина не имеет мат. ожидания. Среднее по выборке сходится к мат. ожиданию, только если оно существует! (где ты, Капитан Очевидность? )

Строго говоря, это неверно. Отчасти именно благодаря этому заблуждению существует данный парадокс. ))


Не совсем так. Рассмотрим статистическую версию парадокса, которую рассматриваете вы (игра повторяется много раз). Пусть X и Y - количество денег в первом и втором конверте в отдельном раунде игры. Когда мы говорим о выгодности обмена, мы должны сравнивать не математические ожидания M(X) и M(Y), а фактические суммы, которые вы получите на руки при разных стратегиях поведения. Ведь согласитесь, что как игрока вас интересует не абстрактное математическое ожидание выигрыша, а реальное количество денег, которое вы унесете с собой по сумме всех игр. В каждой отдельной игре случайные величины X и Y принимают некоторые конкретные значения x и y. Эти значения являются обычными натуральными числами, т.е. в конверты каждый раз кладутся вполне определенные (конечные) суммы денег. Иногда ошибочно думают, что числа x и y могут быть бесконечно большими. Но это не так. В классической математике, которой мы пользуемся, нет понятия "бесконечно большое число", так же как нет понятия "конечное число". Числа могут быть сколь угодно большими и сколь угодно малыми, но они всегда остаются нормальными числами, с которыми можно выполнять все обычные математические операции. Бесконечными и конечными бывают множества чисел, но к парадоксу двух конвертов они не имеют отношения. Что же касается бесконечности математических ожиданий M(X) и M(Y), то это лишь формальный термин, под которым подразумевается расходимость соответствующих рядов.

Таким образом, в каждой игре в конверты закладываются некоторые суммы x и y. По совокупности n игр мы получим n пар чисел: (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn). Очевидно, что если мы будем в каждой игре оставлять себе конверт X, наш суммарный выигрыш составит Sx = x1+x2+...+xn долларов. Соглашаясь на обмен, мы получим Sy = y1+y2+...+yn долларов. Здесь Sx и Sy — это суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых является натуральным числом, поэтому с математической точки зрения нет никаких препятствий к тому, чтобы посчитать эти суммы и сравнить их между собой, узнав, выгоден был обмен или нет. Таким образом, несмотря на то, что математические ожидания M(X) и M(Y) равны бесконечности, мы вполне можем сравнивать стратегии друг с другом.

Статистический парадокс утверждает, что при достаточно большом числе игр среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y будет больше среднего арифметического наблюдавшихся значений X, т.е. Sy/n > Sx/n, а следовательно, Sy > Sx. Другими словами, получается, что при использовании стратегии "всегда соглашаться на обмен" ваш фактический суммарный выигрыш должен быть больше. Заметьте, в наших расчетах нигде не фигурируют значения M(X) и M(Y), поэтому их бесконечность не могла повлиять на корректность полученного результата.

Ошибка в другом. В своих рассуждениях мы неявно опираемся на свойство статистической устойчивости среднего арифметического значения случайных величин, а именно: "для большого числа независимых случайных величин среднее арифметическое наблюдавшихся значений этих случайных величин приблизительно равно среднему арифметическому их математических ожиданий". В теории вероятностей это положение носит название закона больших чисел. Однако не все случайные величины подчиняются закону больших чисел, и как раз в нашем случае это закон не выполняется (это можно доказать). Поэтому с ростом числа испытаний сумма Sy не будет стабилизироваться около суммы условных матожиданий (как это имело бы место при выполнении закона больших чисел), а будет совершать неограниченные флуктуации в большую или меньшую сторону. Поэтому неверно, что в долгосрочной перспективе стратегия "всегда брать второй конверт" является более выгодной. Руководствуясь этой стратегией, мы можем по сумме игр как выиграть, так и проиграть.

Именно в этом разгадка статистической версии парадокса. Есть еще другая интерпретация парадокса - с позиции теории принятия решений при однократной игре. Там другое решение.


John777, в данном случае речь идет не о сходимости к безусловному матожиданию (которого не существует), а о сходимости к среднему арифметическому условных матожиданий (они то как раз существуют). В этом смысле все четко.


