Ну примерно об этом и мой вопрос. Обычно нас интересует матожидание для оценки некой стратегии. При этом средний выйгрыш приравнивается к матожиданию. Это действительно справедливо, например, для рулетки, где можно играть сколько угодно раз и для выйгрыша выполняется ЗБЧ. Здесь мы не можем играть сколько угодно раз, и мне не совсем понятен термин "средний выйгрыш в единственной партии".
К чему я это все? Объясните, что означает матожидание в контексте единственной партии.

Полагаю, Вы ни разу не садились за рулетку. Это не мешает Вам рассуждать о матожидании выигрыша для одной игры (есть и варианты стратегий - на цвет, на число, на зеро...) и любой суммы, поставленной на кон

Да, в рулетку я играл только когда ещё правила не знал. Уверен, что игроки в рулетку не расчитывают обыграть казино, сделав только одну ставку. Тем не менее, никто ещё не ответил на мой вопрос, без ответа на который для меня нет смысла учавствовать в разговоре
Чтобы было понятнее, давайте на примере. Пусть в конверте $100, тогда МО денег во втором конверте (10/3+2/30)*100 = 340. Что значит 340? В среднем во втором конверте $340? О каком таком среднем идет речь, если конверт всего один и вероятность, что в нем $340, равна 0?

"В среднем" - просто неточный термин для "облегчения понимания" математического ожидания случайной величины.
Не путайте статистику с теорией вероятностей, которая всего лишь "Прикладная теория меры".

Ваше "вероятность, что в нем $340, равна 0" напомнило мне разговор об обстреле болота, которое находится посередине между пунктами А и В, где с вероятностями 0.5 находится противник

Ну использование самого понятия вероятности для единичного эксперимента ведь не смущает? Почему тогда смущает мат ожидание.

А вульгарную модель вроде описывают на нематематических специальностях.
Считайте что есть много вселенных которые отличаются исходами "элементарных" событий. Тогда вероятность это отношение количества вселенных в которых событие произошло к количеству всех вселенных. Ну а матожидание это среднее значение величины по всем вселенным

То есть, вы хотите сказать, что если просуммировать выигрыши во всех вселенных, то их сумма будет стремиться к сумме матожиданий выигрыша в каждой вселенной? Так это неверное утверждение. Если вы такого не утверждали, что, по-вашему, "среднее значение величины"? Мне недавно предлагали абстрагироваться и это кажется хорошей идеель, раз уж выборка невелика.
Простите, если показался бараном, но мне по-прежнему непонятно, чего полезного можно извлечь из матожидания в нашем случае (я имею ввиду, полезного в плане анализа ситуации, а не уже вывода "меняем конверт")

А с чего вы взяли, что опираясь на значение МО можно делать вывод о том, какой конверт выбирать ? (когда выпало 4$, то в конверте может быть 2$ или 8$ с МО = 5$)
т.е. из того, что МО = $5 НЕ СЛЕДУЕТ, что выбирать надо второй конверт.

контрпример МО бросания кости = 3,5.... это же не значит, что ставить нужно только на 3 или 4... выпадение любой из граней 1...6 равновероятно. Это доказано тысячами процветающих казино.

На мой взгляд ошибочно сравнивать МО и значения Х, я могу привести еще несколько примеров, которые также абсурдны, как и пример с игральной костью

Иными словами, вывод "То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт." не очевиден и требует доказательства

Ваш пример - не пример
Если вы поставите х рублей на 3, то матожидание вашего выигрыша кх/6 (как и если вы поставите на 4, или на 1)

нет, я думаю, на какую грань ставить, МО=3,5
значит согласно логике в начале темы выгоднее ставить на 4 или 3, а это не так!

Иными словами, если МО > одного из значений, в исходном примере - суммы в конверте, это СОВСЕМ НИЧЕГО НЕ ЗНАЧИТ, кроме того, факта, что это может быть моим среднив выигрышем при больших повторениях. на вероятность выпадения это НЕ ВЛИЯЕТ

утверждение "если МО=$5, то выгоднее выбирать второй конверт" нуждается в доказательстве

Огласите, пожалуйста, правила игры в которую вы играете.

