 Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Рейтинг
 |
 |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Правила раздела
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
  |
| Vizitor |
 31.12.2010, 16:59
Сообщение
#81
|
 Участник  Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 146 Регистрация: 11.11.2010 Из: Самара Пользователь №: 21 667  |
согласно приведенным рассуждениям
1. В случае, если мы пытаемся определить факт выбора конверта с бОльшей суммой, то конкретная сумма в первом конверте не имеет значения, и мат. ожидание, как я понимаю, вычисляется некорректно (могу ошибаться, так как не знаю толком то, как оно должно вычисляться, и не увидел, как оно вычисляется в Ваших рассуждениях применительно к данной модели) 2. Если мы хотим получить бОльший в среднем выигрыш, то с каждым последующим шагом, IMHO, требуется учитывать результаты предыдущих испытаний, тогда для полноты картины нам нужны будут данные о сумме в каждом из конвертов. Не вскрывая конверты, мы не сможем этого определить Upd. Для первого случая. получив сумму 10^n мы можем сказать, что с вероятностью >1/2 у нас конверт с бОльшей суммой, при n>0 и что с вероятностью 1 у нас конверт с меньшей суммой, если n = 0. То есть, не зная сумму мы не можем определить с какой вероятностью второй конверт нам выгоден. -------------------- У меня есть собственное мнение, но я с ним не согласен
|
   |
 
|
| vegetable |
2.12.2011, 23:01
Сообщение
#82
|
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 6 Регистрация: 27.11.2011 Пользователь №: 29 210 |
Подскажите парадокс уже разрешен и тема закрыта?
Имеет ли смысл сюда написать его решение? |
|
|
|
| UNDEFEAT |
3.12.2011, 0:26
Сообщение
#83
|
 Avorthoren Группа: Модераторы BrainGames Сообщений: 3 847 Регистрация: 13.11.2010 Из: Kиев Пользователь №: 21 696 |
QUOTE(vegetable @ 3.12.2011, 0:01)  Подскажите парадокс уже разрешен и тема закрыта? Имеет ли смысл сюда написать его решение? Тема не закрыта, пишите  |
|
|
|
| nik_vic |
3.12.2011, 11:38
Сообщение
#84
|
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
QUOTE(snav @ 31.12.2010, 17:37) Парадокс в том, что согласно приведенным рассуждениям мы можем даже не заглядывать в открытый конверт - менять всё равно выгодно. Интересно, Вы тоже полагаете, что "выгодность" растёт с ростом мат. ожидания? Ведь доказана-то не выгодность, а неравенство матожиданий для двух стратегий - ну и что? Принятые у математиков формализации понятия выгодности определяют её не как функцию от матожидания, а как функционал от распределения, и парадокс пропадает. Применительно к нашему сюжету нехитро придумать примеры целесообразности сохранения "синицы в руках" по сравнению с "журавлём в небе". Например, видим 1000р. и до смерти хочется дозу за 900 у знакомого дилера  -------------------- Где это видано?
|
|
|
|
| vegetable |
4.12.2011, 17:28
Сообщение
#85
|
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 6 Регистрация: 27.11.2011 Пользователь №: 29 210 |
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 13:25) Однако все оказалось не так просто. Можно переформулировать парадокс таким образом, чтобы исключить указанный недостаток. В новом варианте "классическое" объяснение уже не работает, а парадокс все равно остается. Вот формулировка, взятая из интернета: Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов, - с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов, ... - с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов. Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1. Теперь пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять. Как в данной формулировке устраняется недостаток непонятно - конвертов все равно 2. И для одной суммы априорная вероятность 1, а для другой 0. А апостериорные также неизвестны. |
|
|
|
| snav |
5.12.2011, 18:17
Сообщение
#86
|
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
vegetable, что именно вам не понятно?
|
|
|
|
| vegetable |
5.12.2011, 19:08
Сообщение
#87
|
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 6 Регистрация: 27.11.2011 Пользователь №: 29 210 |
QUOTE(snav @ 5.12.2011, 18:17) vegetable, что именно вам не понятно? Непонятно как устранился "недостаток" начальной формулировки. По-моему все осталось без изменений. |
|
|
|
| snav |
5.12.2011, 19:25
Сообщение
#88
|
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
QUOTE(vegetable @ 5.12.2011, 20:08) Непонятно как устранился "недостаток" начальной формулировки. По-моему все осталось без изменений.  Недостаток начальной формулировки - что неизвестен закон распределения случайной величины X, где X - наименьшая сумма денег в конвертах. Поэтому у нас не было возможности корректно оценить апостериорные вероятности того, что во втором конверте бОльшая или меньшая сумма, соответственно наш расчет апостериорного матожидания был некорректен. В новой версии распределение X задано по условию, поэтому после вскрытия первого конверта нам известны апостериорные вероятности возможных значений суммы денег во втором конверте и мы можем посчитать апостериорное матожидание суммы денег для второго конверта - оно всегда будет больше, чем содержимое первого конверта. |
|
|
|
| vegetable |
5.12.2011, 20:22
Сообщение
#89
|
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 6 Регистрация: 27.11.2011 Пользователь №: 29 210 |
Возможно ли уточнить каким образом составляются "пары" конвертов?