Истина очевидна и без эксперимента. Вопрос был в том, где ошибка в рассуждениях.
Мне казалось, что все уже разобрались.

P.S.
Несколько раз порывался написать подробный разбор разных версий этого парадокса, но у меня нет литературных способностей, поэтому ничего путевого не выходит. В итоге забросил эту затею.

Жаль! Было бы здорово.

По поводу версии из сообщения #9 хотелось бы услышать, например, чем заданное распределение (с бесконечным матожиданием=расходящейся суммой) лучше равномерного распределения на бесконечном отрезке. Он посему считается несуществующим? матожидание тоже бесконечно и к тому же вероятность каждого исхода бесконечно мала. Ну и что? Представим себе такой закон - эдакакя дельта-функция Дирака, лежащая на боку, бесконечно узкая и бесконечно длинная, с интегралом=1 Такое распределенее не болеее "нереально", чем и в версии №9.

1. С точки зрения решения парадокса не имеет значения, существует ли равномерное распределение на бесконечной полуоси или нет, поскольку ключевая ошибка не в распределении, а в неправильном применении закона больших чисел.

2. Между равномерным распределением (назовем его R(x)) и дельта-функцией есть существенное отличие. Дельта-функция не равна нулю при x=0, поэтому интеграл может быть отличен от нуля. Функция R(x) везде равна 0. Сумма нулей всегда равна нулю, поэтому интеграл не может быть равен 1.

3. Дельта-функция, строго говоря, тоже не является функцией. Правда, это не мешает физикам активно использовать ее в вычислениях и получать правильные результаты. )))) Можно ли получить правильные результаты, используя неправильное распределение R(x) ?... К счастью, нам нет нужды гадать на эту тему, поскольку существуют математически корректные распределения, при которых парадокс сохраняет силу. Поэтому имеет смысл рассматривать парадокс именно с такими распределениями. )))

Распределение, может, и корректное, но уж больно "нереальное". По выражению одного из участников "с некрасивым матожиданием". Ну и назовем его "неудобным", поскольку ЗБЧ не выполняется и, как следствие, рушатся стандартные подходы к принятию решений.

Можно ли вообще обойтись без расходящихся распределений и бесконечных матожиданий? Например, сдделать увеличение суммы денег по экспоненте не 10^n, а с основанием, меньше 2. Тогда все будет нормально и "физически" реализуемо. В этом случае, правда, матожидание при обмене будет меньше суммы Х в первом конверте. Ну и пусть: переформулируем сюжет так, что игрок должен выплатить увиденную сумму и будем минимизировать убытки.

с вероятностью 1/2 в конвертах лежат 1 и 1,4 долларов
с вероятностью 1/4 в конвертах лежат 1,4 и 1,96 долларов
................
с вероятностью (1/2)^n в конвертах лежат 1.4 1.4^(n-1) и 1.4^n долларов

Тогда матожидание суммы во втором конверте около 94% от суммы в 1-ом. Т.е. выгодно менять, чтобы уменьшить расход (кроме случая, когда в 1-ом оказывается 1 доллар)

и никаких кувырков с неограничено большими флуктуациями

Если на то пошло, в математике вообще нет ни одного реального объекта. Только абстракции... ))
Вас же не смущает, что у нормального распределения область возможных значений тоже уходит в бесконечность, что нереально. И в вашем примере возможны сколь угодно большие числа. ))


В статистической версии парадокса - нельзя. Парадокс возникает только при M(X)=M(Y)=бесконечность.
В версии на основе теории принятия решений можно. Выше я приводил пример.

А в вашем последнем примере нет парадокса. ))

как нет?
...пусть в первом конверте оказалось 1,4^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 1,4^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 1,4^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание количества денег во втором конверте равно ~0,94*1.4^n, т.е. меньше суммы в первом. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять (для минимизации расходов). Для пущего драматизма рассматриваем версию с двумя игроками. Они, убедившись, что у них больше 1 доллара, радостно меняются конвертами в полном убеждении, что на 6% (в среднем) уменьшают свои расходы. Причем каждый.

Хм, по формуле полного мат. ожидания среднее условных мат. ожиданий должно бы сходиться к безусловному мат. ожиданию... Так что разницы я не вижу.