а по делу замечания будут?

Замечание уже было, ваш пример не правильный.
Что бы объяснить ошибку в ваших рассуждениях более понятным для вас образом, я попросил вас расписать правила игры.

Парадокс видится в том, что с помощью наших рассуждений мы приходим к двум противоречивым выводам:
1. Первый конверт априори выгоднее второго конверта.
2. Второй конверт априори выгоднее первого конверта.

мой пример настолько же неправильный, как и пример приведенный в начале темы. Это называется контрпример, когда приводится явно абсурдный пример по правилам основного примера.

я попросил доказать утверждение, попросил 2 раза. этого никто не сделал. и все упорно игнорируют. почему?

Просто не хочется отвечать на один и тот же вопрос много раз. Мы уже говорили об этом выше. Используется модель ожидаемой ценности (математического ожидания выигрыша), наиболее распространенная в теории принятия решений. Мы решаем задачу в рамках аксиоматики данной модели. Нравится она или нет — это уже другой вопрос. (Многим не нравится теория относительности, но это не мешает с успехом пользоваться ее формулами и разрешать возникающие в ней парадоксы).

Критерий взят не с потолка, а исходя из статистической целесообразности, так же как и понятие вероятности события. Естественно, модель/критерий не гарантируют выигрыша в отдельном случае, так же как и высокая вероятность события не гарантирует, что событие действительно произойдет в одном опыте.

изначальную задачу можно переформулировать следующим образом
в 1 конверте 2$ в другом 8$, на руках имеем 4$. оцените целесообразность выбора.
изначальные вероятности выбора 1/2
путем вычисления МО = $5 мы приходим к целесообразости выбрать 1 из конвертов, т.к. МО =$5 > $4 (на руках)

таким образом, путем подмены слова "вероятность" на слово "разумнее" мы приходим к выводу, что P($8) > P($2), хотя изначально они были равны.

узкое место в этом рассуждении:
Подмена понятий. В данном случае возможность применения постулата "статистической целесообразности" недоказана. Пример подобного ее неправильного применения я привел с угадываением выпадающей грани кости, когда МО и значения граней сравниваются напрямую, как и в исходном примере.



п.с. я честно перечитал первые 2 и последние 2 страницы обсуждения, прежде чем задавать этот вопрос. я читал ваш посыл к "постулатам теории принятия решений", однако обоснованости их применения не углядел

А где мы к этому пришли?
Мы рассуждали исключительно об условных мат ожиданиях.

То есть если открыть первый конверт и посмотреть то заметим что нам выгоднее поменять.
А если открыть второй (не открывая первый) то тоже заметим что выгоднее поменять.
В этом нет парадокса так как мы попадаем в разные ситуации и обладаем разной информацией для принятия решения.

Перенос принятия решения на момент "до открывания конверта" надо обосновать.
Если переносить не решение а только критерий то получим два бесконечных МО которые сравнить не выйдет.

Мы показали, что если в первом конверте число 10, конверт выгодно поменять. Если 100, конверт тоже выгодно поменять. Аналогичные рассуждения справедливы для любой конкретной суммы A в первом конверте. Отсюда следует, что первый конверт выгодно поменять, какая бы сумма в нем ни была. Поэтому в конверт можно даже не заглядывать (от этого все равно ничего не зависит). В свою очередь, это означает, что еще до вскрытия первого конверта (т.е. априори) первый конверт выгодно поменять.

Применяя аналогичные рассуждения ко второму конверту, мы приходим к противоположному выводу.

Таким образом, мы имеем два взаимоисключающих вывода - противоречие! В этом и состоит парадокс.
С точки зрения логики это означает, что либо в наших рассуждениях ошибка (тогда ее нужно найти), либо используемая модель рационального выбора противоречива.

Нельзя не заглядывать.
Какую бы сумму мы не увидели нам выгоднее поменять конверт. - Это верное утверждение и может быть проверено статистически при желании.
Но нам выгоднее поменять конверт не открывая его - это не просто не является следствием предыдущего, это вообще неверное утверждение.

Второе утверждение выведено из первого. Если вы считаете, что этот вывод сделан неправильно, покажите, в каком месте ошибка.