Мне кажется, что при решении задачи изначально идет неправильное рассуждение. Считается матожидание денег во втором конверте (которое действительно будет больше суммы в первом конверте), но эта информация для нас никакой практической ценности не имеет. Плюс, к тому же, тут не учитывается та сумма, которая уже есть на руках.

Для того, чтобы принять решение, стоит ли открывать второй конверт, надо отвечать не на вопрос: "Сколько денег во втором конверте?", а на вопрос: "Сколько мы выиграем при открытии второго конверта?" Ведь если во втором конверте меньшее количество денег, то получится что половину уже имеющейся суммы мы проиграли, а если там большая сумма, то выиграем мы столько же сколько у нас есть сейчас.

Матожидание выигрыша при таких рассуждениях будет определяться как:
1/2*(-1/2*х)+1/2*(х)=1/4*х , где x - сумма в первом конверте.

То есть в четыре раза меньше, чем та сумма, что уже у нас на руках. Таким образом, оптимальное решение - конверт не менять. Никаким абсурдом не пахнет.

ars, у вас получилось, что нужно брать конверт, который мы выбрали изначально, но это тоже противоречит симметричности (это такой же "абсурд"). Должно получится (в теории), что матожидание денег в другом конверте равно кол-ву денег в открытом конверте.

Вот хотел обосновать свой предыдущий пост, но решил проверить его на разных отношениях денег в конвертах (х2, х3, х4 и т.д.) - оказалось, что матожидание растет по формуле (n-1)^2 / 2n , где n - отношение денег в конвертах. Таким образом для n>=4 будет происходить аналогично: матожидание второго конверта будет больше суммы в первом конверте. Для варианта рассчета из примера (условия) рост начнется с n>=2, т.к. в этом случае получается 1+n^2 / 2n .

Получается, что оба варианта рано или поздно приводят к "абсурду"

Так как при подсчетах используются лишь значения вероятностей и предполагаемые суммы во втором конверте (причем последние фиксированы относительно денег в первом), то закрался вопрос: а законно ли утверждать, что вероятности равны 1/2 и 1/2. Подобный вопрос уже поднимался, но в немного другой интерпретации.

Вспомним, что такое "вероятность события A" - это количество исходов, благоприятствующих событию А к общему числу возможных исходов. Предмет теории вероятностей - выявление закономерных связей между условиями S и событием А, наступление или ненаступление которого при условиях S может быть точно установлено.

Так вот к чему я: так как деньги уже лежат в конвертах до начала испытаний (наших выборов), то наши шансы найти либо бОльшую, либо меньшую сумму будут равны 0 и 1 Ведь от нашего выбора зависит только сумма выигрыша, а не то сколько денег окажется во втором конверте.

Рассмотрим пример: в первом конверте Х денег, во втором - 2Х. Мы выбрали второй конверт. Вероятность того, что в первом окажется 4Х равна 0 (ну нет их там ), а того что там Х - равна 1. Т.е. условие S - это как разложили деньги в конверты, а не какой из конвертов мы выбрали.
Т.е. при вышеизложенной ситуации: матожидание выигрыша составляет 4X*0+X*1=X. Но это верно только для стороннего наблюдателя (который знает как лежат деньги в конвертах), мы же, не зная, как вероятности соотносятся с суммами выигрышей такие рассуждения применить не можем.

Грубо говоря, аппарат теории вероятностей здесь вообще не поможет. Ибо согласно ему, при первом выборе у нас с вероятностью 1/2 попадается конверт с меньшей суммой и аналогично с бОльшей. Вскрытие/невскрытие конверта никакой дополнительной полезной информации не дает. И при смене выбора мы по сути выполняем процедуру, аналогичную первому выбору. Даже если мы проведем ряд экспериментов и выясним частоту максимального выигрыша при смене конверта, то мы все-равно не сможем этим воспользоваться, так как нам все равно будет неизвестно, какой конверт мы выбрали первым (с большей суммой или меньшей).

