В общем, в решении парадокса из сообщения #9 при однократной игре я склонился к точке зрения, что причина парадокса в некорректном использовании доминантного перехода. Впервые эта мысль была озвучена Чалмерсом в 2002 году (D.Chalmers, "The St. Petersburg Two-Envelope Paradox", 2002). Спустя два года к такому же выводу пришли Дитрих и Лист (F.Dietrich, Ch.List, "The Two-Envelope Paradox: An Axiomatic Approach", 2004). Мне показалось, что это наиболее убедительные рассуждения из тех, что довелось читать.

Подробнее о сути проблемы см. в следующем сообщении...

Сообщение было отредактировано snav: 8.3.2014, 15:34

Скажу еще несколько слов, чтобы уточнить суть парадокса (напомню, мы рассматриваем исправленную версию из сообщения #9). Парадокс состоит в кажущемся противоречии между двумя бесспорными фактами:
(1) симметрия конвертов до открытия;
(2) заведомо известная предпочтительность обмена конвертов после открытия.

В чем конкретно видится это противоречие? Исследователи парадокса ссылаются на интуитивно очевидный принцип доминирования. Суть этого принципа в следующем. Пусть имеются две альтернативы A и B, а также полная группа несовместных событий E. Принцип доминирования гласит, что если B строго предпочтительнее A в случае наступления любого события из множества E, то B строго и безусловно предпочтительнее A. (Разные авторы по-разному формулируют и называют этот принцип, но суть одна и та же).

Принцип доминирования вместе с фактом (2) вступают в конфликт с соображением (1). Действительно, какая бы сумма ни лежала в первом конверте, наш критерий принятия решения устанавливает отношение строгого предпочтения второго конверта над первым. Это является достаточным условием для применения принципа доминирования. Применяя указанный принцип, мы приходим к выводу о безусловной (априорной) предпочтительности второго конверта над первым. Но это противоречит априорной симметрии конвертов.

Принцип доминирования выглядит очень правдоподобно. Тем не менее, в данном случае он ложен. Чтобы убедиться в этом, достаточно задаться вопросом: какой фактический смысл мы вкладываем в понятие "предпочтительность", говоря об условной предпочтительности и о безусловной.

Сообщение было отредактировано snav: 23.1.2012, 20:13

Принцип доминирования остаётся незыблемым. Обнаружив в первом конверте 22, для второго имеем 11 либо 44, и в первом случае менять-то не следует.
"Парадокс" возникает из-за расширенного комплекса блондинки - ну, той, которая приписывает равные вероятности противоположным событиям. Случайно обозначив конверты как А и В, мы действительно имеем "симметрию" для К(А)>K(В) и К(А)<K(В). Однако это не означает, что симметрия сохраняется для апостериорных вероятностей, когда появляется Х=К(А).

1. Мы не можем обнаружить 22, 11 или 44, там могут быть только 1, 10, 100, 1000 и т.д.
2. Существуют разные виды доминирования. Вы говорите о доминировании стратегии с точки зрения фактического выигрыша. Этот принцип доминирования действительно не нарушается, но к парадоксу он не имеет отношения. Нас интересует доминирование стратегии с точки зрения рациональности принятия решения в условиях риска, когда предпочтительность решения в каждом отдельном случае определяется ожидаемой ценностью. Возможно, я не достаточно четко расписал это в предыдущем посте, поэтому немного его подкорректировал (надеюсь, теперь будет понятнее).


Это относится к исходной версии парадокса, которую мы уже не рассматриваем.

И где же здесь парадокс? Кстати, можно обойтись и без распределения. Такой сюжет вполне эквивалентен предложению сыграть в "кривую орлянку", если в конверте обнаружилось более 1уе. С вероятностью 1/3 сумма удесятиряется, 2/3 - уменьшается в 10 раз. И что?

[Отредактировал сообщение. Причина редактирования - оверквотинг (чрезмерное цитирование).]