|
|
|
|
| snav |
5.12.2011, 20:30
Сообщение
#90
|
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
QUOTE(vegetable @ 5.12.2011, 21:22) Возможно ли уточнить каким образом составляются "пары" конвертов? Возможные пары: 1-я пара: 1 и 10 2-я пара: 10 и 100 3-я пара: 100 и 1000 ... n-я пара: 10^(n-1) и 10^n ... Случайным образом (в соответствии с заданным законом распределения) выбираем одну из этих пар и кладем ее в конверты: с вероятностью 1/2 - кладем 1-ю пару с вероятностью 1/4 - кладем 2-ю пару с вероятностью 1/8 - кладем 3-ю пару ... с вероятностью 1/2^n - кладем n-ю пару ... |
|
|
|
| 0 |
5.12.2011, 20:44
Сообщение
#91
|
 Охгдеж Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 335 Регистрация: 26.3.2009 Пользователь №: 13 618 |
QUOTE(snav @ 5.12.2011, 21:30) Возможные пары: 1-я пара: 1 и 10 2-я пара: 10 и 100 3-я пара: 100 и 1000 ... n-я пара: 10^(n-1) и 10^n ... Случайным образом (в соответствии с заданным законом распределения) выбираем одну из этих пар и кладем ее в конверты: с вероятностью 1/2 - кладем 1-ю пару с вероятностью 1/4 - кладем 2-ю пару с вероятностью 1/8 - кладем 3-ю пару ... с вероятностью 1/2^n - кладем n-ю пару ... Подумалось: А давайте не будем анализировать выбор другого конверта из двух, а дадим возможность попросить положить деньги еще раз. Тогда что бы у нас ни было в конверте мат ожидание при повторной закладке бесконечность. То есть мат ожидание больше любого исхода. |
|
|
|
| nik_vic |
5.12.2011, 21:36
Сообщение
#92
|
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
QUOTE( @ 5.12.2011, 21:44) Подумалось: А давайте не будем анализировать выбор другого конверта из двух, а дадим возможность попросить положить деньги еще раз. Тогда что бы у нас ни было в конверте мат ожидание при повторной закладке бесконечность. То есть мат ожидание больше любого исхода. Это уже было, но доводом для любителей парадоксов не является. В этом смысле привлекательнее вариант, когда конверт изначально один, но по желанию клиента можно кинуть монетку для изменения суммы. Никаких бесконечностей не возникает, распределение "во втором конверте" не зависит от содержания первых - после того, как первый вскрыт. И, главное, то же неравенство для мат. ожиданий выигрыша в двух стратегиях - "нет, спасибо" либо "кидайте". Но парадокс сдувается, и приходится задуматься над тем, выгоднее или нет - для той конкретной суммы, что увидел клиент. -------------------- Где это видано?
|
|
|
|
| 0 |
6.12.2011, 16:31
Сообщение
#93
|
|
Охгдеж Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 335 Регистрация: 26.3.2009 Пользователь №: 13 618 |
Да меня в основном заинтересовал аспект интуитивного понимания мат ожидания.
Под ним обычно понимается "среднее значение" а тут получилось среднее больше любого из "усредняемых". |
|
|
|
| nik_vic |
6.12.2011, 16:44
Сообщение
#94
|
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
QUOTE( @ 6.12.2011, 17:31) Да меня в основном заинтересовал аспект интуитивного понимания мат ожидания. Под ним обычно понимается "среднее значение" а тут получилось среднее больше любого из "усредняемых". А так оно и есть, если понимать, что распределение состоит из 5 и 20 рублей, и оно только порождается величиной 10. Её можно рассматривать как точечное распределение и сравнивать 2 матожидания в двух разных распределениях, возникающих при выборе стратегии. -------------------- Где это видано?
|
|
|
|
| snav |
20.12.2011, 16:45
Сообщение
#95
|
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
QUOTE(snav @ 24.11.2009, 14:25) Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов, - с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов, ... - с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов. Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1. Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять. Пришла в голову мысль, как разрешить парадокс. Таким образом, целесообразность смены конверта зависит от того, сколько денег в первом конверте: если конечная сумма — конверт выгодно поменять, если бесконечная — выгодность замены не определена. Устраивает ли такое объяснение? ------------------- Подумал. Ерунду написал. Сообщение было отредактировано snav: 22.12.2011, 18:54 |
|
|
|
| nik_vic |
20.12.2011, 17:02
Сообщение
#96
|
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
QUOTE(snav @ 20.12.2011, 17:45) Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность, и в этом случае наши расчеты неприменимы. Не влезет в конверт  -------------------- Где это видано?
|
|
|
|
| idler_ |
20.12.2011, 17:35
Сообщение
#97
|
 Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
QUOTE(snav @ 20.12.2011, 17:45) Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму. А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать... -------------------- Я - человек-простой
|
|
|
|
| snav |
20.12.2011, 17:50
Сообщение
#98
|
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
QUOTE(idler_ @ 20.12.2011, 18:35) Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму. Мне кажется, что в данной задаче "фиксированную" - не значит конечную. QUOTE(idler_ @ 20.12.2011, 18:35) А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать... Нет, речь не об этом. Речь об одном испытании. |
|
|
|
| idler_ |
20.12.2011, 17:53
Сообщение
#99
|
|
Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
QUOTE(snav @ 20.12.2011, 18:50) Мне кажется, что в данной задаче "фиксированную" - не значит конечную. А мне кажется, что значит. -------------------- Я - человек-простой
|
|
|
|
| nik_vic |
20.12.2011, 18:41
Сообщение
#100
|
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
Пока не видел возражений, что "парадокс" заключается в подмене понятия "выгодности" неравенством матожиданий для двух стратегий.
Ну, да, стратегия "меняй конверт" увеличивает матожидание, но причём здесь выгодность???? Например, в первом конверте видим 1000р. и до смерти хочется дозу - а она стоит 900р. Менять - чревато. И иначе - если видим только 500р. Тут уж надо рискнуть... -------------------- Где это видано?
|
|
|
|
|
4 чел. читают эту тему (гостей: 4, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0 -
|
Упрощённая версия | Сейчас: 20.4.2024, 1:35 |
Invision Power Board
v2.1.4 © 2024 IPS, Inc.