Надеюсь понятно изложил

Хоть тема и издохла давно, но по-моему дело вот в чем:

При неограниченной сумме денег в первом конверте (или вообще в любом конверте) матожидание количества денег в этом конверте (как и в любом другом) равно бесконечности. Это всем понятно. Далее, выигрыш наш стремится к матожиданию с ростом числа вскрытых конвертов, то есть к бесконечности.

Поэтому в этой игре нам просто выгодно вскрыть максимальное число конвертов.
а) Если мы вскрыли первый конверт, то нам однозначно выгодно вскрыть второй.
б) А вот если мы только выбрали конверт, но не вскрыли, а потом взяли второй и вскрыли его, то в итоге мы вскрыли всего один конверт, а не два и мы в проигрыше.

Так что парадокса тут нет При такой постановке задачи (некорректной кстати) нужно всегда открывать второй конверт, т.к. матожидание в нем всегда выше чем в первом (ясно же, что в первом не лежит бесконечность денег )

А если вы ограничите максимальную сумму, то матожидание станет конечной величиной и тактика соответстенно станет очевидной.

Именно здесь и парадокс. Как уже писали выше, если участников двое и каждый из них открыл по конверту, то им обоим выгодно менятся конвертами. И если они играют в одной команде, получается, что в их кошельке будет больше денег, если они не просто откроют оба конверта и возьмут деньги, а поменяются конвертами и потом возьмут деньги. Хотя очевидно, что у них будет ровно та же сумма.

"Я дико извиняюсь, господа президенты, но я вас разъединяю... У меня на связи Одесса."
Предлагаю всем интересующимся ознакомиться с решением парадокса и закрыть тему.

ars, к сожалению, в википедии (ни в русской, ни в английской) пока нет удовлетворительного решения парадокса. То что там написано, здесь уже обсуждалось. Посмотрите внимательно эту тему, начиная с сообщения #9.

+1 Википедия - "Опиум для народа"!

Вы не учитываете тот факт, что ситуация (1), когда конверт вскрыт и стоит выбор вскрыть второй или нет, и ситуация (2), когда конверты не вскрыты (меняемся мы ими или нет - неважно) - это разные по сути начальные условия.
Выгода вскрытия второго конверта появляется только после вскрытия первого, и она как раз заключается не в том, что выгодно вскрыть не первый конверт, а второй. Выгода берется из того, что мы можем открыть именно два конверта. Поэтому умозрительный обмен конвертами не дает выгоды. При вскрытии первого конверта мат. ожидание равно 3/2х для любого из двух конвертов, хоть меняйся хоть нет.

Так что нет, не выгодно им ничем меняться. Потому что пока не вскрыт первый конверт, мы имеем другую задачу нежели после вскрытия и само понятие "второй конверт" возникает только после открытия первого.

А вообще, все зло от бесконечного мат. ожидания

Это тут тоже уже обсуждалось. Если бы выгода вскрытия определялась вскрытием первого конверта, то сумма в конверте как-то на этот выбор бы влияла. Но нам выгоден второй конверт независимо от того, что мы увидели в этом конверте. Если существенен именно факт разворачивания бумажки, можно представить, что мы больны амнезией, открыли конверт, посчитали бабло и забыли, сколько там лежало. И в таком случае тоже нам выгодно взять второй конверт, потому что сколько бы не лежало в первом, во втором лежит 5х\4 (в среднем).

А вообще я никогда не понимала, что такое матожидание и дисперсия (или как она там), так как вместо лекций по теорверу ходила в бассейн. Это какие-то мёртвые термины, я не понимаю. что они значат. И почему тут матожидание бесконечно, я тоже не понимаю. Когда конверт открыт оно - 5х/4. Если в нашем конверте конечная сумма, то и в том конверте тоже! Может, просто не нужно сюда приплетать матожидание и вычисление среднего вообще...

Ваш средний выигрыш приближается к мат. ожиданию с ростом числа испытаний, поэтому в данной задаче нужно открывать конверты. А амнезия и прочее - от лукавого. Вы либо открыли конверт либо нет. Существенен не факт открытия бумажки, а факт произошедшего испытания = узнавания суммы.
Само понятие второй конверт не имеет смысла, если первый не открыт (ну можно требовать чтобы он лежал перед Вами на столе деньгами наружу).

