Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

На доске размером 9*9 в каждой клетке сидит жук. По сигналу каждый жук переползает в одну из соседних по диагонали клеточек. При этом может оказаться, что в некоторых клетках будет по нескольку жуков, а некоторые клетки будут свободными. Найти наименьшее возможное число свободных клеток.

Мегамозг путешествовал в космосе и попал на новую планету, на которой был всего лишь один обитаемый остров — как раз на северном полюсе. Жители планеты хотели совершить кругосветное плаванье (доплыть до южного полюса и вернуться обратно).
Но к сожалению, у них было всего 3 корабля, работающих на хитром топливе под названием несимметричный диметилгидразин, зато сколько угодно этого самого несимметричного диметилгидразина. Но баков каждого корабля хватало лишь для того, чтобы проплыть расстояние от острова до южного полюса. Течения на планете были такие, что если выключить двигатели, то корабль сразу могло унести в неизвестном направлении и он терялся, а глубина моря не позволяла пользоваться якорями. Мегамозг предложил им решение, и они совершили кругосветное путешествие, при этом потратив минимальное количество топлива и сохранив все корабли. Что им предложил Мегамозг? Доказательство оптимальности решения не требуется.

В скачках участвуют 25 лошадей, в одном заезде могут участвовать любые пять из них. За какое минимальное количество заездов можно определить трех самых быстрых? Доказательство минимальности не требуется.

Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз, и ведущий знает, в какой. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа «да» или «нет». Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее число записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?

Казино проводит игру из 9 раундов, в которой участвуют два посетителя и крупье. В начале каждому участнику выдают два именных шара: белый и черный. В каждом раунде игроки выбирают один из шаров и незаметно друг для друга бросают его в общий мешок. Затем у всех на глазах мешок раскрывают и определяют победителя. Посетители выигрывают, если все три шара оказались одного цвета, в противном случае побеждает казино. Игроки забирают свои шары, и начинается следующий раунд.
В игре решили поучаствовать два друга, один из которых — экстрасенс, который за секунду до начала игры сможет узнать, какие шары во всех раундах будет выбирать крупье. К сожалению, секунды не хватит, чтобы поделиться полученной информацией с партнером.
Какое максимальное число выигрышей могут гарантировать себе друзья, заранее договорившись о стратегии? Доказательство максимальности не требуется.

Ста мегамозгам на головы надели колпаки с числами из диапазона 1..100, причем не обязательно, что на всех разные. К примеру, всем могли надеть колпак с числом 7 или половине — колпак с числом 20, а второй половине — с числом 10. Главное, что не меньше 1 и не больше 100. После этого всех их поставили по кругу. Каждый мегамозг видит 99 чисел на головах других, но не свое. После этого каждый пишет на листке бумаги число от 1 до 100 — предполагаемое число на своём колпаке. Общаться и подглядывать нельзя ;) Их всех отпустят, если хотя бы один угадает свое число. Какой стратегии они должны придерживаться, если хотят, чтобы их гарантированно отпустили? (Мегамозги могли заранее договориться о стратегии).

Фокусник берет колоду из 52 карт, как в блэкджеке, и отдает ее зрителям. Зрители выбирают (каким угодно способом) любые 5 карт и отдают их помощнику фокусника. Тот смотрит на карты и называет фокуснику 4 из них. В ответ фокусник называет пятую. Кроме мастей и значений карт, фокусник не получает никакой дополнительной информации (помощник говорит ровным голосом, без пауз и т.д.). Каким образом фокуснику удается «угадать» пятую карту?

Мегамозг преследует подлого Оккупанта-преступника, который пытается скрыться в подвале своего дома. Подвал представляет собой 3 узких прямых коридора одинаковой длины, расходящихся в виде пропеллера из маленькой комнаты и заканчивающихся тупиком. В подвале темно, и Мегамозг может разглядеть преступника только с расстояния, не превышающего 10 м. Скорость Мегамозга в два раза больше скорости Оккупанта. При какой максимальной длине коридоров Мегамозг может гарантированно поймать преступника? Доказательство максимальности не требуется.