Сообщение было отредактировано snav: 26.1.2012, 18:18

Обозначим суммы в конвертах А и B. Парадоксальность ситуации состоит в том, что (1) мы заранее, даже не открывая конверт A, точно знаем, что открыв A, в любом случае предпочтем B, и в то же время (2) пока мы не откроем A, мы не вправе предпочесть B. Обратите внимание, речь идет не о количественном сравнении альтернатив, а лишь об установлении отношении предпочтения между ними (т.е. лишь о знании факта предпочтения B над A), которое не требует количественной оценки. Поразительно, что даже отношение предпочтения мы не можем перевести из апостериорного в априорное. Не знаю как вам, а мне это обстоятельство кажется очень удивительным даже сейчас.


Это совсем не то.

Дитрих и Лист (F.Dietrich, Ch.List) приводят очень убедительный, на мой взгляд, контрпример. Они показывают, что парадокс не связан ни с бесконечным матожиданием, ни с критерием максимума ожидаемой ценности. Аналогичный парадокс может возникать с разными критериями выбора, причем даже в реальной игре (где количество денег в банке организаторов ограниченно).

Многим не нравится критерий выбора по ожидаемой ценности. Хорошо, заменим этот критерий на максимин (синица в руке), т.е. из двух альтернатив будем выбирать вариант с наибольшим минимально гарантированным выигрышем. Пусть суммы в конвертах A и B являются независимыми случайными величинами с одинаковым распределением, причем 0<A<1000 и 0<B<1000. Конверт А у нас в руках. Нужно решить: оставляем мы его себе или меняем на другой. Соображение симметрии указывает на равнозначность конвертов, а максимин после открытия конверта всегда говорит о предпочтительности A. Как видим, парадокс снова имеет место, несмотря на то, что матожидание сумм в конвертах теперь конечно. Если применить другой критерий выбора — максимакс, то снова получим парадокс, только с предпочтением второго конверта.

Минимакс и максимакс совсем уж неестественные способы принятия решений(пример это иллюстрирует). А если взять матожидание то с этим примером все кок.

Пример иллюстрирует совсем другое: что парадокс может возникать с разными критериями принятия решения и не обусловлен бесконечным матожиданием. А насколько естественны упомянутые критерии - это уже к делу не относится. Кстати, в условиях неопределенности (т.е. когда неизвестны вероятности исходов) максимин используется довольно часто.


Никто и не обещал, что с матожиданием здесь будут проблемы. Пример был специально адаптирован авторами под максимин.

Вы опять вертитесь вокруг стратегий. Но проблема ( а точнее отсутствие ее ) не в стратегиях.
Выбирая конверт нам сразу становится выгоднее его поменять.
Но дело не в самом выборе а в информации которую мы получаем из выбора.
Эта информация разная в каждом конверте и негативна по отношению к выбранному конверту.
Что парадоксального в том что получая разную информацию мы делаем разные выводы?
Да мы заранее знаем что информацию которую мы получим будет негативна, но из множества возможных информаций нельзя выбрать наименее плохую.

Нерешенная задача "Больше/меньше" заставила обратиться, как мне кажется, к "первоисточнику". Не могу сказать, что многое из прочитанного понятно, но ответы Snav'a на заданный вопрос привели в ступор.
Как по мне, так играть очень даже стоит, а предложенная задача гораздо проще исходной. МО удачи = 0.5*N-0.5*N/2=0.25*N. В рулетку играют с много меньшими шансами на успех. Может я что-то не так понимаю?
Вопрос поднимался более 2-х лет назад, с тех пор что-то изменилось? Как по мне, так ТВ не та наука, в которой это возможно.

Давайте попробуем. Как? В задаче "Больше/меньше" предлагают зафиксировать конверты, сотне ММ сделать выбор. "А дальше устремляем СТО к плюс бесконечности и смотрим на предел отношения." Поехали!
В одном конверте в 10 раз больше, чем в другом. Пусть 10 и 100.
1. N ММ случайным образом выбирают конверт и меняют его. Средний выигрыш = 55.
2. N ММ случайным образом выбирают конверт и не меняют его. Средний выигрыш = 55.
Вывод: менять конверт совсем не обязательно. Если найденное ранее МО, подсказывает иначе, то давайте вспомним о том, что практика - критерий истины.