По поводу данной задачи и ее мат. ожидания. В условии ничего не сказано про максимальную сумму в конвертах. То есть там может быть любое число вплоть до бесконечности. Поэтому очевидно, что мат. ожидание тут бесконечно. То что сумма во втором конверте привязана к сумме в первом - само собой, но вообще, тот самый х в первом конверте, по идее, равен бесконечности. Но на практике понятно, что там конечная сумма, и она меньше мат. ожидания, поэтому вытянув следующий конверт, Вы должны приблизиться к мат. ожиданию и, следовательно, увеличить выигрыш. Отсюда и берется "парадокс". Если Вы ограничите сумму в конверте, парадокса не станет.





Ну если сюда и их не приплетать, то откуда у вас 5/4х во втором конверте? Тогда и парадокса не будет

Про ограничение сверху суммы я тоже не очень понимаю. К примеру, к вам играть приходит ваш друг, предлагает два конверта. Вы знаете, что у него в кармане было сто рублей, то есть максимально он может положить 33,33руб в один конверт и 66,66 а другой. Открываете один конверт, там 10 рублей. Во втором конверте лежит в среднем (20+5)/2=12,5. При чём тут ограничение в 100 рублей и как оно избавляет нас от парадокса?

Два глупых вопроса:
1) Мы сейчас пытаемся разобраться с этим парадоксом или с первоначальным? Рассуждения, мне кажется, будут несколько отличаться.
2) Я может быть туплю, но не понимаю как там "Сумма вероятностей равна 1". Для n=2, например.

И вообще, если перефразировать изначальную задачу следующим образом:
"Имеется 1 конверт, в котором или 2Х$ или 0$ с равной вероятностью. У игрока есть Х$. Вскрытие конверта - услуга платная, цена - Х$. Стоит ли вскрывать конверт?"

Пусть А - кол-во денег у игрока перед началом игры, B - матожидание выигрыша, S - матожидание денег по окончании игры, S=A+B.
1) Если не вскрывать конверт - у игрока остается Х$ (A=X, B=0, S=A+B=X).
2) Если вскрывать, то матожидание выигрыша - B=1/2*[2X+0]=X$ (A=0, S=A+B=X).

Рискну утверждать, что после вскрытия первого конверта исходная задача сводится к только что изложенной.

это не так, задачи не равнозначные, ведь если услуга платная, то после вскрытия конверта у него будет либо +Х (2Х достанет, Х отдаст), либо -Х (откроет 0, Х отдаст), то есть выигрыш в среднем 0.

Это один и тот же парадокс. Вариант, описанный в сообщении #9, является просто исправленной версией, лишенной недостатков первоначального парадокса. Имеет смысл решать именно его.


n - случайное натуральное число, которое подчиняется заданному закону распределения: с вероятностью 1/2 принимает значение 1, с вероятностью 1/4 - значение 2, с вероятностью 1/8 - значение 3 и т.д.
Сумма вероятностей 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 1.

(Не удаляйте как флуд, хотя бы 1 день )
Её уже доказали...

Я извинияюсь за то, что не стал читать далее 1й страницы, а лишь пробежал глазами последние ответы. Надеюсь, я верно понял, что первоначальный парадокс не разъяснен?
В любом случае, я считаю, что нашел ошибку в рассуждениях.

Предлагаемое решение приемлемо для другой задачи:
существует три конверта (с a, b и c рублями, причем a>b>c), вам дают определенный — с b рублями, и говорят, что вы можете оставить его себе, а можете попытать удачу и выбрать один из двух оставшихся.

Задачу же с двумя конвертами следует решать с двумя переменными, a и b.

Честно говоря, я теорию вероятностей пропустил в свое время мимо ушей , поэтому у меня встречный вопрос:
А имеет ли значение, что в модели, описанной в сообщении #9 вероятность при вскрытии первого конверта увидеть в нем 1$ равна 1/4?
То есть, в 25% случаев перед нами и вопроса не будет стоять, следует ли менять конверт.

Я не совсем понял ваш вопрос. Парадокс в том, что согласно приведенным рассуждениям мы можем даже не заглядывать в открытый конверт - менять всё равно выгодно.