Предлагаю задачку. Имеется мешок с N пакетами 1...N, в каждом из которых 2 конверта с суммами a(i) и 2*a(i), матожидание М(а) = М.
Игроку дают "случайный" пакет, он берёт из него "случайный" (в данном случае - через орёл/решку) конверт. Чему равно матожидание суммы в конверте?
А во втором???

Доведу-ка дело до конца.

0)Если для Х в первом конверте вероятности удвоения и уполовиниваения суммы при вскрытии второго конверта равны, то матожидание суммы во втором конверте = 1.25*Х.

Это - начало "парадокса".

1) Не существует такого распределения вероятностей для "младшего конверта", что вероятности удвоения и уполовиниваения суммы при вскрытии второго конверта равны - для всех возможных значений Х в первом конверте.

Это - конец парадокса

2) Если матожидание суммы в младшем конверте пакета существует и равно М, то матожидания суммы в первом и втором конверте пакета существуют и равны 1.5*М.

3) В силу 2), стратегии "не менять конверт" и "поменять конверт" равноценны.

4) Если распределение младших конвертов известно и имеет матожидание М, то существует стратегия, обеспечивающая выигрыш с матожиданием более 1.5*М.
Однако получить более 2*М ну никак не удастся...

Лучше бы до начала довести. А то мат ожидание фиксировано еще до того как описана случайная величина.
Да в общем-то и непонятно к чему все это было сказано

Есть ли возражения по поводу 0)...4) ?

Полным описанием случайной величины является её т.н. интегральная функция - произвольная неубывающая функция F(x) с известными пределами (0 и 1) на бесконечностях. Наличие матожидания = сходимости интеграла x*dF.

В первом сообщении не сказано что случайно а что выбрано. Если опишите эксперимент полностью можно будет говорить о чем-то дальше.

Вы про это ?

Возможно. Но я не смог склеить из ваших четырех последних постов что-то что можно понять. Может другим удастся.

Если для увиденного Х про вероятности для х2=Х/2 и х2=2Х известно достаточно, чтобы было М(х2) > X либо М(х2) < X, то смена целесообразна либо, соответственно, нецелесообразна..
Однако ни к какому парадоксу это не приводит. Во всяком случае, для обсуждаемого варианта - когда эти вероятности =0.5 для любого возможного Х. Ну нет такого "мешка с пакетами"....

В остальных случаях руководствуйтесь чем-то другим. Например, нра/не нравится Вам пересчитывать деньги
===
Вот простенький пример с известным распределением. В мешке всего два конверта, (1,2) и (2,4).
Оптимальная стратегия - менять 1 и 2, не менять 4.

Ну так это вроде пройденный этап - договорились же что уже рассматриваем модифицированную задачу с вероятностями 2^-n и суммами 10^n

Хотя и с равновероятными исходами не все так однозначно.
Равномерного распределения на R конечно нет, но что делать если распределение неизвестно?
Вот например организаторы генерируют случайное положительное число по какому-то закону и кладут в первый конверт, потом кидают монетку умножить или поделить и соответственно умножают или делят на 2 и кладут во второй конверт.
Ясно что начиная с какого-то X0 P( X<X0 ) > P( X>=X0 ) но испытуемый то этого не может знать

Есть исходная "классика" - её и смотрю.

Второй вариант, когда х2 выбирается монеткой фактически после х1, не содержит никаких проблем - меняй.
Если же конверты после этого ещё и перемешиваются, то Ваше утверждение, кстати, просто неверно. Например, "закон" может выбирать между 10 и 660 - получаются 2 "несвязанных" куска.

Нет ничего особенного в том, что априорное знание улучшает полезные возможности.

Ну испытуемый разумеется видит два запечатанных конверта и не знает какой из них первый а какой второй.
Закон может быть какой угодно беда в том что испытуемый его не знает

Тады ой - и никакого парадокса.
Всё-таки по условию один конверт вскрывется (какой - через монетку). Если нет никаких вероятностей для увиденного, то и вычислять\опровергать нечего.

Ладно понятно одно - мы друг друга не понимаем.
Тогда оставим вопрос закрытым - все вроде смирились с тем что значения случайной величины не могут быть одновременно равновероятными и неограниченными.

Если snav вернется может расскажет где парадокс

Возможно, коллегам будет интересно обсудить как соотносится парадокс двух конвертов с недавно опубликованной задачей "больше/меньше"?

На мой взгляд, это разные задачи.
1. В парадоксе приводится конкретная цепь рассуждений и требуется найти ошибку. В задаче "Больше/меньше" никакой ошибки искать не надо, а требуется придумать стратегию.
2. В парадоксе оптимизируется матожидание выигрыша, а в задаче "Больше/меньше" - вероятность выигрыша.

А если с такой стороны подойти
В конверте 100 баксов - это мы уже знаем. Во втором конверте 1000 или 10 со своей вероятностью. МО денег во втором конверте ~400. Вопрос - выгодно ли менять конверт? Да, выгодно. Можете даже экспериментально проверить. Но парадокса нету. Почему нету? Потому что при повторении эксперимента в первом конверте должно быть 100 баксов. Ну ведь оно же такое и условие - конверт открыли и количество денег там известно. А раз известно, то при повторении эксперимента, копировании вселенной, ещё бог знает чего 100$ так и останутся. А вот содержимое второго конверта уже может измениться. Где парадокс? Нет парадокса.
Другое дело, если первый конверт не вскрывать - то в нем своя случайная деньга. Со своим матожиданием, которое нужно ещё учесть. И деньги во втором конверте потеряют свою независимость. Но это другая задача. Требует дополнительных исследований.

Да уж не скрывайте - с какой? А то ведь ничего нельзя сказать о МО.

И наоборот. Если МО ~400, значит, 1/оно есть, 2/вероятность для 1000 ~0.4. С какой стати????

Я этого не скрывал, не скрываю и не буду скрывать. Из цитированного вами когда-то мною написанного поста. Простая копипаста
P{Y=10X} = 1/3, P{Y=X/10} = 2/3
Матожидание 1000*1/3 + 10 * 2/3 = 340. 340 ~ 490, какая разница? Главное, что больше 100.
От куда вероятности взял понятно? Вроде, когда в свое время считал его, возражений не возникало

Я не смотрел. С потолка?

спорьте сами с собой
При том, что X = 100 с вероятностью 1

вот и какие вопросы тогда?