Ошибка в п.1. МО, подсказывающее замену конверта найдено для игры Powered by Java. Парадокс двух конвертов - другая задача. Для выигрыша в ней МО надо считать иначе. Не спрашивайте как, но не так.

Теория относительности. Два летящих навстречу космонавта меряются пиписьками. Вот где парадокс так парадокс!


Здрасьте! Тут уже 10 страниц все друг друга только и спрашивают - КАК?

онтоле звонить не пробовали? :trollface:

попробую для кого-то подлить масла в огонь, а для кого-то приоткрыть занавес)
допустим в одном конверте x денег, а в другом - 2x
если мы открыли первый конверт, то мы не понимаем, x там или 2x, но определённо, что-то одно из двух с вероятностью 50%
так же мы знаем, что матожидание количества денег во втором конверте 1.5x
с вероятностью 50% x = 2 а так же c вероятностью 50% x = 4. тогда матожидание количества денег во втором конверте с вероятностью 50% будет 3, и так же с вероятностью 50% будет 6, а в среднем 4.5, что является ровно половиной матожидания суммы денег в двух конвертах (4+8 или 4+2). так как матожидание суммы равно сумме матожиданий то очевидно, что среднее матожидание для первого конверта будет тоже 4.5. дело в том, что когда мы открываем один конверт, то в нём с вероятностью 50% будет меньше денег, чем 4.5 а значит во втором матожидание будет больше. и фишка в том, что всегда, когда мы открываем первый конверт и видим 4, мы принимаем за аксиому то, что там денег меньше, чем 4.5, т.к. их там действительно меньше и всегда будет меньше, но вероятность 50% =)
другими словами если мы предложим миллионам людей 2 конверта и разрешим менять выбор, а другой такой же по размеру группе предложим те же конверты и не будем разрешать, то обе группы в среднем у нас заберут одинаковое количество денег. с другой стороны, если перед нами миллионы пар конвертов, причём в каждом первом конверте будет лежать одна и та же сумма, то надо всегда выбирать второй конверт где с вероятностью 50% будет в 2 раза больше денег, а с вероятностью 50% - в 2 раза меньше. если сумма каждый раз случайная то менять выбор по большому счёту не имеет смысла, т.к. матожидание суммы денег во вторых конвертах стремится к матожиданию суммы в первых. этим и объясняется абсурдность замены решения в случае, когда мы не знаем, сколько денег в одном из конвертов.

Ну уже в первом абзаце вы обсчитались и неправильно нашли матожидание 1.5х а должно быть 1.25х
В следующем вы вообще потеряли неизвестную и соответственно весь абзац не имеет смысла.
Последний абзац у вас неожиданно не связан с предыдущими и поэтому и ошибки там независимые:
ваша ключевая фраза "матожидание ... стремится к матожиданию ..." бессмысленна т.к. матожидание это число оно никуда не стремится.

А вообще лучше прочесть предыдущие страницы - там говорилось например о невозможности положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.

это как? если с вероятностью 50% x и с вероятностью 50% 2x, то 0.5*x+0.5*2x = 1.5x

не понимаю, о какой неизвестной идёт речь.

я оговорился. предел суммы (матожидание) денег в первых конвертах равен пределу суммы денег во вторых конвертах при количестве конвертов, стремящемуся к бесконечности.

возможно. при конечном числе конвертов.
повторюсь, что:
1. наша задача в случае, когда мы увидели один конверт, и хотим поменять своё решение, эквивалентна задаче в случае, когда перед нами бесконечное (или ограниченное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт с одной и той же суммой. тогда мы всегда должны менять решение.
2 случай, когда мы не знаем, сколько денег в каком конверте, то менять выбор заранее не имеет смысла, так как этот случай эквивалентен тому, когда перед нами бесконечное (только бесконечное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт со случайной суммой. тогда менять выбор будет бессмысленно, так как предел суммы в первых конвертах будет равен пределу суммы во вторых.

