Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

При проверке математического факультета комиссией Министерства высшего образования выяснилось, что все математики этого факультета либо делают то, что нравится им, но не нравится декану, либо делают то, что нравится декану, но не нравится им. Комиссия пришла к неизбежному логическому выводу, следствием которого явилось снятие декана математического факультета с должности. С какой формулировкой?

К картине обоими концами прикреплена длинная веревка. Необходимо повесить картину на стену с помощью N гвоздей так, чтобы при вытаскивании любого гвоздя картина и веревка падали. Как это сделать?

Треугольник АВС разрезан на некоторое количество меньших треугольников так, что ни одна вершина одного не лежит на стороне другого. Каждая из вершин, попавшая на сторону AB, может быть произвольно обозначена как А или В, на сторону ВС - как В или С, а на сторону АС - как А или С. Все внутренние вершины произвольно обозначены как А, В, или С. Докажите, что меньших треугольников АВС нечетное количество.

Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. Можно ли покрыть оставшуюся часть доски (63 клетки) с помощью 21 прямоугольного куска картона размером 1x3 клетки?

Некоторые клетки шахматной доски (8×8) заражены вирусом. Если у клетки имеются два или больше зараженных соседа (по стороне), то она становится зараженной. Например, если вначале заражена вся главная диагональ, то на первом шаге заражаются 14 соседних с ней клеток, на втором — еще 12 и т.д., пока вся доска не окажется зараженной. Докажите, что если вначале на доске менее 8 зараженных клеток, то на доске всегда останутся незараженные клетки.

Пришла компания из N парней и N девчат отметить 8 Марта в ресторан. Посадили их неким случайным образом за большой вращающийся круглый стол. Официанту они заказали напитки, причем все парни заказали по кружке пива, а все девчата — по бокалу вина. Принеся заказ, официант все перепутал и расставил напитки случайным образом так, что большинство получило не свой напиток. Возмущению компании не было предела. «Не проблема, — сказал официант, — я смогу развернуть стол, не передвигая при этом напитки, таким образом, чтобы большинство из вас получили свой заказ». Всегда ли официант окажется прав?

Есть кольцевая дорога длиной 100 км, на которой произвольным образом разбросано конечное число бочек с горючим. Суммарное количество горючего в бочках — 100 л, но распределение горючего по бочкам произвольно. Есть автомобиль с расходом топлива 1 л/км и пустым баком вместимостью более 100 л. Можно ли объехать всю дорогу в каком-либо направлении?

Десять мегамозгов входят в совет директоров компании, которая получила прибыль в виде одной акции. Среди них есть линейная иерархия: от самого главного до самого «младшего». Прибыль делится следующим образом: главный предлагает, кому дать акцию, потом каждый, включая главного, голосует «за» или «против». Если по меньшей мере половина Мегамозгов проголосует «за», решение главного будет принято, если же нет — главный Мегамозг исключается из совета директоров, главным становится следующий по иерархии, и дележка начинается с начала по тому же принципу. Все мегамозги хотят остаться в совете директоров, а также очень хотят получить акцию. При прочих равных условиях директор будет голосовать за вариант, при котором в совете остается меньшее число коллег. Сколько директоров останется в совете после раздела прибыли?

Таракан бежит по беговой дорожке с непостоянной скоростью. В любой момент забега за ним наблюдает как минимум один человек. Каждый зритель следит за тараканом непрерывно в течение 10 секунд и замечает, что за это время тот пробежал 25 см. Забег длился 1 минуту. Какой максимальный и какой минимальный путь мог проделать таракан за это время, если до и после забега ни один человек за ним не наблюдал?

В лесу мегамозгов живут крикливые и пушистые зверюшки, в том числе чебурашки. Среди зверюшек одинаковой крикливости чебурашки наиболее пушистые. Для любой зверюшки существует чебурашка той же крикливости и чебурашка той же пушистости (возможно, это один и тот же чебурашка). А недавно мегамозги установили, что чем чебурашка крикливее, тем он пушистее. Правда ли, что из всех зверюшек одинаковой пушистости чебурашки наименее крикливые?

В одной латиноамериканской стране, где правит Мегамозг, пришло время новых выборов руководителя страны. В стране ровно 100 000 000 человек, обладающих правом голоса. Из них только 1% поддерживает Мегамозга. Но Мегамозг, чтобы казаться «демократичным» в глазах мировой общественности, хочет быть «честно избран». Процедура голосования в этой стране следующая: Мегамозг разделяет всех избирателей на некоторое количество равных групп, затем эти группы – еще на несколько равных групп и т.д. В полученных самых маленьких группах – люди избирают делегата, затем выбранные выборщики выбирают в большей группе следующего делегата и так далее. В конце представители самых больших групп избирателей выбирают руководителя страны.
Мегамозг сам разделяет население на группы. Может ли он провести выборы так, чтобы его «демократично» избрали? (При равенстве голосов побеждает оппозиционный кандидат от Оккупантов).

Мегамозг заметил, что все его 17 коллег здороваются за руку с разным числом товарищей по работе. Скольким коллегам пожимает руку сам Мегамозг?

Может ли цепная реакция в gridgame продолжаться бесконечно?

Мегамозг решил запереть трех узников в прямом коридоре, разделенном пятью проходами на шесть комнат, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усатый стражник. Каждый раз, когда узник переходит из одной комнаты в другую, стражник, стоящий в этом проходе, переходит к противоположной стене и облокачивается на нее (если одновременно идут несколько узников, стражник переходит соответствующее число раз). Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а узники выйдут на свободу. Может ли Мегамозг изначально так прислонить стражников и разместить узников, чтобы они никогда не смогли выбраться?

На карте рельефа Мозголяндии граница страны имеет форму окружности, а средняя высота любых четырех точек, лежащих в вершинах одного квадрата, равна нулю. Верно ли, что Мозголяндия идеально плоская?

На листе бумаги площадью 100 нарисовано 100 непересекающихся многоугольников площадью 1, а на его обратной стороне нарисовано еще 100 непересекающихся многоугольников площадью 1. Всегда ли можно воткнуть в лист 100 иголок так, чтобы в любой многоугольник втыкалась только одна?

У одного Мегамозга хранится «Книга множеств». На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества натуральных чисел 1, 2, 3, ..., n, ...). Страницы книги пронумерованы по порядку натуральными числами. Мегамозг подозревает, что в книге бесконечное количество страниц, так как, сколько он ни пытался, он не мог долистать до последней. Есть ли множество, описания которого нет ни на одной странице «Книги множеств», даже если в ней действительно бесконечно много страниц? Если да - приведите пример, если нет - обоснуйте.

Найдите наименьшее число из множества всех тех натуральных чисел, которые нельзя определить менее чем шестнадцатью словами.

Однажды планете минимозгов грозила серьезная опасность - прямо на нее летел огромный астероид. Правительство приняло решение взорвать его с помощью бомбы. И вот решающий момент. Все население планеты наблюдает за этим событием по телевидению. На экране появляется таймер бомбы, установленный на 25 минут. Но после активации происходит странная вещь: показания таймера сразу изменяются на 15:00, а еще через секунду - на 05:00. Как такое могло произойти, если таймер был обыкновенный и полностью исправен? Сколько времени прошло с момента активации до взрыва?

Мегамозг родился в Москве, в первый день самого длинного месяца 2000 года. Назовите дату его рождения.