Семь разных костей домино показали двум мегамозгам и оккупанту, перемешали и раздали мегамозгам по три. Возможности заранее договориться у мегамозгов не было. Получится ли у них, открыто общаясь, сообщить друг другу свои кости так, чтобы оккупант не смог вычислить местонахождение ни одной из костей, которых он не видит, если оставшуюся кость: а) спрятали; б) отдали оккупанту?

Деревня мегамозгов в очередной раз была захвачена оккупантами. В этот раз оккупанты придумали следующее: на лбу каждого мегамозга пишут произвольное натуральное число (все числа разные) и дают каждому по красному и синему колпаку. После чего по сигналу все мегамозги должны одновременно выбрать один из колпаков и надеть его себе на голову. Затем мегамозгов строят в шеренгу в порядке возрастания чисел, написанных на их лбах. Если при этом цвета колпаков в шеренге чередуются — всех отпускают, иначе — всех убивают. Мегамозгам сообщили правила и дали возможность заранее договориться. Смогут ли они гарантированно выжить?

Каждому из двух мегамозгов необходимо передать другому шифр незаметно для оккупантов. Они подходят к речке, на берегу которой лежит кучка из 26 одинаковых камней, и строго по очереди начинают кидать камни в воду. За раз бросают как минимум один, расходятся, когда камней больше не осталось. Смогут ли мегамозги обменяться информацией, если шифр - любое число от 1 до 1700?

Во время уборки Мегамозг заметил, что в собрании сочинений его любимого писателя все тома стоят в обратном порядке - с 15-го по 1-й. Мегамозг решил расставить их по возрастанию. Он может взять любое количество соседних книг и переставить на другое место. Сколько таких действий ему понадобится, чтобы упорядочить 15-томник? Доказательство минимальности не требуется.

Любимую собаку-киборга мегамозга злобные оккупанты посадили в клетчатый лабиринт 6х6 клеток, в левую нижнюю его клетку. В правой верхней клетке находится лестница - выход из лабиринта. Стороны квадрата: северная, восточная, южная и западная – непроходимы, также между некоторыми клетками стоят непроходимые перегородки, однако путь от собаки к выходу существует. Но Мегамозг все это предусмотрел и заранее снабдил собаку бесконечным источником энергии и конечной последовательностью команд, которую она начинает выполнять, попав в лабиринт. Собака понимает команды вида: «север», «юг», «запад», «восток». При выполнении команды она перемещается в соседнюю клетку в соответствующем направлении. Наткнувшись на перегородку, собака останавливается и переходит к выполнению следующей команды.
Как мегамозгу задать такую последовательность команд, выполняя которую, собака гарантировано когда-нибудь наткнется на выход?

У Мегамозга есть автомобиль с пустым баком вместительностью 20 л и есть три бочонка с топливом, каждый — по 100 л. В автомобиле можно увезти не больше одного бочонка. Мегамозг хочет уехать от места, где он находится с автомобилем и тремя бочонками, как можно дальше. Как далеко он может уехать, если на 1 км расходуется 1 л топлива? Необходимо найти расстояние до наиболее удаленного положения, до которого можно доехать в данных обстоятельствах. (Доказательство максимальности пути не требуется).

Подлые оккупанты опять совершенно неожиданно захватили двух мегамозгов. Они приготовили 2 колпака, написали на одном из них число от 1 до 99, а на другом число на 1 большее (мегамозги об этом знали). Потом надели эти колпаки на захваченных и посадили их друг перед другом. Оккупанты по очереди спрашивают, знают ли мегамозги, какое число написано на их колпаке, пока кто-нибудь из них не ответит, но спрашивать будут не больше 231 раза. Их пустят на колбасу, если либо ответ окажется неверным, либо за 231 раз никто не ответит. Как мегамозгам выжить?

Часовому было приказано ходить по одномерному мосту длиной 100 м в течение одного часа таким образом, чтобы побывать в каждой точке моста четное число раз (0, 2, 4 и т.д.). Стоять на месте и прыгать нельзя, т.к. мост заминирован и может взорваться. Начинать и заканчивать маршрут часовой может в любой точке моста по своему усмотрению. Сможет ли часовой придумать такой маршрут? Примечания: 1) скорость часового конечна, 2) разворачиваться часовой может мгновенно.