это логически следует из того, что я сказал. хотя, вроде бы это следует из самого условия (т.е. более понятно)

С вероятностью 50% это меньший конверт и во втором вдвое больше, и с такой же вероятностью это больший конверт и во втором вдвое меньше 50%*2x+50%x/2.

Пропущенная неизвестная - сумма увиденная в первом конверте.

И еще раз! Нельзя положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.
Конвертов тут два. Про какое конечное число конвертов вы хотели сказать я не знаю.

в конверте лежит всего две суммы. одну можно обозначить за x, а другую за 2x.
этих переменных достаточно

я имел в виду конечное число опытов.

сегодня мне пришли в голову ещё кое-какие мысли.
например.
мы выбрали первый конверт. но на самом деле не важно, выбрали ли мы его изначально или перешли к нему от второго конверта, независимо от суммы, которая там лежала. аналогично мы двумя путями могли открыть второй конверт. поэтому, в среднем мы будем получать одинаковое количество денег, независимо от того, будем мы менять выбор или нет.
или так: мы увидели конверт, в котором 4 бакса, например. значит мы имеем дело с парой 4-8 или 4-2. в случае, когда мы бы натыкались на пару 4-8 мы в среднем выигрывали бы 6 баксов, независимо от того, меняли бы выбор или нет. аналогично, наткнувшись на 2ю пару, мы выигрывали бы 3 бакса, независимо от того, меняли бы выбор или нет. т.к. эти два случая равновероятны, то мы бы выигрывали в среднем 4.5 бакса независимо от того, меняли бы выбор или нет. интуитивно можно подумать, раз сейчас в конверте 4 бакса, а наше матожидание в любом случае больше, то почему бы не поменять выбор? однако, мы сейчас могли бы оказаться в ситуации, когда уже поменяли выбор, расчитывая на повышение результата. как мы понимаем, такое действие приводит к поглощению нашего возможного выигрыша в матожидании. аналогично, симметричная ситуация (т.е. наша) будет приводить к такому же поглощению.
повторюсь, уже в какой раз, правда, немного в другой форме. когда перед нами 2 закрытых конверта, мы полагаем, что там возможны все возможные варианты пар сумм денег. поэтому матожидание от выбора или смены выбора будет одним и тем же, если вообще будет определено. когда же мы открываем один конверт, то все возможные варианты усекаются до двух случаев. если бы мы изначально знали, что будут именно эти два случая, то мы бы точно знали заранее, когда нужно менять выбор, а когда нет. то есть, в корне меняется условие.
в частности, в сообщении №9 предложено экспоненциальное распределение. пока мы не вскрыли ни один конверт, матожидание одно. и его можно подсчитать. когда мы вскрываем, то матожидание другое. однако, при вскрытии большого числа пар конвертов с таким распределением мы получим в среднем изначальное матожидание, независимо от того, меняли мы выбор или нет.

зы. в задаче требуется найти ошибку в рассуждениях. она известна вообще кому-нибудь, хотя бы топик стартеру?

Вы открываете конверт и видите там 100 р. Значит в другом конверте может быть либо 200 либо 50р, мат ожидание 250/2 = 125р = 1,25*х

это если за x мы принимаем сумму в первом конверте.
если за x принимать сумму в меньшем конверте, то матожидание будет 1.5x. и это матожидание относится к любому выбору.

кажется, имеет место такая вещь. что при, например, экспоненциальном распределении мы чаще всего увидим сумму, меньшую, чем матожидание для этого распределения. поэтому, матожидание для суммы в другом конверте должно быть больше, чем в первом, однако меньше, чем матожидание самого распределения. таким образом, поменяв выбор мы повысим своё матожидание только в относительном плане, но не в абсолютном. т.е. проведя множество опытов мы так и не сможем улучшить своё общее матожидание.